平面向量的应用-2020-2021学年高中数学单元突破与检测（人教A版必修4）（解析版）

10平面向量的应用

一、必备知识：

1.向量£=（jq,y）,B=（X2，y2），则a,5nxiZ+y%=0,4115nx一甚%=（）•

2.三角形“四心”的向量表示：

①在△ABC中，若|砺|=|而|=|反|或诋2=诙2=灰；2,则点。是△ABC的外心；

②在AABC中，^GA+GB+GC=0,则点6是4A8。的重心；

③在AA5C中，若。A—西万+,配）,4e[0,+oo）,则直线AP过△ABC的重心；

2

④在△ABC中，若HA-H*=Ht=H（j-HA，则点H是△ABC的垂心；

一一ABAC

⑤在AABC中，若°P=QA+4（,+田）（％>°），则直线AP通过AABC的内心.

|明|AC|

二、题组：

题组一：向量法判形.

例题：

例1.（1）若在△ABC中，AB=AC=\,|AB+XC|=V2,则AABC的形状是（）

A.正三角形B.锐角三角形C.斜三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【详解】|通+园=夜，则辟+园2=宿+/2+2被前=2,故而.恁=0，

故A3,AC,故三角形为等腰直角三角形.故选：D.

（2）若。为ZVWC所在平面内任一点，且满足（0%-&71（0%+02-2&）=0,则人钻。的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【详解】；（防-码]防+注-2可=0,.•.可加/）=0,CBl^+Acj.

.•.△ABC的中线和底边垂直，.•.△ABC是等腰三角形.故选：A.

（3）平面上有四个互异的点A8,C,。，已知（诙+玩一2虱q・CS=0,则AABC的形状为（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

【答案】B

【详解】V(DB+DC-QDA^1CB=,：.(DB-DA+DC-DAj(AB-AC)=O,

22

：.(AB+AC)(AB-AC)=0,,AAB-AC=0,即廊卜|相・AABC的形状是等腰三角形，故选B.

TBAC

已知非等向量万与满足广=[+广=[.配=0,且匹卜西，贝以430为()

(4)ZAC〔网KI

A.等腰非等边三角形B.直角三角形C.等边三角形D.三边均不相等的三角形

【答案】A

—»ABAC__UUUUUU

【详解】不妨设AP=鬲+谟去，即Q为44C角平分线所在直线上的向量，又APJ.BC，

.•.AB=AC，又|配|=G|福卜也|福|,所以AABC为等腰非等边三角形.故选：A.

(5)在AA8C中，已知|福卜|呼|=4,且而•而=8,则AABC的形状为.

【答案】等边三角形

【详解】cosABAC=,因为N84Ce(0,;r),所以ZBAC=巳，

\AB\-\AC\23

又因为AB=AC=4,所以AA3C为等边三角形.故答案为：等边三角形

例2.⑴在四边形ABCD中，ABBC=0,且入亘=阮，则四边形ABCD是()

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

【答案】C

【解析】因为两=反，所以AB=DC,AB〃DC,所以四边形ABCD是平行四边形.又因为入月•前=0,

所以ABLBC,所以四边形ABCD是矩形.选C.

(2)若通=3值,丽=-51,且|而|=|西，则四边形488是()

A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰梯形

【答案】C

【详解】'：AB=3a,CD=-5a,：.ABHCD-\AB\^\CD\，\AD\=\BC\,

...四边形ABC。是等腰梯形，故选：C.

练习：

1.在AABC中，AB=a，3C=B，且则AABC是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形

【答案】D

【详解】由题意=|刑cos（%-B）>0,.•.cosQr-B）〉0,-cosB>0.cosB<0,又B是三角形

TT

内角，...一〈B〈万.△人与。是钝角三角形.故选D.

2

2.若通厕SBC必定是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【详解】ABBC+AB2=A^（BC+AB）=ABAC<o,即I而IIACIcosA<0,.\cosA<0,

.♦.A为钝角,.二△ABC是钝角三角形.故选B.

3.在AABC中，若|通+祠〈展一罔，则“BC的形状为（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定

【答案】B

【详解】由题意可得（而+衣）2（（丽-恁）2,即通2+府2+2福.布〈丽?+急？-2福.布，

整理可得而./<（），则向量A%与公的夹角为钝角，即N84C>90°，据此可知AAbC的形状为钝

角三角形.

4.若O为平面内任意一点，且（加+配—2函）•（通—才。）=0,则△48<7是（）

A.直角三角形或等腰三角形B.等腰直角三角形

C.等腰三角形但不一定是直角三角形D.直角三角形但不一定是等腰三角形

【答案】C

【详解】由（丽+玩—2砺）•（通—蔗）=0得（而+而）•（都一而）=0,.•.通2一而2=0,即।福

|=|ACb.,.AB=AC,即AABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形.选C.

5.AABC中，设血=己配=汗,回=5,若小G+万—5）<0,则AABC的形状是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定

【答案】C

【详解】+...而.（丽+及一画）=布.2/<0,...角A为钝角，故选C.

ABBC41

6.AABC中，已知（昌+禺）•阮=o,

W|田且画园=一丁则尚0是（）

A.三边互不相等的三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.顶角为钝角的等腰三角形

【答案】C

ABAC—.AB7r

r【详解】：（画+麻［）.8C=0,西，7—^分别为单位向量，•••ZA的角平分线与BC垂直,

\AC\

ABCBy[2JTJT

/.AB=AC,VcosB=।——iT=r="TT,.♦.NB=-,.../B=NC=NA=一,三角形为等腰直角三角形.

|AB|\BC\243

故选C.

7.若M为AABC所在平面内一点，且满足（而5-祝）•（砺+祝）=0,砺+就+2耐=6,则AABC

的形状为（）

A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【详解】v（MB-MC）-（MB+MC）=0,.\MB-MC=0,.\|说卜.点M在底边BC的中垂线上,

又♦.•丽+限+2MA=Q,:.MB+MC=-2MA=2丽7,所以点M在底边BC的中线上，因而底边BC的

中线与垂直平分线重合，所以AABC的形状为等腰三角形.

8.在A4BC中，a、b、c分别是内角A、B、。所对的边，若S.="一厂（其中5以品表示

4

AAB（询面积），且•阮=0,则AABC的形状是（）

A.有一个角为30的等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

使而=普，荏

【详解】在边AB,AC卜一分别取点D,E,以AD,AE为邻边作平行四边形

网kl

•ABACABAC—►

ADFE,则：四边形ADFE为菱形，连接AF,DE,AF，DE,且A尸=后AB云+A可C；：BC=0,：

\\ll1网|A刃

AFBC=0：.,.AF1BC；又DEJ_AF；；.DE〃BC,且AD=AE；/.AB=AC,即b=c；

1I22n22

,延长AF交BC的中点于O,则：S^ABC=-aJc2--=a'+t）~C~,b=c；

2V44

2a12=a2：.2^c2-a;4c2-a2-a2;a2—2cl=b2+c2i

ZBAC=90°,且b=c；.•.△ABC的形状为等腰直角三角形.

9.已知。为AABC内一点，若对任意ZGR有|丽+（k-1）而一k反闫砺一反I，则△ABC一定是（）

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.以上均有可能

【答案】A

【详解】从几何图形考虑：：1赤+（A--1）0B-k0C^\0A-0C\,

■,■\OA-OB+l<bB-l<OC\>\OA-OC\>^\BA-kBC\>\CA\

I丽一人831日的几何意义表示：在8c上任取一点£，可得k》（j=B三，

•'•\BA-^BC\=\BA-BE\=\EA\>\CA\'又点E不论在任何位置都有不等式成立，

...由垂线段最短可得AC_LEC,即/C=90。，则4ABC一定是直角三角形.故选A.

10.已知△A8C中，AB=a>BC=b>B是小钻。中的最大角，若£/<0，试判断AABC的形状.

【详解】如图，设。是丽与心的夹角，则=|通口与4cos6<0,故cos6<0,所以6为钝角,

故可得NABC为锐角.又角8是A48C中最大角，所以AABC为锐角二角形.

II.判断题中AABC为什么三角形

（1）0为A4BC所在平面内任意一点,且满足（加一反）♦（砺+诙-204）=0.

（2）0为AABC所在平面内任意一点，且满足\OB-OC\^\OB+OC-20A|.

【详解】(l)AABC为等腰三角形.

山(丽-南)•(砺+诙-2丽=0,可得恒(而+恁)=0.

又因为耳后—AC=CA,

所以瓦•(通+而)=(而一码•(而+而)=诟2—衣2=|通『一|而|2=o

B|J|AB|=|AC|,由此可得AABC是等腰三角形.

(2)A48C为直角三角形.

因为丽+双一2况=砺—砺+花一丽=丽+/,而—1=而=而一恁，

所以|福+衣|=|而一而所以|丽+/『=|而一玩即福.就=0,从而AB_LAC.

故AA3C为直角三角形.

12.已知A(l,2),3(4,0),C(8,6),D(5,8),判断由此四点构成的四边形的形状.

【详解】因为丽=(4,0)-(1,2)=(3,-2),加=(8,6)-(5,8)=(3,-2),

所以砺=反，所以四边形A8CO是平行四边形.

因为赤=(5,8)-(1,2)=(4,6),

所以福•而=3x4+(-2)x6=0.

所以通，亚.所以四边形ABC。是矩形.

因为|福|=旧,|而|=2旧,|而图而|,

所以四边形ABC。不是正方形.

综上,四边形A8C。是矩形.

题组二：向量法判心

例题：

例1.(1)在AABC中，若函.砺=砺.近=花.砺，则。是AABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】D

【详解】OAOB=dBOC'-OB(O^-OC)=^<.,-0504=0；.,.OBLAC,同理由

OAOB=OCOA'得到。A_LBC,...点。是AABC的二条高的交点.故选。.

（2）设P是A46c所在平面内的一点，若丽•（而+国）=2福•而且通2=/2_2而q则点「是

AA3C的

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】A

【解析】由福•（而+国）=2丽.丽，得丽•（闻+声一2而）=0,即而｛（而-丽）+（声-岳）］=0,

所以福•（而+西）=0,设。为43的中点，则A匣2Pzi=0，故入区P/5=0；

因为通2=/2_2元q,所以（恁+而）（恁一砌=2方.丽，

所以瑟,（/+而-2而）=0,设BC的中点为E,同上可知石心.屋=0，

所以「为48与BC的垂直平分线的交点.所以P是人钻。的外心.选A.

练习：

1.设。是AABC所在平面内一定点，尸是平面内一动点，若（而-前）•（而+元）=（前-序）•（万+无）=0,

则点。是八钻。的（）

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【答案】B

【详解】设BCAC的中点分别为O,E,OB+OC^2OD,OA+OC=2OE,（PB-PC）（OB+OC）=

CB-20D=0,:.CB10D,所以8八BC,点。在线段5C的垂直平分线上，同理点。在线段AC的垂

直平分线上，所以。为A43C的外心.故选B.

2.在三角形ABC所在平面内有一点H满足ft42+BC2=HB2+C42=WC2+AB2则H点是三角形

ABC的.

【答案】垂心

【详解】因为与d=阮一丽.瓦=丽一比,而=丽一而

所以际之+（比一语了="F+（成—碇）2

整理得沅•（而—丽）=0.近.通=0,即洞理可得

所以可知，为垂心.

题组三：向量法求长度求面积.

例题：

例1.(1)在445。中，。为3。边上的中点，且|同月|=1,衣|=2,/84。=120。，则4。的长为()

A百13手

B.-C.-D.—

2244

【答案】A

【详解】。为BC边上的中点,AD=-(AB+AC),

=出启+XU?+2相码=J；(F+22+2>I>2XCOS120)=",所以4。=乎，故选A.

(2)已知平面四边形A8C。满足AB?—AO?=5，BC=3,ACBD^-l，则CD的长为()

A.2B.76C.币D.2夜

【答案】B

【详解】如图建立平面直角坐标系，则B(0,0),C(3,0),设A(x,y),,〃)，由AB?—AZP=5,则

x2+>>2-(x-m)2--n)2=5,所以2%加+2y〃一〃?2-〃2=5,又/.8方=一1，所以

xm+yn=1+3m,|CD|={m-3)2+n2=m2+rr-6m+9=2xm+2yn-5-2(xm+yn-1)+9=6,

即|前|=指，故选B.

例2.(1)已知AABC的面积为2,在AABC所在的平面内有两点P、。，满足用+无=6,7=2诙,

则A4PQ的面积为()

12

A.一B.一C.1D.2

23

【答案】B

（详解】由题意通+无=6可知,P为AC的中点,9=2BQ.可知。为AB的一个三等分点,如图:

1111?2

因为SAAAP=—A3・ACsinA=2.所以S0p。=—AP-AQsinA=—x—A3•一ACsinA=—.故选：3.

2…22233

c

——2——1——一,21

（2）如图，设P,Q为AABC内的两点,,且==+二AC,AQ=-AB+-AC，则AABP的面

5534

积与AABQ的面积之比为（）

,上,

1411

A.-B.-C.—D.一

5543

【答案】B

_________9___।___

【详解】连QP,延长QP交AB于E，设施=4而，EP=AP-AE=^-^AB+-AC,

______2_1__—.—.——4—■SBpEP4

EQ=AQ-AE=（一^）AB+-AC,又AB,AC不共线，所以EP=-EQ.又01M=0八=<.

AEB

练习：

1.如图，在AABC中，AB=4，AC，=20，ZBAC=135°,。为边3C的中点，且前=砺，则

线段3M的长为（）

A

“D,

A/26口5公C.叵或』D,叵或逑

A.D.

222222

【答案】B

【详解】因为AB=4，AC=2j5，ZS4C=135°,所以而.无不=_8.

因为萌=加一通=—汨―通=一（而+衣）—通=一3通

24V>44

所以网=萍+；可*=点阿—河.而+得阿=平,故选B.

2.「是AA6C所在平面上的一点，满足⑸+而+定=2通，若S^BC=6,则AftAB的面积为（）

A.2B.3C.4D.8

【答案】A

【详解】•••2<+闻+定=2油=2（两—西），3PA=PB-PC=CB'：.PA\\CB,且方向相同.

题组四：向量法证明

例题：

例1.求证：三角形的三条高线交于一点.

【详解】如下图所示，AA5c中4〃_1,3。,3£_1_4。,428后交于点”，连接S.

2

CHAB=(CB+BH)(AC+CB)^CB.AC+CB+BH.AC+BH.CB

VBE1AC，ADYBC,•••B//.AC=0'AHCB^Q)

-,-CHAB=CBAC+CB2+BHCB=CB(AC+CB+BH)^CBAH^O-即C〃_LA3.

...AA3c的三条高线交于一点.

例2.如图，CO是AA3C的中线，CD=LAB,用向量方法证明AA3C是直角三角形.

2

DB

【详解】证明：设前=£,DA=b>则球i=3+B，DB=-b>

J是CB-a-b-CA-CB=（a+b'）-（a—b'）=a—h-

因为C0=LA8,所以C£>=D4.

2

因为/=cr>2,片=”2,所以瓯丽=o.

因此C4LC8.于是AABC是直角三角形.

例3.用向量方法证明：对角线相等的平行四边形是矩形.

【详解】如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O且AC=BD,AB=AO+OB>AD=AO+6D,

所以需五5=（反（5+而）•（奉5+而）=而2+丽.而+丽反G+曲.丽=o,

所以福，而，即ABLAD，所以平行四边形ABCD是矩形.

例4.如图，在正方形A8CO中，民尸分别为A8,BC的中点，求证：AFLDE（利用向量证明）.

【详解】证明：设丽=M，AD=b^则荏=之+,5,ED^b--a.

22

:.AF*ED-[a+-b--a\=-b'--a2+—a*b.

<2M2)224

又而_L亚，且|狎=|而I，./"，a-b=Q.

.,.AF*ED=O-:.AFYED

练习：

1.已知等腰AABC,AB=4C,点M为边的中点，求证40，3c.

【详解】如图，为BC的中点，二不必=L瓶+*).

2

又就=恁—屈，在等腰AA8C中，AB^AC,

：.AMBC=^(\AC^-\AB^)=O.

■.AMIBC>即AML3C.

2.已知正方形ABC。,E、尸分别是CD、AO的中点,BE、CF交于点尸，连接AP.用向量法证明:

(\)BE±CF;(2)AP=AB.

【详解】证明：如图，建立平面直角坐标系X。，其中A为原点，不妨设A5=2，

则A(0,0),5(2,0),C(2,2),£(1,2),F(0,l).

⑴；丽=砺一砺=(1,2)-(2,())=(-1,2),CF=OF-OC=((),l)-(2,2)=(-2,-l),

/.BECF=(-l)x(-2)+2x(-1)=0.

BE1CF.即跖_LC产;

(2)设尸(x,y),则而=(羽y—1),BP=(x-2,y),由⑴知前=(一2,—1),BE=(-1,2),

'-,FP//CF>A-x--2(y-l),即x=2y—2.同理，由丽//屁，得y=—2x+4.

6

x=2y-2解得.解P（L），,而二6）=4=宿,

y=-2x+4355

\AP\=\AB\,即AP=AB.

3.如图所示，已知AABC中，BE,分别为AC,A8边上的高，而且8E与C尸相交于点0,连接A。

并延长，与BC相交于点D.求证：ADYBC.

【详解】因为BE1AC，所以丽•*=0，即丽《0心一函）=0,因此砺.反=丽・①i①.

又因为Cb_LA3,所以诙.诟=0，即反•（而—砺）=0,

因此反•砺=反屈②.

由①-②可得历.方一历.囱=0，因此（而-反）.丽=0,

从而瓦・砺=0,故BC_LQ4,即AD_L3c.

4.如图所示，已知ABCO是菱形，AC与3。是两条对角线.求证：AC±BD.

【详解】由己知可得衣=4万+而，BD^AD-AB^

所以〃•丽=（通+亚）•（而—而）=|而『―|通

又因为ABC。是菱形，所以AB=AD，QP|AB|=|AD|,因此而•丽=0,

UUUULUl

从而AC_LB。，故ACJ_3Z)-

5.在A48c中，AB=AC,。为AB的中点，E为AACD的重心，F为AABC的外心，证明：EFLCD.

【详解】证明:建立如图所示的平面直角坐标系,设A(0,勿，8(—a,0),C(a,0),

ab

,易知A4BC的外心/在y轴上，可设为(0,y).

2,2

-,—«io*_cT（zxb"*­Q—

由|A/|二|CF|,得（y—b9）2=（—。）2+/，.・・__匕，即/0,

2bI2b

（cib、■■cia~

又・..七为AACD的重心，，点E的坐标为二=，，&,

62b

xg=0,£F±CD,即£FJ_CD.

BOCH

6.已知点，在AABC所在的平面内，且满足历.丽=丽.阮=麻.而，求证：点”是AABC的垂

心(即三条高的交点).

【详解】由雨・丽=丽.觉得：布・丽-丽・沅=丽•(福-沅］丽京=0

:.HB±CA

由“后方心=“6"乂同理可得：HCA.AB

由丽・丽=阮・苏同理可得：HA1CB

是A46C的垂心

7.求证：以A(l,0),B(5,-2),。(8,4),。(4,6)为顶点的四边形是一个矩形.

【详解】证明:因为而=(4,-2),方=(3,6),就=(4,一2),

AB=DC，及=(3,6)不为零向量，且不与福平行，所以以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形.

ABBC=O'45_1_8乙所以以A，B,C,。为顶点的四边形是矩形.

8.如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任意一点(异于A、C两点)，PEA.AB，PFLBC,

垂足分别为E、