2021届 人教a版平面向量 单元测试 (一)

平面向量

一、单选题

1.0是aABC内一点，若I砺\=\0B\=\0C\＞则0是△瓯的()

A.重心B.内心

C.外心D.垂心

【答案】C

【解析】

试题分析：外心是三角形的三条中线的交点，外心到三角形的三个顶点的距离相等.

考点：三角形的四心.

2.如果向量。=(1,2),b=(3,4),那么2。-8=

A.(-1,0)B.(-1,-2)

C.(1,0)D.(1,-2)

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】

2a-b=2(1,2)-34)=(-1,0)•

故选A.

3.AABC是边长为1的等边三角形，点。,E分别是边的中点，连接并延

长到点F,使得。£=2EF,则AFBC的值为()

【答案】B

【解析】

—.1—.1__.3--3

试题分析：设丽=a，团=8,•••OE=—AC=—(〃一4),。尸=—DE=-S—a),

2224

————1353

AF=AD+DF=一-a+-(b-a)=--a+-b,

2444

531

AFBC=--a-b+-b2=--1—=—.

44848

【考点】向量数量积

【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐

标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解

和化简.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将

"形''化为"数向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量

运算完全代数化，将数与形紧密结合起来.

4.如图，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC,E为BC边上一点，Jc=3EC,F为

4E的中点，则乔=()

DC

A.-AB--ADB.--AB+-AD

3333

C.--AB+-ADD.-AB--AD

3333

【答案】B

【解析】

【分析】

利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得.

【详解】

由图可知：

—>1->]T—>2~*—>—>—>—>—>—>—>]~'

BF-BA+-BE>BE-BC>BC=AC-AB'AC=AD+DC'DC-AB>

'-BF=-\AB+^-AB）=-|4B+：G，

故选B.

【点睛】

本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算

能力，属于中档题.

5.已知AABC,点”是边8c的中点，若点。满足函+2砺+3觉=0,则（）

A.OM•BC=0B.两•通=0

C.OM//BCD.OM//AB

【答案】D

【解析】

【分析】

由向量的中点表示和加减运算、以及向量的共线定理，即可得到结论.

【详解】

点M是边BC的中点，可得20A/=OQ+OQ,

OA+2OB+3OC=0<可得西+云+2（而+花）

OA+2OB

OA-+4。而=。，

3

即2（OA-OB）+12丽=0,

可得而=6闻，

即0而〃而，

故选D.

【点睛】

本题考查向量的中点表示，以及向量的加减运算和向量共线定理的运用，考查化简运算

能力，属于基础题.

6.已知4(2,3),8(4,-3)且而=一2万,则。点的坐标为()

A.(6,9)B.(3,0)C.(6,-9)D.(2,3)

【答案】C

【解析】

【分析】

设P点的坐标为(x,y),根据题意得到丽与丽的坐标，由丽=-2而，即可得出结果.

【详解】

设P点的坐标为(x,y),因为4(2,3),B(4,-3),

所以而=。-2,y—3)，前=(x—4,y+3)，

因为丽=-2而，所以而=2而，

S<-3：2(y；3V解%二，即Pli).

故选C

【点睛】

本题主要考查向量的坐标运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.

7.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知两点设诙=砺+左砺

(kGR),且砺J_而，贝“丽|=()

51

A.2B.0C.—D.-

22

【答案】C

【解析】

【分析】

利用已知条件表示出向量而，通过NBOP=90。，求出k,然后求解结果，得到答案.

【详解】

由题意可得双=(1,0),诙=(1,1),则历=加+左诙=伏+1,左)，

又由诙上而，则历历=(1,1)•(4+1,⑥=2左+1=0,解得左=一:，

即9=(g,—f,所以|研=J(g)2+(_g)2=当,故选C.

【点睛】

本题主要考查了向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，及向

量的数量积的运算公式，合理列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力,

属于基础题.

8.已知平面向量日与b的夹角为且M=l,成+25|=26，贝！)同=()

A.1B.73C.2D.3

【答案】C

【解析】

试题分析：由题

2

|&+2b|=2A/5=>同，41.石+〔2司=12=>|a|+4|a|x|/?|xcos—+|2£>|=12

|5|2+4|a|xlxl+4=12=>|«|2+2|«|-8=0.-.|a|=2

考点：向量的运算，向量的模

9.已知平面向量3，］满足a=(l,—2),b=(-3,/),且£_L(£+B),则忖=()

A.3B.710C.2百D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出Z+B，再利用7(£+0=0求出匕再求|印

【详解】

解：a+6=(1,-2)+(-3,/)=(-2,2)

由+所以a-(a+B)=0

1x(-2)+(-2)x(—2)=0,

/=1,^=(-3,1),|^|=V1()

故选：B

【点睛】

考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.

10.平行四边形A3CZ)中，ZBAD=l20\\AB\=2,\Ab\=3,BE=-BC,CF=^CD,

贝U通•衣=（）

33

A.3B.-C.—3D.

22

【答案】B

【解析】

【分析】

将AE,AF分别表示为向量而及而的和，利用数量积的定义求值即可

【详解】

由题/=而+空，AE=AB+BE=AB+-AD

23

—1—.3

则荏./=<AD+—）CAB+-AD）='

232

故选B

【点睛】

本题考查向量数量积的定义和性质，平面向量基本定理，考查运算能力，属于中档题.

11.在AA8C中，E,尸分别为边AB,AC上的点，且通=2万，而=定，

若展|=3,|AC|=2,A=60。，则丽・乔=（）

79八1315

A.—B.—C.—D.—

2244

【答案】B

【解析】

丽.丽=（赤-顼而-亚）=弓前-而）（济-1通）

1—.25―•--2―-21512,9

=-AC——ABAC+-AB=-x4一一x3x2x-+-x32，故选B.

46346232

二、填空题

12.已知M=(l,2),〃=(x,l),若22+b与1一日的夹角是锐角，则X的取值范围为

【答案】12kJ续加仁，咛史)

【解析】

【分析】

利用坐标表示出2M+5和万一B，根据夹角为锐角可得(2M+孙仅一5)>0且2)+5

与4-•不共线，从而构造出不等式解得结果.

【详解】

由题意得：2M+b=（x+2,5）,a-h=（\-x,\）

.・・（21+孙（1-6）=（工+2）（1-工）+5=-%2-％+7>0

解得：土叵一<土叵

22

1

X

又2N+5与万一5不共线「.x+2w5(l—x),解得:2-

-1-V2911/11

/.XG，二U~

222r'

7

木题正确结果:

【点睛】

本题考查根据向量夹角求解参数范围问题，易错点是忽略两向量共线的情况.

13.已知复数Z|=-l+2i,Z2=l-i,Z3=3-2i,它们所对应的点分别为A,B,C.若

OC-xOA+yOB，则x+y的值是―

【答案】5

【解析】

试题分析：代入坐标(3,-2)=x(—l,2)+y(l,T),得到方程,-*+)’=,解得

2%-y=-2

x=1,y=4,所以x+y=5

考点：1.复数的几何意义；2.向量的坐标运算.

在平行四边形。中，沿。将四边形折起成直二面角

14.ABCABBD=098

A-BD-C,且阿丽+丽|=2,则三棱锥A-88的外接球的表面积为

【答案】4万

【解析】

【分析】

由A月,875=0得Afi_L，结合直二面角A—8。—C，可证ABJ■平面BCD，从

而有AB_L8C,因此AC中点。就是外接球球心.由此可求得表面积.

【详解】

由丽・丽=0得又平面平面BCO,，A3,平面3DC，

AB1BC,同理CD_L4D,取AC中点。，则。到四顶点的距离相等，即为三棱锥

4—BC£＞的外接球的球心.

AC2=CD2+AD2=CD1+BD2+AB2=2AB2+BD2,

夜丽+丽|=2,

|&丽+而『=2AB+2y[2ABBD+Bb'=2AB?+BD2=4>

AAC2=4.AC=2,

2,

/.S=4^x(­)-=4万.

故答案为：4万.

C

【点睛】

本题考查球的表面积，解题关键是找到外接球球心.利用直角三角形寻找球心是最简单

的方法.三棱锥外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线.

15.已知a=（2sinl3°,2sin77°）,|a-^|=1,（3,万一5）=?,则,+同=.

【答案】V13

【解析】

&=（2sinl3°,2sin77°）

n\a\=7（2sinl30）2+（2sin770）2=7（2sinl30）2+（2cosl30）2=2

所以同2=同2+|&_必一2同,一句cosm=4+l-2=3

1+W+忖—5|2=2,『+2例2n&+5『=2x4+2x3—1=13=＞忖+同=厉

三、解答题

16.已知点A（—2,4）,8（3,—1）,。（—3,-4）,设向量福=%觉=瓦&?=}

（I）若"痴十应，求实数相，〃的值;

（H）若西=—25,西=32,求向量丽的坐标.

【答案】（1）m=n=~\.

⑵丽=（9,一18）.

【解析】

【分

（1）由向量相等，其坐标对应相等，列出方程组，求出m、n的值；（2）设出

M（xi，yi）,N（X2，y2）,根据向量相等，求出M、N的坐标，再求向量版7的坐标

表示.

【详解】

—♦—♦—♦

⑴:a=mb+nc，

・♦.(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8),

.[-6m+n=5

1-3m+8n=-5

解得m=-I,n=-1；

(2)设M(xi,yi),N(X2,y2),

*-'ci=3c-CN=-2b-

即(xi+3,yi+4)=(3,24),

(X2+3,yi+4)=(12,6)；

'X]+3=3X2+3=12

yt+4=24'y2+4=6

X[=0X2=9

解得《

丫

1=20y2=2

AM(0,20),N(9,2)；

:.向量而=(9,-18).

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算与坐标运算的问题，也考查了向量的相等问题以及解方

程组的应用问题，是基础题.向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、

作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些

垂直、平行、夹角与距离问题.

17.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,0),5(10,0),C(ll,3),0(10,6).

(1)①证明：cosZABC+cosZADC=0；

②证明：存在点尸使得Q4=P8=PC=PQ.并求出尸的坐标；

(2)过C点的直线/将四边形A8C。分成周长相等的两部分,产生的另一个交点为E,

求点E的坐标.

【答案】(1)①见解析；②见解析，(6,3)；(2)(y,|).

【解析】

【分析】

(1)①利用夹角公式可得cosNA5C+cosNAT>C=0；②由条件知点P为四边形

ABCO外接圆的圆心，根据丽.耳亍=0,可得AB_L8C,四边形ABC。外接圆的

圆心为AO的中点，然后求出点P的坐标；

10-x=9(%-2)

(2)根据条件可得EO=9AE，然后设E的坐标为(匕y)，根据

6-y=9y

可得£的坐标.

【详解】

(1)①•.•4(2,0),5(10,0),C(ll,3),0(10,6),

，丽=(一8,0),就=(1,3),丽=(一8,—6),反=(1,一3),

BA»BC-8VlO

/.cosZABC=

IBA||BC\―8710—10

DA.DC10Vio

cosZADC=

|DA||DCI-lOVlO_10，

/.cosZABC+cosZADC=0；

②由Q4=PB=PC=P0知，点P为四边形ABC。外接圆的圆心,

AB=(8,0).BC=(0,6),••AB.BC=0.

：.AB±BC,四边形ABCD外接圆的圆心为AD的中点,

.••点P的坐标为(6,3)；

(2)由两点间的距离公式可得，AB=S,BC=CD=M，AD=10,

••.过C点的直线/将四边形ABCD分成周长相等的两部分，

utiiiiiiai

ED=9AE，

UUU_____

设七的坐标为(xy),则£0=(10—x,6—y)，AE=(x-2,y),

-14

x=一

10-x=9(x-2).5

6-y=9y""3'

r5

143

，点E的坐标为(二,《)・

【点睛】

本题考查向量的夹角公式、向量相等、向量的运算性质、两点间的距离公式等，考查函

数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

18.已知AA8C中42,4),8(-1,-2),C(4,3),5C边上的高为40.

(1)求证:AB_L4C;

(2)求点O坐标.

【答案】⑴证明见解析；(2)(g,£|.

【解析】

【分析】

(1)由向量数量积等于零即可证得直线垂直；

(2)设BD=ABC，结合向量的运算法则求得A的值即可确定点D的坐标.

【详解】

(1)由题意可得:BA=(3,6),AC=(2,—1),

则：丽=3x2+6x(-l)=0,

所以A5L4c

(2)由。在BC上,所以存在实数4使丽=ABC=(5452),

所以。(5之—1,5A—2),所以AD=(54—3,5A—6),

-------9

由4O_LBC得AO8C=(5/l—3,5/1—6)(5,5)=0,.=/1二历,

所以呜,|)

【点睛】

本题主要考查向量在几何中的应用，向量数量积与坐标的计算等知识，意在考查学生的

转化能力和计算求解能力.

19.设砥=区,X,),西7满足：丽二=(七一%,X.+"),〃eN*,且的=(3,4)•

(1)求出所有的正整数"，使得0不与平行；

(2)求数列的前102项的和.

【答案】(1)n=4k+l,kwN；(2)1+2也.

【解析】

【分析】

(工)根据向量的关系，z“=x“+z'•券在复平面上对应点为A.(乙,"),贝I]

z„+1=(l+z)-z„,得出z“=(l+i)"Tz1,利用复数的幕运算，求解即可：

(2)通过z“+4=(1+。％”=Tz“，得出七+4券+4=16当先，然后求解数列的和即可.

【详解】

(1)考虑复数运算(l+i)(x.+i•然)=七一稣+"怎+”)，其中i为虚数单位，

Z“=Xn+z.yn在复平面上对应点为X,)，则2„+,=(1+/)-Z“，

要使见与两平行即存在实数2使两=4两，即2=储4,又2向=(1+。/.,

故z“=(1+为，即(1+=4为实数，

(1+Z)2=2Z,(1+O'=-2+2z,(1+i)4=-4,依次类推，

所以〃一1是4的整数倍，

即1=4火,〃=4A+1,A£N.

(2)因为z,,+4=(l+i)"z,=-4z“，所以乙+4=一4Z，"+4=-4%,

所以当+4%+4=16%%,

M=(3,4),*=(-1,7),砥=(一8,6),漪=(一14,一2)

所以玉X=12,々%=-7,七%=一48,玉％=28，

数列｛招％｝的前102项的和:

工02=(石X+工2%+F%+w%)+(毛％+%券+不月+/%)+•••

+(/7%7+28%8+与丁99+XooXoo)+芭OlXoi+石02丁102

1-1625

=(12-7-48+28)x+16/XJ+尤2y2)

1-16

l-2l(M)+2l00x(12-7)

=1+2102

【点睛】

此题考查通过复平面内的点与向量相结合的综合运算求解数列相关问题关键在于准确

找出Z“+1=(1+»2〃这一运算关系，对于解题起到事半功倍的作用.

20.已知双曲线的中心在原点，焦点尸1,尸2在坐标轴上，离心率为近，且过点

p(4,-Vio).

⑴求双曲线的方程;

(2)若点M(3,⑼在双曲线上，试求丽•砥的值.

【答案】(1)心—案=6.(2)0

【解析】

【分析】

(1)由题意可设双曲线方程为炉一产=〃拄0),将尸点代入求出参数2的值，从而求出

双曲线方程.

(2)先求出肛的解析式，把点M3,⑼代入双曲线，可得到答案.

【详解】

解：⑴入二血，.•.可设双曲线的方程为/一＞2=9/)).

•.•双曲线过点尸卜,一可)，.♦.16—10=2,即2=6.

.••双曲线的方程为好一产=6.

(2)由(1)可知，a=b=瓜,

得c=2百，Q(—26，0),尸2(2百，0),

UUULz_\UUim'L\

MFt=(-2V3-3,-mJ,MF2=(2V3-3,-mJ,

从而MF、,MF?—(—2A/^—3,—〃?)—3,—/〃)=—3+tn~

由于点M(3,瓶)在双曲线上，.'.g-,，=6,即加一3=0,

故物用近=0.

【点睛】

本题考查双曲线的标准方程，考查向量的数量积公式，属于中档题.

21.(本题满分15分)设△ABC的面积为S,且2S+百丽•沅=0.

(1)求角A的大小；

(2)若|比|=6,且角8不是最小角，求S的取值范围.

【答案】(1)A=y；(2)Se(0,亨)

【解析】

试题分析：(1)由2S+&AB・AC=0n2x，力csinA+G/?ccosA=0=t