相似三角形的性质【十大题型】（人教版）

专题27.4相似三角形的性质【十大题型】

【人教版】

【题型1利用相似三角形的性质求角度】..........................................................2

【题型2利用相似三角形的性质求线段长度】......................................................4

【题型3利用相似三角形的性质求面积】..........................................................6

【题型4利用相似三角形的性质求周长】..........................................................8

【题型5利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】.............................................10

【题型6利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】.......................................14

【题型7尺规作图作相似三角形】................................................................19

【题型8在网格中画与已知三角形相似的三角形】.................................................23

【题型9新定义中的相似三角形】...............................................................28

【题型10相似与函数综合探究】.................................................................37

“印，二

——

【知识点1相似三角形的性质】

①相似三角形的对应角相等.

如图，△ABCs/vnrC,则有

Z4=ZA',NB=NB',NC=NC'.

②相似三角形的对应边成比例.

如图，△ABCs/WQC,则有ZA八

ABBCAC.,,工.、,1、

———k(k为相似比).(?•

A'B"B'CA'C

③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成zAA

比例，都等于相似比.

如图，4W、47和是△ABC中BC

边上的中线、高线和角平分线，A'M\4H'和4。是

中边上的中线、高线和角平分线，则有BMC/rM9c*

AB-CAC9AMA//AD

A'B'_B'C_A'C-‘一A'M'~A'H'~A'D'

Lzi

④相似三角形周长的比等于相似比.zL

如图，ZVIBCs△"B'C,则有

AB__6T_AC_AB+8C+AC_卜

A//(*/r/

A'B'~B'C~A'C'~A'B'+B'C+AC~'

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方.

小d

如图，△ABCs△4&C,则有

—BC,AHu

S△八"c2BCAAH/二

S4KByA.B'C-A!H'B'C'A'//'

2

【题型1利用相似三角形的性质求角度】

【例1】（2022•湖南•永州柳子中学九年级期中）已知若国1=50。，0E=7O°,则团产的度数为（）

A.30°B.60°C.70°D.80°

【答案】B

【分析】根据相似三角形的对应角相等求出财=团。=50。，然后根据三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：0AABC-A£>EF,

BEL4=00=50°,

00F=180°-fflD-E）£=180--50°-70°=60°,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形对应角相等，对应边成比例.

【变式1-1］（2022•江苏•常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△ABC0AD4C,回8=31。，团。=

117°,则（3BC£>的度数是（）

A.32°B.48°C.64°D.86°

【答案】C

【分析】根据相似三角形的性质得到ElD4C=®B=3r,0BAC=0D=117°,团8cA=S4C£）,根据三角形内角和定理

计算即可.

【详解】解：^SABCWDAC,回8=31°,120=117°,

00DAC=BB=31°,0BAC=B£）=117O,135c4=0ACD,

038C£）=回BC4+B4Cr）=2（180°-31°-l：17°）=64°,

故选：C.

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键.

【变式1-2］（2022•全国•九年级专题练习）如图，在正方形网格上有两个相似三角形AABC和△EDF,则

N4BC+N4cB的度数为（）

D

A

A.135°B.90°C.60°D.45°

【答案】D

【分析】根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和等于180。，即可得出.

【详解】解：^BABCWEDF,

^\BAC=S\DEF,

又E0DE尸=90°+45°=135°,

00BAC=135°,

团乙4BC+乙1CB=18O。-/.BAC=180°-135°=45°.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找到相似三角形中的对应关系.

【变式1-3］（2022•云南楚雄•九年级期末）如图，点4、B、C、D四点共线,"BC是等边三角形，当4P4B〜ADPC

时，44Po的度数为（）

A.120°B.100°C.110°D.125°

【答案】A

【分析】根据4PAB~4DPC得出=LDPC,根据4PBC是等边三角形得出NPBC=乙BPC=60°,根据外

角的性质得出乙4+乙4PB=4PBC=60。，可推出乙4PB+4DPC=60。，从而即可得到答案.

【详解】•：APAB-ADPC

Z.A=乙DPC

•./P8C是等边三角形

•••LPBC=乙BPC=60°

Z.A+/.APB=乙PBC=60°

•••AAPB+乙DPC=60°

£.APD=/.APB+4PBC+乙DPC=120°

故选A.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解

题的关键.

【题型2利用相似三角形的性质求线段长度】

【例2】（2022•全国•九年级课时练习）如图，在EMBCD中，AB=10,AD=6,E是4。的中点，在CD上取

一点尸，使△CBFEkiABE,则DF的长是（）

A.8.2B.6.4C.5D.1.8

【答案】A

【分析】E是AD的中点可求得AE,根据三角形相似的性质可得第=整，可得CF的长即可求解.

AEBA

【详解】解：I3E是4D的中点，AD=6,

SAE=-AD=3,

2

X0ACBF0AABE,

.•.竺=些，即竺=2，

AEBA310

解得C尸=1.8,

DF=DC-CF=10-1.8=8.2,

故选:A.

【点睛】本题考查了三角形相似的性质，掌握三角形相似的性质对应边的比相等是解题的关键.

【变式2-1］（2022•全国•九年级专题练习）如图，SABC^SDEF,相似比为1团2,若BC=1,则EF的长是

BDE

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据已知条件得到警=；，即可得到EE=28C=2,问题得解.

EF2

【详解】解：^ABC^DEF,相似比为1团2,

度=工,

EF2

©EF=2BC=2.

故选：B

【点睛】本题考查了相似的性质，熟知相似三角形的性质是解题关键.

【变式2-2］（2022•全国•九年级专题练习）已知AABCs/iDEF,mABC的三边长分别为V14,3,DEF

的其中的两边长分别为1和夕，则第三边长为.

【答案】卓

【分析】先求得相似比，再列式计算求得

【详解】设回。EF的第三边长为x,

•••△ABCsADEF且EIABC的三边长分别为VI714,3,

回。所的其中的两边长分别为1和夜，

*畜/

2

00DEF的第三边长为言

故答案为：

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求出相似比是解题关键.

【变式2-3］（2022・吉林・长春市赫行实验学校二模）如图所示，图中x=—.

【答案】2V2

【分析】先根据三角形内角和定理求出NC的度数，由相似三角形的判定定理可判断IlMABCsADEF,再根

据相似三角形的对应边成比例即可解答.

【详解】解：TAABC中，44=45。，48=30。，

•••ZC=180°-4A-NB=180°-45°-30°=105°,

Vz_E=Z-B=30°,zC=ZF,

・•・LABC〜XDEF,

.BC_AC

••—=-,

EFDF

即2=它,

4x

X=2V2.

故答案为：2a.

【点睛】本题涉及到三角形内角和定理、相似三角形的判定及性质，比较简单.

【题型3利用相似三角形的性质求面积】

【例3】（2022•陕西渭南•九年级阶段练习）若△ABCOEF,△ABC与AOEF的面积比为25:36,则AABC

与ADE尸的对应边的比是（）

A.5:6B.6:5C.25:36D.36:25

【答案】A

【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出0ABC与aDEF的相似比即可.

【详解】解：皿48。，2\。后?且2\43（7与4。环的面积比为25:36

13它们的相似比为5：6.

故选:A.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答本题的关

键.

【变式3-1]（2022•河南新乡•九年级期末）△斐BC与△4CC，的位似比是1:2,已知△ABC的面积是3,则

△的面积是（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】D

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两个三角形的相似比，根据题意计算即可.

【详解】解：aaABcaaAbc,相似比为i：2,

GBABC与财BC的面积比为1：4,

EEL48C的面积是3,

回0ABe的面积是12,

故选：D.

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键.

【变式3-2］（2022•河北石家庄•九年级期末）把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，则它的面积扩大

为原来的倍.

【答案】9

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出即可.

【详解】解：团把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，

回面积扩大为原来的9倍，

故答案为：9.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，能正确运用相似三角形的性质进行计算是解此题的关键，

注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比.

【变式3-3］（2022•河南・鹤壁市淇滨中学九年级期中）如图，在R/S4BC中，团BAC=90。，AB=3,BC=5,

点。是线段BC上一动点，连结A。，以A。为边作EL4OE,使她。比S45C,则的最小面积等于.

【答案】§

【分析】根据勾股定理得到AC=4,当AD03C时，的面积最小，根据三角形的面积公式得到AO=

竿=答=昔,根据相似三角形的性质得到由此三角形的面积公式即可得到结论.

DC555

【详解】解：团在4国48。中，团B4C=90。，AB=3fBC=5,

MC=4,

^ADE^ABC,

—.ADAEunADAE

0—=—,即一=—

ABAC34

4

国AE=-AD

3f

2

BISAADE=^AD-AE=IAD,

13当AQ08c时，0L4OE的面积最小，

13此时有S-8C=1AB-AC=^BC-AD

00AD£的最小面积=|x（y）2=||；

故答案为京

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式，正确的理解题意是

解题的关键.

【题型4利用相似三角形的性质求周长】

【例4】（2022•湖南株洲•九年级期末）有一个直角三角形的边长分别为3,4,5,另一个与它相似的直角

三角形的最小边长为7,则另一个直角三角形的周长是（）

A.—B.—C.21D.28

55

【答案】D

【分析】根据题意求出三角形的周长，根据相似三角形的周长比等于相似比列式计算即可.

【详解】解：设另一个直角三角形的周长为X,

⑦三角形的边长分别为3,4,5,

团周长为：3+4+5=12,

回两个三角形相似，

2=三，

X7

解得：x=28,故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键.

【变式4-1]（2022•重庆实验外国语学校八年级期末）如图是一个边长为1的正方形组成的网络，MBC与

S4/B/G都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且MBCiaaA/B/C/,则S4BC与如1/8/G的周长之比是（）

A.1：2B.1：4C.2：3D.4：9

【答案】C

【分析】根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：WABCWAiBtCi，AB=2^^=3,

豳48c与EM/B/C/的周长之比笄=

故选C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.

【变式4-2]（2022•辽宁•阜新市第四中学九年级阶段练习）已知△ABCs^OEF,其中4B=12,BC=6,

CA=9,DE=3,那么AOEF的周长是.

【答案】

4

【分析】根据两个三角形相似，相似三角形的周长比等于相似比，即可解出ADE尸的周长.

【详解】0A/1BCfDEF

13相似三角形的周长比等于相似比

肥包型=殷=王

“DEFDE3

27

团CgEF=~

故答案为：?

4

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：相似三角形的周长比等于相似比.

【变式4-3]（2022•辽宁鞍山•二模）已知AABCs△4'B'C',且AB=2A'B'.若△4BC的周长是18cm,那

么夕C’的周长是cm.

【答案】9

【分析】利用相似三角形的周长的比等于相似比求解即可.

【详解】解：回△ABOM'B'C',

团△ABC的周长：△4'8'C'的周长=AB:A'B'=2：1,

©△4BC的周长是18cm,

E1A4'8'C'的周长是9cm.

故答案为：9.

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，用到的知识点为：相似三角形周长的比等于相似比.

【题型5利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】

【例5】（2022•北京市第一五六中学九年级期中）如图，已知AE平分团B4C,空=空.

⑴求证：0E=0C；

（2）若4B=9,AD=5,DC=3,求BE的长.

【答案】（1）见解析

⑵BE=y

【分析】（1）根据角平分线的定义可得NB4E=/04C,结合已知条件得出△BAESA/MC,根据相似三角

形的性质即可得证；

（2）根据列出比例式，代入数据计算即可求解.

（1）

证明：HL4E平分团BAC,

回乙BAE=Z.DAC,

TABAE

乂7丽=就,

0ABAEs&DACf

团4E=zC；

(2)

0ABAEDACf

,:AB=9,AD=5,DC=3,

.9_BE

，,5-

解得BE=y.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

【变式5-1](2022•上海・测试・编辑教研五八年级期末)如图，在△ABC中，点0、点E分别在AC、48上,

点P是BD上的一点，联结EP并延长交47于点F,J&Z/1=^EPB=^ECB.

⑴求证：BE•BA=BP♦BD；

⑵若Z71CB=90。，求证：CP1BD.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)证明APBE和△4BD相似，即可证明.

(2)先证明△4BCI3ACBE,再证明△PBCEIACBD,得到NBPC=NBCD=90。，即可证明.

(1)

证明：vZX=/.EPB,乙PBE=AABD,

・•・△P5F0AABD,

灌=处

BDBA

・・・BEBA=BPBD.

(2)

证明：VZ/4=Z.ECB,Z.ABC=Z.CBE,

ABACBE,

BCBA

:.—=—,

BEBC

BE-BA=BC2,

XSBF-BA=BP-BD,

BC2=BP-BD,

BCBP

--=---，

BDBC

•・•乙PBC=乙CBD,

・•.△PBC0ACBD,

•:乙ACB=90°,

・•・乙BPC=(BCD=90°,

・•・CP1BD.

【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的对应边成比例列出相应的比

例式，再经过适当的变形使所得的比例式符合"两边成比例且夹角相等”的形式.

【变式5-2](2022•山东•东平县江河国际实验学校二模)如图，点D,E分别在AABC的边BC,AC上，连

接AD,DE.

(1)若回C=EIBAD,AB=5,求BD-BC的值；

(2)若点E是AC的中点，AD=V2AE,求证：(31=SC.

【答案】(1)25；(2)见解析

【分析】(1)由EIC=13BAD、0ABD=I3CBA可得出0ABD03CBA,根据相似三角形的性质可得出黑=骼进而

BCAB

即可得到结论；

(2)由点E是AC的中点、AD=V2AE,可得出丝=啜，结合E1DAE=I3CAD可证出I3DAE瓯CAD,再根据相

ACAD

似三角形的性质可证出E11WC.

【详解】解：(1)00C=0BAD,回B=I3B,

B

团AABD〜ACBA

樱的

BCAB

0AB=5

&BD•BC=AB2=25.

(2)团点E是AC的中点,

0AC=2AE.

0AD=V2AE.

mAD42AEV2

AC2AE2

AE_4E_J__V2

AD.\f2AE一夜一2，，

樱=丝.，

ACAD

又E)DAE=EICAD(公共角).，

00DAE00CAD,

S01=0C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是：（1）根据相似三角形的性质找出等积式；（2）

由边与边之间的关系找出两边对应成比例，结合夹角相等证明三角形相似

【变式5-3］（2022•湖北恩施•二模）如图，在E1ABC中，D、E、尸分别是边AC,AB,BC上的点，DE\\BC,

DF\\AB.

（1）求证：SB=SEDF.

⑵若CF=；BC,求衿区的值.

3S“ED

【答案】（1）证明见解析

⑵;

【分析1（1）证明四边形BEDF为平行四边形，从而得到NB=/EDF：

（2）证明ADFCs△力ED,利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解.

⑴

证明：•：DE//BC,DF//AB,

•••四边形BEDF是平行四边形，

•••Z.B=Z.EDF.

⑵

解：1••CF=^BC,

2

・・・BF=-BC.

3

・•,四边形8EDF是平行四边形，

2

・•・ED=BF=-BC.

3

vDE“BC,DF//ABt

'•zC=Z-ADEf乙CDF=

:.△DFCAED,

...辿£=（竺）2=亦一

S&AED\2）4

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解决本题的关键是将相似三角

形的面积之比转化为相似比的平方.

【题型6利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】

【例6】（2022•全国•九年级课时练习）如图，已知△力DE的顶点E在AABC的边BC上，OE与AB相交于

点F,Z-FEA=乙B,Z,DAF=乙EAC.

D

/

C

BE

⑴若4F=BF=4,求AE；

(2)求证：g=g

【答案】⑴见详解

⑵见详解

【分析】(1)根据NFEA=4氏^BAE=LEAF,证明ABAE“AE4F,然后根据相似三角形对应边成比例

得到4盾=AF-AB,即可得到结论；

(2)首先由NQ4F=4C4E,得到4ZME=NCAF,然后进•步证明AZME“ACAB,根据相似三角形对应边

成比例和对应角相等得到器=缘，ZD=ZC,然后根据两角对应相等证明AZMFsAEE,得到襄=吟，然

BCACECAC

后根据线段之间的转化即可证明出差=段

DECB

(1)

解：^Z.FEA=ZF,Z.BAE=Z-EAFf

0ABAE~△EAF,

造="

AFAE

团AE2=AF-AB,

财F=BF=4,

团4E2=4(4+4)=32,

团AE=4V2；

(2)

证明：^Z.DAF=Z-CAE,Z.FAE=Z.FAE,

团乙

DAE=Z.CAFf

⑦乙FEA=乙B,

(?]△DAE〜△CAB,

喷=笫2。="，

胤血4F=乙EAC,

0ADAF^△CAE,

烂=也，

ECAC

【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定方法.相

似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等.相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两

个三角形相似；②两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三组边对应成比例的两个三角形相

似.

【变式6-1］（2022•江苏•九年级专题练习）已知矩形ABCO的一条边4力=8,将矩形488折叠，使得顶

点8落在CQ边上的P点处.如图，已知折痕与边BC交于点。，连接AP、OP、OA.

（1）求证：—=—；

PDAP

（2）若OP与孙的比为1：2,求边AB的长.

【答案】（1）见解析；（2）10

【分析】（1）根据折叠的性质得到NAP。=NB=90。，根据相似三角形的判定定理证明40cps4PD4,

进而解答即可；

（2）根据相似三角形的相似比得出PC=?4D，再利用勾股定理求解.

【详解】证明：（1）由折叠的性质可知，乙4P。==90。，

^APD+乙OPC=90°,MPOC+乙OPC=90°,

JLAPD=乙POC,又ND=ZC=90°,

AOCPsAPDA,

・•・一OC=一OP;

PDAP

（2）・・・OP与孙的比为1：2,

・・・PC=-AD=4,

2

设AB=%,则。C=%,AP=x,DP=x—4,

在RtAAPD中，AP2=AD2+PD2,即/=8?+Q-4尸,

解得，x=10,即AB=10.

【点睛】本题考查的是矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握折叠是一

种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等.

【变式6-2］（2022•全国•九年级专题练习）如图，在zMBC中，AB=AC,。是边BC的延长线上一点，E是

边4C上一点，且NEBC=m

【答案】见解析

【分析】由力B=4C可知乙4BC=AACB,结合NEBC=4D,判定△BCDDBA即可得证.

【详解】证明：•••AB=4C,

・•・Z-ABC=乙ACB,

^Z.ABD=乙ECB,

v乙EBC=乙D,

BCDDBA»

CE_BC

AB~BD

【点睛】本题考查三角形的相似性质和判定，等相关知识点，牢记知识点是解题关键.

【变式6-3］（2022・湖南益阳•九年级期末）如图，在I34BC中，0SAC=9O°,A。是8c边上的高，E是BC

边上的一个动点（不与8,C重合），EF^AB,EGSAC,垂足分别为F,G.

A

⑴求P*证、T*：石EG=布CG;

(2)FD与0G是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；

【答案】⑴见解析

(2)FC与。G垂直，证明见解析

【分析】(1)由比例线段可知，我们需要证明△ACC〜AEGC,由两个角对应相等即可证得.

(1)由矩形的判定定理可知，四边形4FEG为矩形，根据矩形的性质及相似三角形的判定可得到A/IFD〜

△CGD,从而不难得到结论.

⑴

在财。C和ELEGC中，

WADC=^EGC,0C=0C,

EEL4DO30EGC.

0^=—.

ADCD

(2)

与OG垂直.

证明如下：

在四边形AFEG中，

03/^G=EL4FE=a4GE=9O°,

13四边形4FEG为矩形.

SAF=EG.

彦=丝，

ADCD

造=竺.

ADCD

又0a4BC为直角三角形，ADfflBC,

00MD=[3C=9OO-回。AC,

S0AFD00CGD.

WADF=^CDG.

WCDG+&ADG=90°,

0I2WDF+I?L4DG=9O°.即®FDG=90°.

SFDSDG.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，①如果两个三角形的两组对应角相等，那么这两个三角形

相似;②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似.

【题型7尺规作图作相似三角形】

【例7】(2022•山东烟台•八年级期末)尺规作图：如图，已知A/IBC,且(只保留作图痕迹，

不要求写出作法)

⑴在4B边上求作点D,使DB=DC；

(2)在4c边上求作点E,使

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据题意作出BC垂直平分线交4B于点。，即可求解;

(2)作乙4DE=即可求解.

(1)

如图所示，作出8C垂直平分线交48于点。，D点即为所求：

如图所示，作〃OE=NACB交ACF点E,点E即为所求.

亩乙A=Z-A,JLACB-乙ADE,

[?]△ADEACB.

【点睛】本题考查了作垂直平分线，作一个角等于已知角，掌握垂直平分线的性质，相似三角形的性质以

及基本作图是解题的关键.

【变式7-1］（2022・山东济宁•二模）如图，在AABC中，NB4C=90。,8。平分乙4BC.

队

ADc

⑴求作ACDE使点E在BC上，且ACOESACB。；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，若氏4=次,乙4BC=60。，求CE长.

【答案】（1）见解析

（2）CE的长为苧

【分析】（1）根据作一个角等于已知角进行作图即可;

（2）先求出I3C=3O。，团CBZ）=30°,再求出CZ）与8c的长，再由△CCE，△CBD列出比例式竽=

再求解即可

（1）

作图如下:

⑵

0ZB/4C=90°,4ABC=60°,

03C=3O°,

M。平分乙4BC.

mABD=^CBD=30°,

13在RdABC中，BA=V3,团C=3O°,

S\AC=痘AB=3,BC=2AB=2V3,

团在RfZVlB。中，BA=V3,EL4BD=30°,

团AD=^V348=1,

3

团0)=2,

OACDECBD,

修=2

CDCB

畔=品

解得：CE吟

【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角

形的性质.

【变式7-2］（2022・陕西宝鸡•一模）如图，在等腰0ABe中，AB=AC,点。是AC边上一定点.请用尺规

作图法在BC上求作一点P,使得048cH3PC£）.（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

【分析】由和AB=4C,可以推导出I3PC。为等腰三角形，即可知点P在线段CO的中垂线上.

［详解］解：^ABC^PCD,

瓯PCD是以尸为顶点的等腰三角形，及P在线段CO的中垂线上,

如图，点尸即为所求.

【点睛】本题考查相似三角形的应用、尺规作图，通过相似找到线段关系，准确画出图像是解题的关键.

【变式7-3］（2022•江苏省锡山高级中学实验学校模拟预测）如图，在四边形ABC。中，EL4=0B.

⑴请用无刻度的直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：

①过点。作A8的平行线交于点F；

②P为A8边上的一点，且同D4P!3I3PBC,请找出所有满足条件的点；

⑵在（1）的条件下，若AO=2,BC=3,AB=6,则AP=.

【答案】⑴见解析；

（2）3+百或3一8

【分析】（1）延长AD,作自即尸=&4,则此时。尸||48；先作OC的垂直平分线，过点。作AB的垂线交A8

于点以C为顶点，CD为角的一条边，作I3OCO=A£>M,交C。的垂直平分线于一点。，以。为圆心，以

0C为半径作圆，与AB的交点即为所求作的点P；

（2）根据相似三角形对应边相等，列出关于AP的关系式，求解即可.

⑴

如图所示：

。尸即为所求作的平行线;

如图所示,

符合条件的点尸共有两个;

(2)

WDAPWPHC,

igAP=x,贝i]8P=6-x,

即x(6—x)=6,

—x2+6x—6=0,

解得：刈=3+6，x2=3-V3,

即AP=3+百或3-b.

【点睛】本题主要考查了尺规作图，三角形相似的性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，线段的垂直

平分线，是解决本题的关键.

【题型8在网格中画与已知三角形相似的三角形】

【例8】(2022•安徽合肥•二模)如图是由边长为1的小正方形组成的网格，4B、C、D四点均在正方形网

格的格点上，线段A8、CD相交于点。.

D

C

⑴请在网格图中画出两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用缗'符号写出这对相似三

角形：

（2）线段A。的长为.

【答案】⑴见解析，△40C-A80D

【分析】（1）如图，连接BD,AC即可，可得△AOCs/iB。。.

（2）利用相似三角形的性质求解即可.

（1）

如图，连接AC,BD,

由格点图可得8DMC,

田AAOC〜&BOD,

(2)

AOCs&BOD,

回。8=“2+12=72,AC=y/32+32=3vLAB^22+22=2VL

胫=平=3,

OBV2

附。二3。8,

EL4O=-AB=-X2V2=-V2.

442

故答案为：当

【点睛】本题考查作图-应用与设计，三角形的三边关系，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

【变式8-1］（2022•河南南阳•九年级期末）（1）如图，姐8。的三个顶点都在方格纸的格点上.在方格纸

内画△4B，C',使A8C,相似比为2:1,且顶点都在格点上.

（2）△4'B'C'的面积是.

C

【答案】（1）答案见解析；（2）12

【分析】（1）根据相似比为2:1先确定对应点的位置，再连接即可得到答案；

（2）先求出根据△A8C的面积，然后根据相似三角形的性质得到△4'）的面积.

【详解】（1）如图，△ABC为所求作图形；（答案不唯一）

（2）由题意得，S^ABC=|x3x2=3

•••AA'B'C'^hABC,相似比为2:1

.SAAWC，_4

SAABC1

SAAEC'=12

故答案为：12.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理及性质定理，涉及作图，熟练掌握知识是解题关键.

【变式8-2］（2022•浙江温州•九年级专题练习）请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图

痕迹）

图1图2

（1）在图1中画出线段4B的中垂线

（2）如图2,在线段48上找出点C,使4C:CB=1:2.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】（1）取格点E,F,作直线E尸即可；

（2）将点4沿网格向下移动2个小格到点M,将点8沿网格向上移动4个小格到点N,连接MN交48于点C,

则点C即为所求.

(1)

如图所示，利用网格线确定中点，然后使二者垂直即可:

将点力沿网格向下移动2个小格到点M,将点B沿网格向上移动4个小格到点N,连接MN交AB于点C,

AM-.BN=1:2,

•••△ACMFBCN,

AM_AC_1

BN-BC_2,

【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，相似三角形的应用，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问

题.

【变式8-3］（2022・浙江温州•九年级期中）如图，在8x8的方格中，AABC的三个顶点都在小方格的顶点

上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上.

⑴请在图1中画一个三角形，使它与AABC相似，且相似比为2：1

⑵请在图2中画一个三角形，使它与AABC相似，且面积比为2：1

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】（1）已知AABC的三边长分别为48=，22+22=2dLAC=V12+22=V5,BC=3,则△4/©

的三边长分别为=4&,46=2后，/G=6,在图中画出zVliBiG即可；

（2）已知A48C的三边长分别为A8=V22+22=2&,AC=V12+22=V5,8c=3,则4心口2c2的三边

长分别为4%=4,A2C2=V10,82c2=3立，在图中画出△々BzG即可.

（1）

解：如图1所示：△4/B/G即为所求;

图2

【点睛】此题主要考查了相似变换，正确得出相似三角形的边长是解题关键.

【题型9新定义中的相似三角形】

【例9】（2022•陕西渭南•九年级期末）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三

角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的"理想对角线

⑴如图1,在四边形4BC0中，LABC=70°,AB=AD,AD||BC,当N4DC=145。时.求证：对角线BD是

四边形4BC。的“理想对角线”；

(2)如图2,四边形A8CD中，CA平分4BCD,BC=3,CD=2,对角线4c是四边形4BCD的“理想对角线”,

求4C的长.

【答案】⑴证明见解析；

(2)76

【分析】(1)利用两角对应相等证明△4B。s/iDBC,可得结论：

(2)利用"理想对角线"的定义可得△力BC与AC4C相似，先找到对应角(分两种情况)，再利用相似三角

形的性质即可求解.

(1)

证明：如图1中，

HL4B=ADJ

⑦乙ABD=Z.ADB,

^AD||BC,/.ABC=70°,

团乙ADB=乙DBC,

&Z.ABD=Z.DBC=-/.ABC=35°,

2

国ADIIBC,Z.ADC=145°,

0zC=180°-Z,ADC=180°-145°=35°,

⑦乙ABD=Z.DBC=Z.ADB=zC=35°,

©AABDDBC,

团对角线8。是四边形48CD的“理想对角线〃.

图1

(2)

解：如图2中，

团C4平分48CD,

团NBC4=ZL4CD,

团对角线AC是四边形ABC。的“理想对角线”,

0A4BC与AZMC相彳以，

①若乙48c=4DAC,贝必ABC，△DAC,

牌=生，^AC2=BC-DC,

BCAC

田BC=3,CD=2,

SAC2=BC-DC=3x2=6,

解得：AC^=V6>AC2=—V6（不合题意，舍去）

②若ZB4c=ADAC,

S/1C=AC,Z.BCA=Z.ACD,

回△4BC三△£）",与四边形的"理想对角线”的定义矛盾,

EINB4C与ND/C不相等，即第二种情况不存在.

综上所述，4c的长为口.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，四边形的"理想对角线”的定义，等边对等角，平行线的性质，

角平分线的性质等知识.解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质.

【变式9-1］（2022•福建・厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们

把这样的三角形叫做"和谐三角形在MBC中，点尸在边AC上，。是边BC上的一点，AB=BD,息A,

。关于直线/对称，且直线/经过点尸.

（1）如图1,求作点小（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）

（2）如图2,a48c是"和谐三角形"，三边长8C,AC,AB分别a,b,c,且满足下列两个条件：a#2b,和

a2+4c2=4ac+a-b-1.

①求”，6之间的等量关系：

②若4E是她B。的中线.求证：MCE是"和谐三角形

AA

图1图2

【答案】（1）见解析（2）①“%+1②见解析

【分析】（1）作的垂直平分线，交AC于F点即可;

（2）①根据题意得到。=2c,联立。2+4/=4在+。-b-1即可求解;

②证明MBfaacBA,得到雪=%故可求解.

【详解】（1）如图，点尸为所求;

(2)①团B45C是“和谐三角形”

0a=2c

又/+4，=4a+〃-b-1.

联立化简得到〃》+1；

②田七点是8Q中点

^BE=2-B2D=-AB

由①得到A3=]BC

曜=些=三

BCAB2

XEL4BE=0CBA

mABE^CBA

故朋CE是〃和谐三角形〃.

【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知垂直平分线的做法.

【变式9-2］（2022•江苏常州•九年级期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分,

其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的"形似线段

图3

⑴在EL4BC中，04=30.

①如图1,若回8=100。，请过顶点C画出0A8C的"形似线段"CM,并标注必要度数；

②如图2,若用8=90。，BC=1,则EL4BC的"形似线段"的长是.

（2）如图3,在QEF中，DE=4,EF=6,DF=8,若EG是。EF的"形似线段"，求EG的长.

【答案】⑴①见解析；②当或不

(2)3

【分析】（1）①使NBCM=30唧可，②利用三角形相似求解，分论讨论，当乙CBD=30。时，当乙CDB=60°

时，结合勾股定理求解：

（2）进行分类讨论，若△OEGSACFE,若4FEGMFDE,结合DE=4,EF=6,CF=8进行求解.

（1）

①如图所示，

图1

②分论讨论如下:

当NCBO=30。时，如卜图:

A

图2

DC=-2B2C=-,

••Z.A=30°,

:.Z.C=60°,

22

BD=yjBC-DC=2

当NCO8=60。时，如下图:

(2x)2=%2+1,

解得：x=Y，

DC=.，

3

则财BC的"形似线段"的长是?或不,

故答案为：苧或平.

⑵

解：①若△DEGfDFE,

vDE=4,EF—6,DF—8,

・•・EG—3.

（2）^AFEGFFDE,

E

DG

VDE=4,EF=6,DF=8,

・•.EG=3.

综上，EG=3.

【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，勾股定理，解题的关键是掌握三角形相似的判定及性质，

及利用分论讨论的思想进行求解.

【变式9-3](2022•安徽合肥•二模)定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这

样的三角形为倍角三角形.根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以

通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关

问题.请通过这种方法解答下列问题：

⑴如图1,EL4BC中，AO是角平分线，且AB2=BO-BC,求证：EL4BC是倍角三角形;

⑵如图2,已知EL4BC是倍角三角形，且41=24C,AB=8,BC=10,求AC的长；

⑶如图3,已知0ABC中，乙4=3z_C,AB=8,BC=10,求AC的长.

【答案】⑴见解析

(2MC=4.5

(3MC=3

【分析】(1)根据相似三角形的判定可证0ABDI苑C84,进而由相似三角形的性质可得SB4CM3C,角平分

线的性质可得团BAC=20BAQ,等量代换即可求证结论；

(2)作的角平分线A£),根据角平分线的性质易得ELBAC=203AC=213CAD,进而可证M8D0回CBA,根

据相似三角形的性质可得=进而可得8。、CD,由等角对等边可得4D=CZ)=3.6,根据相似

三角形的性质可得空=黑，代入数据即可求解；

(3)过点A作MAC的三等分角,AO,AE,分别交BC于点、D,E,根据三等分线的性质可知:/B4C=3^BAD=

3Z.DAE=3Z.CAE,进而可证△4BD〜△CBA,由相似三角形的性质可得：AB2=BD-BC,进而可得BO、

CD,根据外角的性质和等量代换可得4BAE=NBEA=2NC,进而由等角对等边可得BE=AB=8,进而可

得△4DE-ACZM,由相似三角形的性质可得：AD2=DECD,代入数据求得：AD=2.4,由相似三角形

的性质可得翌=整，代入数据即可求解.

ACAD

(1)

SAB2=BD-BC,