《12.3角的平分线的性质》知识清单

《12.3角的平分线的性质》知识清单人教版（2012）八年级上册第十二章12.3角的平分线的性质知识清单一、角平分线的定义1、概念从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线。比如，在角∠AOB中，射线OC把∠AOB分成∠AOC和∠BOC，且∠AOC＝∠BOC，那么OC就是∠AOB的平分线。二、角平分线的性质1、性质内容角平分线上的点到角两边的距离相等。这里的距离是指从角平分线上的点向角的两边作垂线段的长度。用数学语言来表述就是：如果OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，那么PD＝PE。2、证明角平分线性质我们可以通过三角形全等的知识来证明。已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB。在△OPD和△OPE中，因为∠AOC＝∠BOC（角平分线定义），∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直定义），OP＝OP（公共边），所以根据角角边（AAS）全等判定定理，得出△OPD≌△OPE，从而得到PD＝PE。3、应用角平分线性质解题的思路当题目中已知角平分线以及角平分线上的点到角一边的距离时，我们要想到这个点到角另一边的距离也相等，然后利用这个相等关系来求解线段的长度或者证明线段相等。例如：已知∠ABC的平分线BD，点E在BD上，EF⊥AB于F，若已知EF的长度，又知道点E到BC边的某条垂线段相关条件，就可以利用角平分线性质来解题。三、角平分线的判定1、判定内容角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。数学语言表述为：如果点P在∠AOB内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD＝PE，那么点P在∠AOB的平分线上。2、证明角平分线判定同样利用三角形全等。已知PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE。在Rt△OPD和Rt△OPE中，因为PD＝PE，OP＝OP（公共边），根据斜边直角边（HL）全等判定定理，得出Rt△OPD≌Rt△OPE，所以∠AOP＝∠BOP，即点P在∠AOB的平分线上。3、应用角平分线判定解题的思路当题目中给出角内部的一个点到角两边的距离相等时，我们要想到这个点在角的平分线上。比如在一个三角形中，已知某点到三角形两个角的两边距离分别相等，就可以判断这个点在这两个角的角平分线的交点处。四、关于角平分线的作图1、用尺规作角平分线步骤如下：以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C。画射线OC，OC就是∠AOB的平分线。2、原理这种作图方法的原理是基于三角形全等。连接MC、NC，在△OMC和△ONC中，OM＝ON（第一步画图得到），MC＝NC（第二步画图得到），OC＝OC（公共边），根据边边边（SSS）全等判定定理，得出△OMC≌△ONC，所以∠MOC＝∠NOC，即OC是∠AOB的平分线。五、习题1、已知：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF。求证：CF＝EB。2、如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD＝CD，BD平分∠ABC。求证：∠A+∠C＝180°。3、已知：OP是∠MON的平分线，点A在OP上，点B、C分别在OM、ON上，且AB＝AC。求证：∠ABO＝∠ACO。答案：1、证明：因为AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，根据角平分线的性质可知DC＝DE。在Rt△DCF和Rt△DEB中，因为BD＝DF，DC＝DE，所以Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），所以CF＝EB。2、证明：过点D作DE⊥BA交BA的延长线于E，DF⊥BC于F。因为BD平分∠ABC，所以DE＝DF。又因为AD＝CD，在Rt△ADE和Rt△CDF中，根据HL定理可得Rt△ADE≌Rt△CDF，所以∠C＝∠EAD。因为∠EAD+∠BAC＝180°，所以∠A+∠C＝180°。3、证明：过点A作AD⊥OM于D，AE⊥ON于E。因