《本章小结》讲义

《本章小结》讲义高中数学人教B版选修11第二章圆锥曲线与方程本章小结讲义一、圆锥曲线的定义1、椭圆定义：平面内与两个定点\（F_1,F_2\）的距离之和等于常数（大于\（＼vertF_1F_2\vert\））的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。例如：如果\（F_1,F_2\）是两个定点，＼（＼vertF_1F_2\vert＝2c\），点\（M\）满足\（＼vertMF_1\vert+＼vertMF_2\vert＝2a\）（＼（a＞c\）），那么点\（M\）的轨迹就是椭圆。就像我们拿一根绳子，两端固定在两个点（这两个点就是焦点），然后用一支笔把绳子绷紧，移动笔就画出了一个椭圆。2、双曲线定义：平面内与两个定点\（F_1,F_2\）的距离之差的绝对值等于常数（小于\（＼vertF_1F_2\vert\））的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。比如：设\（F_1,F_2\）是两个定点，＼（＼vertF_1F_2\vert＝2c\），点\（M\）满足\（＼vert\vertMF_1\vert\vertMF_2\vert\vert＝2a\）（＼（a＜c\）），这样点\（M\）的轨迹就是双曲线。想象一下，有两个点（焦点），点到这两个点的距离差是个定值，这个点运动的轨迹就是双曲线。3、抛物线定义：平面内，到一个定点\（F\）和一条定直线\（l\）（＼（F\notinl\））的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点\（F\）叫做抛物线的焦点，直线\（l\）叫做抛物线的准线。例如：我们可以想象在一个平面上，有一个点（焦点）和一条直线（准线），一个点到这个点和这条直线的距离总是相等，这个点运动的轨迹就是抛物线。就像投篮的时候，篮球出手后的轨迹有点像抛物线（当然这只是个简单的类比啦）。二、圆锥曲线的标准方程1、椭圆当焦点在\（x\）轴上时，椭圆的标准方程为\（＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＋＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞b＞0)＼），其中\（a\）是长半轴长，＼（b\）是短半轴长，＼（c^2=a^2b^2\），＼（c\）是半焦距。当焦点在\（y\）轴上时，椭圆的标准方程为\（＼frac{y^｛2}｝｛a^｛2}｝＋＼frac{x^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞b＞0)＼）。2、双曲线当焦点在\（x\）轴上时，双曲线的标准方程为\（＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞0,b＞0)＼），其中\（a\）是实半轴长，＼（b\）是虚半轴长，＼（c^2=a^2＋b^2\），＼（c\）是半焦距。当焦点在\（y\）轴上时，双曲线的标准方程为\（＼frac{y^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{x^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞0,b＞0)＼）。3、抛物线当焦点在\（x\）轴正半轴上时，抛物线的标准方程为\（y^｛2}＝2px(p＞0)＼），焦点坐标为\（（＼frac{p}｛2}，0)＼），准线方程为\（x＝＼frac{p}｛2}＼）。当焦点在\（x\）轴负半轴上时，抛物线的标准方程为\（y^｛2}＝－2px(p＞0)＼），焦点坐标为\（（＼frac{p}｛2}，0)＼），准线方程为\（x=＼frac{p}｛2}＼）。当焦点在\（y\）轴正半轴上时，抛物线的标准方程为\（x^｛2}＝2py(p＞0)＼），焦点坐标为\（（0,＼frac{p}｛2}）＼），准线方程为\（y＝＼frac{p}｛2}＼）。当焦点在\（y\）轴负半轴上时，抛物线的标准方程为\（x^｛2}＝－2py(p＞0)＼），焦点坐标为\（（0,＼frac{p}｛2}）＼），准线方程为\（y=＼frac{p}｛2}＼）。三、圆锥曲线的性质1、椭圆范围：对于\（＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＋＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞b＞0)＼），＼（a\leqslantx\leqslanta\），＼（b\leqslanty\leqslantb\）。对称性：关于\（x\）轴、＼（y\）轴和原点对称。顶点：＼（（＼pma,0)＼），＼（（0,＼pmb)＼）。离心率\（e=＼frac{c}｛a}（0＜e＜1)＼），离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越接近于圆。2、双曲线范围：对于\（＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞0,b＞0)＼），＼（x\leqslanta\）或\（x\geqslanta\）。对称性：关于\（x\）轴、＼（y\）轴和原点对称。顶点：＼（（＼pma,0)＼）。渐近线：当焦点在\（x\）轴上时，渐近线方程为\（y=＼pm\frac{b}｛a}x\）；当焦点在\（y\）轴上时，渐近线方程为\（y=＼pm\frac{a}｛b}x\）。离心率\（e=＼frac{c}｛a}（e＞1)＼），离心率越大，双曲线的开口越开阔。3、抛物线对于\（y^｛2}＝2px(p＞0)＼），对称轴为\（x\）轴，顶点为原点\（（0,0)＼），开口向右；当\（p\）越大，抛物线开口越开阔。四、重点和难点1、重点掌握圆锥曲线的定义、标准方程和性质。这些是解决圆锥曲线相关问题的基础，就像盖房子的砖头一样重要。能够根据已知条件求圆锥曲线的方程。这需要我们熟练运用定义和各种已知信息，比如给定焦点坐标、顶点坐标或者离心率等条件来确定方程。2、难点圆锥曲线中一些概念的理解，比如双曲线的渐近线概念。渐近线是双曲线特有的性质，它描述了双曲线无限接近但永远不会相交的直线，理解起来有点抽象。综合运用圆锥曲线的知识解决实际问题或者复杂的数学问题。这可能涉及到圆锥曲线与直线的位置关系，求交点坐标，以及利用圆锥曲线的性质来求解一些最值或者范围问题等。五、互动环节1、我来问，你们来答我问：椭圆的离心率范围是多少？你们答：＼（0＜e＜1\）。我再问：双曲线的渐近线方程怎么求呢？（可以举个焦点在\（x\）轴上的双曲线例子）你们回答：对于\（＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞0,b＞0)＼），渐近线方程是\（y=＼pm\frac{b}｛a}x\）。2、你们来问，我来答现在轮到你们提问啦，关于圆锥曲线的定义、方程或者性质方面有什么问题都可以问哦。六、习题1、填空题椭圆\（＼frac{x^｛2}｝｛25}＋＼frac{y^｛2}｝｛16}＝1\）的长半轴长\（a＝＼）＿_________，短半轴长\（b=＼）＿_________，半焦距\（c=＼）＿_________。双曲线\（＼frac{x^｛2}｝｛9}＼frac{y^｛2}｝｛16}＝1\）的实半轴长\（a=＼）＿_________，虚半轴长\（b=＼）＿_________，离心率\（e=＼）＿_________。抛物线\（y^｛2}＝8x\）的焦点坐标为\（（＼）＿_________,＼（0)＼），准线方程为\（x=＼）＿_________。2、解答题已知椭圆的两个焦点坐标分别为\（（－2,0)＼）和\（（2,0)＼），且椭圆过点\（（＼frac{5}｛2}，＼frac{3}｛2}）＼），求椭圆的标准方程。求双曲线\（＼frac{x^｛2}｝｛16}＼frac{y^｛2}｝｛9}＝1\）的渐近线方程，并画出草图（草图这里就简单描述一下大概形状就好）。已知抛物线\（y^｛2}＝2px(p＞0)＼）的焦点到准线的距离为\（4\），求\（p\）的值，并写出抛物线的标准方程。答案：1、填空题椭圆\（＼frac{x^｛2}｝｛25}＋＼frac{y^｛2}｝｛16}＝1\）中，＼（a＝5\），＼（b＝4\），＼（c＝3\）。双曲线\（＼frac{x^｛2}｝｛9}＼frac{y^｛2}｝｛16}＝1\）中，＼（a＝3\），＼（b＝4\），＼（e=＼frac{5}｛3}＼）。抛物线\（y^｛2}＝8x\）中，焦点坐标为\（（2,0)＼），准线方程为\（x=－2\）。2、解答题设椭圆方程为\（＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＋＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞b＞0)＼），＼（c＝2\），根据椭圆定义\（2a=＼sqrt{（＼frac{5}｛2}＋2)＾｛2}＋（＼frac{3}｛2}－0)＾｛2}｝＋＼sqrt{（＼frac{5}｛2}－2)＾｛2}＋（＼frac{3}｛2}－0)＾｛2}｝＼），解得\（a=＼sqrt{10}＼），又\（c＝2\），则\（b^｛2}＝a^｛2}c^｛2}＝104＝6\），椭圆方程为\（＼frac{x^｛2}｝｛10}＋＼frac{y^｛2}｝｛6}＝1\）。对于双曲线\（＼frac{x^｛2}｝｛16}＼frac{y^｛2}｝｛9}＝1\），渐近线方程为