2025届高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第五节直接证明与间接证明教师文档教案文北师大版

PAGE第五节干脆证明与间接证明授课提示：对应学生用书第116页[基础梳理]1．干脆证明内容综合法分析法定义从已知条件动身，经过逐步的推理，最终达到待证结论的方法，是一种从缘由推导到结果的思维方法从待证结论动身，一步一步寻求结论成立的充分条件，最终达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的缘由的思维方法特点从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，事实上是要找寻它的必要条件从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，事实上是要找寻它的充分条件2.间接证明——反证法要证明某一结论Q是正确的，但不干脆证明，而是先去假设Q不成立(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的，这种证明方法叫作反证法．[四基自测]1．(基础点：综合法)命题“对随意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合运用D．间接证明法答案：B2．(基础点：分析法)要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0C.eq\f(（a＋b）2,2)－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0答案：D3．(易错点：反证法)用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是()A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°答案：B4．(基础点：反证法)用反证法证明“假如a>b，那么eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”，假设内容为________．答案：eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)授课提示：对应学生用书第116页考点一综合法挖掘综合法的思维过程/互动探究[例](1)已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).[证明]由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3)，当且仅当“a＝b＝c”时等号成立．(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.①求证：a，b，c成等差数列；②若C＝eq\f(2π,3)，求证：5a＝3b.[证明]①由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．②由C＝eq\f(2π,3)，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以5a＝3b.[破题技法]1.解决数学问题时，往往要先作语言的转换，文字语言与符号语言、符号语言与图形语言等，从条件入手结合演绎推理证出结论．2．推理方式(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实推断(命题)动身，经过一系列中间推理，最终导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．考点二分析法挖掘分析法的操作过程/互动探究[例]a＞0，证明eq\r(a)＋eq\r(a＋2)＜2eq\r(a＋1).[证明]因为a＞0，eq\r(a)＋eq\r(a＋2)＞0，2eq\r(a＋1)＞0，所以要证eq\r(a)＋eq\r(a＋2)＜2eq\r(a＋1)，只需证(eq\r(a)＋eq\r(a＋2))2＜(2eq\r(a＋1))2，即证2a＋2＋2eq\r(a（a＋2）)＜4(a＋1)，只需证eq\r(a（a＋2）)＜a＋1，即证a(a＋2)＜(a＋1)2，即证0＜1，而0＜1明显成立，所以原不等式成立．[破题技法]分析法的思路“执果索因”，逐步找寻结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等．考点三反证法挖掘反证法的思维/互动探究[例](2024·杭州模拟)已知函数f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．[证明](1)设u(x)＝ax，v(x)＝eq\f(x－2,x＋1).∵a＞1，∴u(x)＝ax在(－1，＋∞)上为增函数，要证明f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，只需证v(x)＝eq\f(x－2,x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数．设x1，x2∈(－1，＋∞)且x1＜x2，即证v(x2)－v(x1)＞0.由v(x2)－v(x1)＝eq\f(x2－2,x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)＝eq\f(（x2－2）（x1＋1）－（x1－2）（x2＋1）,（x1＋1）（x2＋1）)＝eq\f(3（x2－x1）,（x1＋1）（x2＋1）)>0成立．∴f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设存在x0<0(x0≠－1)满意f(x0)＝0，则ax0＝－eq\f(x0－2,x0＋1).∵a>1，∴0<ax0<1，∴0<－eq\f(x0－2,x0＋1)<1，即eq\f(1,2)<x0<2，与假设x0<0相冲突，故方程f(x)＝0没有负数根．[破题技