2024-2025学年高中数学模块素养评价含解析新人教A版选修1-2

PAGE模块素养评价(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设i是虚数单位,若复数a-QUOTE(a∈R)是纯虚数,则a的值为 ()A.-3 B.-1 C.1 【解析】选D.复数a-QUOTE=a-QUOTE=(a-3)-i为纯虚数,所以a-3=0,所以a=3.2.下列命题:①在线性回来模型中,相关指数R2表示说明变量x对于预报变量y的贡献率,R2越接近于1,表示回来效果越好;②两个变量相关性越强,则相关系数的肯定值就越接近于1;③在回来直线方程=-0.5x+2中,当说明变量x每增加一个单位时,预报变量平均削减0.5个单位;④对分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k来说,k越小,“X与Y有关系”的把握程度越大.其中正确命题的个数是 ()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选C.对于①,在回来分析模型中,相关指数R2表示说明变量x对于预报变量y的贡献率,R2越接近于1,表示回来效果越好,正确,因为相关指数R2越大,则残差平方和越小,模型的拟合效果越好,①正确.对于②两个变量相关性越强,则相关系数的肯定值就越接近于1;正确;对于③在回来直线方程=-0.5x+2中,当说明变量x每增加一个单位时,预报变量平均削减0.5个单位;正确;对于④对分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k来说,k越小,“X与Y有关系”的把握程度越大.错误,因为在对分类变量X与Y进行独立性检验时,随机变量K2的观测值k越大,则“X与Y相关”可信程度越大,故④错误.3.甲、乙、丙、丁四位同学参与奥赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位同学,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”已知四位同学的话只有一位是对的,则获奖的同学是 ()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解析】选D.假设获奖的同学是甲,则甲、乙、丙、丁四位同学的话都不对,因此甲不是获奖的同学;假设获奖的同学是乙,则甲、乙、丁的话都对,因此乙也不是获奖的同学;假设获奖的同学是丙,则甲和丙的话都对,因此丙也不是获奖的同学.从前面推理可得丁为获奖的同学,此时只有乙的话是对的.4.《九章算术》中的玉石问题:“今有玉方一寸,重七两;石方一寸,重六两.今有石方三寸,中有玉,并重十一斤(即176两),问玉、石重各几何?”其意思为:“宝玉1立方寸重7两,石料1立方寸重6两,现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体,棱长是3寸,质量是11斤(即176两),问这个正方体中的宝玉和石料各多少两?”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法,运行该程序框图,则输出的x,y分别为 ()A.90,86 B.94,82C.98,78 D.102,74【解析】选C.执行程序:x=86,y=90,s≠27;x=90,y=86,s≠27;x=94,y=82,s≠27;x=98,y=78,s=27,故输出的x,y分别为98,78.5.图1是某高三学生进入中学三年来的数学考试成果茎叶图,第1次到第14次的考试成果依次记为A1,A2,…,A14,图2是统计茎叶图中成果在肯定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是()A.7 B.8 C.9 【解析】选D.由程序框图可知输出结果是考试成果大于90的次数,由茎叶图可知大于90的次数有10次.6.有下列说法:①在残差图中,残差点比较匀称地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适;②用相关指数R2来刻画回来的效果,R2值越大,说明模型的拟合效果越好;③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好.④在探讨气温柔热茶销售杯数的关系时,若求得相关指数R2≈0.85,则表明气温说明了15%的热茶销售杯数改变.其中正确命题的个数是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.对于①在残差图中,残差点比较匀称地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适,正确.对于②用相关指数R2来刻画回来的效果,R2值越大,说明模型的拟合效果越好,正确.对于③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好,正确.对于④在探讨气温柔热茶销售杯数的关系时,若求得相关指数R2≈0.85,则表明气温说明了15%的热茶销售杯数改变,错误,应当是气温说明了85%的热茶销售杯数改变.7.为了解某高校学生运用手机支付和现金支付的状况,抽取了部分学生作为样本,统计其宠爱的支付方式,并制作出如下等高条形图:依据图中的信息,下列结论中不正确的是 ()A.样本中的男生数量多于女生数量B.样本中宠爱手机支付的数量多于现金支付的数量C.样本中多数男生宠爱手机支付D.样本中多数女生宠爱现金支付【解析】选D.由题干中右边条形图知,男生女生宠爱手机支付的比例都高于现金支付的比例,所以男生女生都宠爱手机支付,故C对,D错,结合两个条形图可知,男生女生手机支付都比现金支付多,B对,样本中的男生数量多于女生数量,A对.8.设x(1+i)=1+yi,其中x,y为实数,则|x+yi|= ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】选B.因为x(1+i)=1+yi,所以x+xi=1+yi,x=1,y=x=1,|x+yi|=|1+i|=QUOTE.9.在复平面内,复数QUOTE对应的点位于第一象限,则实数m的取值范围是 ()A.(-∞,-1) B.(-∞,0)C.(0,+∞) D.(1,+∞)【解析】选D.因为复数QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,对应的点位于第一象限,所以QUOTE解得m>1.10.下列说法中正确的是 ()A.先把高三年级的2000名学生编号:1到2000,再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生,其编号为m,然后抽取编号为m+50,m+100,m+150…的学生,这样的抽样方法是分层抽样法B.线性回来直线=x+肯定过样本中心点(QUOTE,QUOTE)C.若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的值越接近于1D.在回来直线=0.2x+12中,当变量x增加一个单位时,平均增加1个单位【解析】选B.A中抽样方法为系统抽样,故A错误;B中线性回来方程=x+必过样本中心点(QUOTE,QUOTE),故B正确;C:若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的肯定值越接近于1,故C错误.D中在回来直线=0.2x+12中,当x增加一个单位时,平均增加0.2个单位,故D错误.11.某探讨机构在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时,得到如表数据.由表中数据求得y关于x的回来方程为=0.65x+,则在这些样本点中任取一点,该点落在回来直线下方的概率为 ()x4681012y12356A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为QUOTE=8,QUOTE=3.4所以3.4=0.65×8+所以=-1.8所以=0.65x-1.8故5个点中落在回来直线下方的有(6,2),(8,3),共2个,故所求概率是为QUOTE.12.依据给出的数塔揣测123456×9+7= ()1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111…A.1111110 B.1111111C.1111112 D.1111113【解析】选B.由1×9+2=11;12×9+3=111;123×9+4=1111;1234×9+5=11111;…归纳可得:等式右边各数位上的数字均为1,位数跟等式左边的其次个加数相同,所以123456×9+7=1111111.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则ab=________.

【解析】因为(a+bi)2=a2-b2+2abi=3+4i,所以QUOTE所以ab=2.答案:214.将正整数对作如下分组,第1组为{(1,2),(2,1)},第2组为{(1,3),(3,1)},第3组为{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},第4组为{(1,5),(2,4)(4,2)(5,1)}……则第30组第16个数对为________.

【解析】依据归纳推理可知,每个数对中两个数字不相等,且第一组每一个数对和为3,其次组每一个数对和为4,第三组每个数对和为5,……,第30组每一个数对和为32,所以第30组第一个数对为(1,31),其次个数对为(2,30),……,第15个数对为(15,17),第16个数对为(17,15),故答案为(17,15).答案:(17,15)15.点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=QUOTE,通过类比的方法,可求得:在空间中,点(0,1,3)到平面x+2y+3z+3=0的距离为________.

【解析】类比可知:点(0,1,3)到平面x+2y+3z+3=0的距离为d=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE16.视察下列等式:QUOTE+QUOTE=QUOTE×1×2;QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE×2×3;QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE×3×4;QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE×4×5;……照此规律,QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=________.

【解析】每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和.答案:QUOTEnQUOTE【补偿训练】已知QUOTE=2·QUOTE,QUOTE=3·QUOTE,QUOTE=4·QUOTE,….若QUOTE=8·QUOTE(a,t均为正实数),类比以上等式,可推想a,t的值,则a+t=__________.

【解析】因为QUOTE=2·QUOTE,QUOTE=3·QUOTE,QUOTE=4·QUOTE,由类比推理得:QUOTE=5·QUOTE,QUOTE=6·QUOTE,QUOTE=7·QUOTE,QUOTE=8·QUOTE,所以a=8,t=63,所以a+t=71.答案:71三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)据有关人士预料,我国的消费正由生存型消费转向质量型消费,城镇居民的消费热点是商品住房、车、电子信息产品、新型食品、服务消费和文化消费;农村居民的消费热点是住房、家电.试设计表示消费状况的结构图.【解析】消费状况的结构图如图所示:18.(12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回来直线方程=x+,其中=-20,=QUOTE-QUOTE;(2)预料在今后的销售中,销量与单价仍旧听从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)【解析】(1)QUOTE=QUOTE=8.5,QUOTE=QUOTE=80.所以=QUOTE-QUOTE=80+20×8.5=250,所以回来直线方程为=-20x+250.(2)设工厂获得的利润为L元,则L=xQUOTE-4QUOTE=-20x2+330x-1000=-20QUOTE+361.25,当且仅当x=8.25时,L取得最大值.故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.【补偿训练】某工厂前10个月份的产量与生产费用如表:产量x/千件40424855658088100120140生产费用y/千元150140160170150162185165190185(1)求线性回来方程;(2)估计当生产200千件时的生产费用;(3)计算x与y的相关系数.【解析】(1)由表格数据得QUOTE=77.8,QUOTE=165.7,QUOTE=71062,QUOTE=277119,QUOTExiyi=133100,所以=QUOTE=QUOTE≈0.4,=QUOTE-QUOTE≈165.7-0.4×77.8=134.58,所以线性回来方程为=134.58+0.4x.(2)当x=200时,=134.58+0.4×200=214.58(千元)所以当生产200千件时的生产费用为214.58千元.(3)r=QUOTE=QUOTE≈0.81.所以x与y的相关系数约为0.81.19.(12分)已知复数z=QUOTE(m∈R,i是虚数单位).(1)若z是纯虚数,求m的值.(2)设QUOTE是z的共轭复数,复数QUOTE+2z在复平面上对应的点在第一象限,求m的取值范围.【解析】(1)z=QUOTE=QUOTE=1-2m+(2m+1)i.因为z是纯虚数,所以1-2m=0且2m+1≠0,解得m=QUOTE.(2)因为QUOTE是z的共轭复数,所以QUOTE=1-2m-(2m+1)i.所以QUOTE+2z=1-2m-(2m+1)i+2[1-2m+(2m+1)i]=3-6m+(2m+1)i.因为复数QUOTE+2z在复平面上对应的点在第一象限,所以QUOTE解得-QUOTE<m<QUOTE,即实数m的取值范围为QUOTE.【补偿训练】已知复数z=QUOTE+i(a∈R).(1)若z∈R,求z.(2)若z在复平面内对应的点位于第一象限,求a的取值范围.【解析】(1)z=QUOTE+i=QUOTE+i=QUOTE+QUOTEi,若z∈R,则QUOTE=0,所以a=5,所以z=2.(2)若z在复平面内对应的点位于第一象限,则QUOTE>0且QUOTE>0,解得0<a<5,即a的取值范围为(0,5).20.(12分)有声书正受着越来越多人的宠爱.某有声书公司为了解用户的运用状况,随机选取了100名用户,统计出年龄分布和用户付费金额(金额为整数)状况如图.有声书公司将付费高于20元的用户定义为“爱付费用户”,将年龄在30岁及以下的用户定义为“年轻用户”.已知抽取的样本中有QUOTE的“年轻用户”是“爱付费用户”.(1)完成下面的2×2列联表,并据此资料,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关?爱付费用户不爱付费用户总计年轻用户非年轻用户总计(2)若公司采纳分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取5人,再从这5人中随机抽取2人进行访谈,求抽取的2人恰好都是“年轻用户”的概率.PQUOTE0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828K2=QUOTE.【解析】(1)依据题意可得2×2列联表如表:爱付费用户不爱付费用户总计年轻用户244064非年轻用户63036总计3070100由表中数据可得K2的观测值k=QUOTE≈4.76>3.841,所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“爱付费用户”和“年轻用户”有关.(2)由分层抽样可知,抽取的5人中有4人为“年轻用户”,记为A1,A2,A3,A4,1人为“非年轻用户”,记为B.则从这5人中随机抽取2人的基本领件有:QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,共10个基本领件.其中满意抽取的2人均是“年轻用户”的事务有:QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,共6个.所以从中抽取2人恰好都是“年轻用户”的概率为P=QUOTE=QUOTE.21.(12分)设函数f(x)=x3+QUOTE,x∈QUOTE.证明:(1)f(x)≥1-x+x2.(2)QUOTE<f(x)≤QUOTE.【证明】(1)方法一(综合法):1-x+x2-x3=(1-x)+x2(1-x)=(1-x)(1+x2)=QUOTE=QUOTE,又x∈QUOTE,所以QUOTE≤QUOTE,即1-x+x2-x3≤QUOTE,所以f(x)≥1-x+x2.方法二(分析法):要证f(x)≥1-x+x2,x∈QUOTE,即证x3+QUOTE≥1-x+x2,只需证x3-x2+x-1+QUOTE≥0,即证x2(x-1)+(x-1)+QUOTE≥0即(x-1)(x2+1)+QUOTE≥0,再证(x+1)(x-1)(x2+1)+1≥0,即证(x2-1)(x2+1)+1≥0,即x4≥0,由x∈QUOTE知,x4≥0,综上,f(x)≥1-x+x2.(2)方法一:由x∈QUOTE得x3≤x,所以f(x)=x3+QUOTE≤x+QUOTE-QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE≤QUOTE,所以f(x)≤QUOTE,由(1)得f(x)≥1-x+x2=QUOTE+QUOTE≥QUOTE,又fQUOTE=QUOTE>QUOTE,所以fQUOTE>QUOTE,综上,QUOTE<f(x)≤QUOTE.方法二:①由(1)