2022年北京信息工程学院某中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022年北京信息工程学院附属中学高三数学理上学期

期末试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.如图，设A8为圆锥PO的底面直径,PA为母线,点C在底面圆周上，若PA=A8=2,

AC=8C,则二面角P-AC-B大小的正切值是()

A.6B.、3GC.7D.W

参考答案：

B

作AC的中点D,连接OD,PD,如图所示：

根据已知可得，AC1SC,所以

因为D是AC的中点，所以所以々DO即为二面角P—ZC-A的平面角,

6-AC=—

因为PA=AB=2,所以AC=BC=J2,所以OD=22,

在ARM中，PO=、心_&，=4,

tanZ.PDO==R

OD立

所以在APOO中,T

2.已知全集七集合/-卜€2人后卜-怦>5),则a9汨=

A。-]B,[3.5)c[4.5}D{3.4.5)

参考答案：

D

略

3.函数-J?-2x-3的单调增区间为(

)

A.(-00,7)B.(3,+«)c.J0，-1)和GLDD.3)和(3,X0)

参考答案:

A

略

4.在下列区间中，函数/(x)=d+4x-3的零点所在的区间为()

参考答案:

【知识点】函数零点的判定定理.B9

【答案解析】B解析：；f(0)=e°-3=-2<0f(1)=e'+4-3>0

.••根所在的区间x°e(0,1)排除A选项

5

f(£)=e°-+2-3=V；-l>0

乂.•乙

1

根所在的区间x°e(0,2),排除D选项

最尸计算/申=^~2<°呜T.<0

取后IT舁出4,44,

得出选项B符合；故选B.

11

【思路点拨】分别计算出f(0)、f(1),f(2),f(4)的值，判断它们的正负，再

结合函数零点存在性定理，可以得出答案.

5.一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离

均超过1的概率为

~\2D、*24-

参考答案：

答案：B

6.将函数的图象(),可得到函数y=刀的图象

()

A.向下平行移动1个单位B.向右平行移动1个单位

C.向左平行移动1个单位D.向上平行移动1个单位

参考答案：

C

略

7.定义在&上的函数/口)满足/(4)=i,为了出的导函数，已知尸=/'(G的图像

641

如图所示，若两个正数a、b满足/Qa+W<1,则"的取值范围

是()

<0.1)c/5、

参考答案:

【善案】D

【舞折】

试盘分析:根冬导函岫象可知，曲，/00在(6+8)上6调M*./(2o+fe><l=/(4),所以依题意可

x2+x+a,x<0

口，x>0

8.已知函数f(x)=1x的图象上存在不同的两点A、B,使得曲线y=f

(x)在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是()

11

A.(4,+8)B.(2,+8)C.(-8,2)D.(-1,4)

参考答案：

A

【考点】611：利用导数研究曲线上某点切线方程.

【分析】先根据导数的几何意义写出函数f(X)在点A、B处的切线方程，再利用两直线

1_

重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出a=W(t4+2t、8t+l),

t>0,由单调性可得出a的取值范围.

【解答】解：当xVO时，f(x)=x?+x+a的导数为f'(x)=2x+l；

1J-

当x>0时，f(x)=*的导数为f'(x)=-x2,

设A(xi,f(xi)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点，且xi<x”

当xi<X2<0,或O<xi<xz时，伊(xi)Wf'(X2),故xi<0<X2,

当Xi<0时，，函数f(x)在点A(xi,f(xD)处的切线方程为：

y-(xi2+xi+a)=(2xi+l)(x-xi):

1J-

--2

xx

当Xz>0时，函数f(x)在点B(xz,f(x2))处的切线方程为y-2=-2(x-

x2).

-L-2

2----

X2

两直线重合的充要条件是-X2=2xi+l①，2=a-X1@,

1

由x,<O<X2得0<*2<1,

由①②令t=*2,则t>0,且a=4(t4+2t2+8t+l)在(0,+°°)为增函数，

1

...a>4,

故选：A.

n

9.在AABC中，a=2,b=£，B=3,则A=

xn3宾w3宾

A.4B.3C.TD.彳或7

参考答案：

D

10.同理5设向量a=(xl),各=氏一回,且二_L；则向量短衣与否的夹角为()

IT<2JT5<

A.6B.3C.VD.6

参考答案：

D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.设a,B是两个不重合的平面，a,b是两条不同的直线，给出下列条件：

①a,B都平行于直线a,b；

②a,b是a内的两条直线，且2〃B,b〃B；

③a与b相交，且都在a,B外，a〃a,a〃B,b〃a,b〃B.

其中可判定a//B的条件是.（填序号）

参考答案：

②③

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.

【分析】根据面面平行的判定定理，分别判断，即可得出结论.

【解答】解：①a,P都平行于直线a,b,a,B可能相交、平行，不正确；

②a,b是a内的两条直线，且@〃8,b〃B,根据面面平行的判定定理，可知正确；

③a与b相交，且都在a,B外，a〃a,a〃B,b〃a,b〃B，根据面面平行的判定定

理，可知正确.

故答案为②③.

12.执行右边的程序框图，若P=095,则输出的%=.

参考答案:

6

…1•八峥

S=-+(-)+,,,+(—)1——

由程序框图可知222，则2

£=1-(2)5=0.9687>0.95

当”=5时,2时,此时耳=5+1=6,所以输出力=6。

13.已知函数/(x)=x(1-a|x|)+1(a>0),若(x+a)<f(x)对任意的xdR恒成立,

则实数a的取值范围是.

参考答案：

[\[2,+oo).

【分析】依题意，f由(x+a)<f(x)对任意的xGR恒成立，在同一坐标系中作出满足题

意的y=f(x+a)与y=f(x)的图象，可得x(1+ax)+1>(x+a)[1-a(x+a)]+1恒成立,

整理后为二次不等式，利用△4)即可求得实数a的取值范围.

【解答】解：・・・f(x)=x(l-a|x|)

12i

a(x+石)£一语‘x<0

x(l+ax)+l,x<012

)+1x〉0

+1=(x(1-ax)+l,da(a>0),

Af(x+a)=(x+a)(l-a|x+a|)+1,

Vf(x+a)<f(x)对任意的x£R恒成立,

在同一坐标系中作出满足题意的y=f(x+a)与y=f(x)的图象如下:

Ax(1+ax)+1>(x+a)[1-a(x+a)]+1恒成立,

即x+ax2+l>-a(x2+2ax+a2)+x+a+l,

整理得：2x2+2ax+a2」K)恒成立,

AA=4a2-4x2(a2-l)<0,

解得：

故答案为：［&,+oo).

14.如果执行的程序框图如图所示，那么输出的S=

参考答案:

2550

【考点】程序框图.

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的

作用是累加并输出S=0+2+4+6+…+100的值.

【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，

再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是累加S=0+2+4+6+…+100,

VS=0+2+4+6+—+100=2550.

故答案为：2550.

15.点汽2,-D为圆（X-5'+/=25的弦的中点，则该弦所在直线的方程是

参考答案：

x+1y-1=0

略

返1

16.已知实数U满足k+如果目标函数z=i一y的最小值为-I,则实数

m・_______

参考答案：

5

17.已知,"）-前，各项均为正数的数列（外｝满足为=1,q.2=/（/）,若

aJOM）=aXL2,则%0+/1的值是

参考答案：

3+13/

-26~o

128

由题意得，2,$3,1113,

~1+^5

•.•。刈0=。加12,且4.>0,=-2一,易得

a20lO=aXX='''=a24=a22=a24=a10,

-1+68_3+13-

.•.■+%】=-2—+13=-26-o

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知F为椭圆43的右焦点，M为C上的任意一点.

（1）求|MQ的取值范围；

3

（2）P,N是C上异于M的两点，若直线与直线PN的斜率之积为彳，证明:M,N

两点的横坐标之和为常数.

参考答案：

解：解法一：（1）依题意得。=独=5,所c-M

所以C的右焦点〃坐标为（L°）,

设C上的任意一点”的坐标为（x♦%），

则43,

旷w问1-1/+%'-kW+3-%，

//I9**

=；x「-2x“+4=；&-4,

又因为-2542,所以14町'”

所以141MlM3,

所以修I的取值范围为

（2）设尸、"、N三点坐标分别为（工,工）-（马》。《»）4口】”）,

设直线/V、州斜率分别为4、勺，则直线Af方程为，•打

WN=L

■43

由方程组卜一"=*（*-*，）消去尸，得

（3f'*-马代4-"）x+4Ve+4y7-12=。

由根与系数关系可得=-3+W,

,Uj(*!b%)

故=-3+='

*一—估J［二）

同理可得*3+4*/―

又、力4,

3

*

故起+3,

则“■3+3

从而x“+x“=°.

即"・N两点的横坐标之和为常数.

解法二：（1）依题意得a="=6,所c-jo1-"-1,

所以C的右焦点〃坐标为（L。），

设C上的任意一点”的坐标为•匕J,

设。上的任意一点”的坐标为I2®0yQ.”），

则产『+（g«naj=（msa-2）1

又因为-14oKa41,所以14Mf",

所以”阿.，

所以町的取值范围为"L

（2）设产,”两点坐标分别为线段皿、m的中点分别为昆，，点

用的坐标为（又「％）,直线府、网,af的斜率分别为与'4>■与，

,V,

4比3

¥,

号3

由方程组b得

y.y.'y=——3—

所以«r+«M4,

X--Zt3

所以B-4rN=.，

又因为‘'一彳，

所以勺=，

所以对“OR,

所以卬的中点在C因上，

同理可证：卬的中点在“上,

所以点O为线段"V的中点.

根据椭圆的对称性，

所以N两点的横坐标之和为常数.

19.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立

K为参数)，曲线

3+2—a,(AG[0,2].a

x

C2的极坐标方程为psin(0+f)=a(a€R),若曲线Ci与曲线C2有且仅有一个公共点，求实数

a的值.

参考答案：

【考点】参数方程化成普通方程.

【分析】求出两曲线的普通方程，根据直线与圆相切列方程解出a.

【解答】解：曲线Ci的方程为(x-«)2+(y-3)2=4,圆心坐标为电,3),半径为

2.

此处l0加广土104Psin(8+~^-)=a(a€R)^■Psin。坐Pcos8

・・,曲线C2的极坐标方程为3,・・.2+2=a,

•・•曲线C2的直角坐标方程为Fx+y-2a=0,

••・曲线C|与曲线C2有且仅有一个公共点，

|3+3-2a|

:.2=2,解得a=l或a=5.

20.(本小题满分12分)如图1,在直角梯形中，ZADC=90°,CD/IAB,

AB=4,AD=CD=2t朋■为线段力5的中点.将沿4c折起，使平面g_L平面

ABC,得到几何体D-/C,如图2所示.

(1)求证：3C_L平面4CD；

(2)求二面角R-CD-M的余弦值.

D

参考答案：

(1)在图1中，可得4c=BC=2应，从而/'+皮^=*52,

故力CJL8C.

取/C中点。连结。0,则Z)O_LAC,又面4Z)C1面

面4DCn面45C=4C,DOu面4CD,从而。OJ•平面45C.

.-.OD1BC,又＜C_L3C,ACf}OD=O,

.•.3C_L平面乂CD.

(2)建立空间直角坐标系。一平如图所示，

则M(0/0),C(-&,0),D(0,0,j2),而=(660),

丽=(立0.0)

CM-0+上y=。j,=-x

设为=(x/.z)为面C2W的法向量，贝/-CD=0即［岳+岳=0,解得〔z=r

令x=-l,可得型=(-LLl).

----&餐1由

一..COSV%,厘；＞=-一=fe-=-7?=—

又叼=(0.1.0)为面/CD的一个法向量，，|均11的I、/33

县

二面角/一CD-M'的余弦值为手.

21.（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB_L平面ACD,DE±

平面ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1,G为AD中点.

（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF〃平面ACD,并证明

这一事实；

（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；

（3）求点G到平面BCE的距离.

B

参考答案：

解法一：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x轴和z轴的正半轴

分别经过点A和点E,则各点的坐标为4（2，QQ）,

f（0.0,2）,5（2,0.1）,CQ.W.G）,

（1）点F应是线段CE的中点，下面证明：

尸（1,在」）B?=（-2,Ao）

设F是线段CE的中点，则点F的坐标为»2\A22，

显然丽与平面平行，此即证得BF〃平面ACD；4

(2)设平面BCE的法向量为四二(x/，z),

则■而，且而，

由法=(卜的,】)，C£=(-l.-j3,2).

x-®+z=orx=i

...[一了一招y+22=0,不妨设y=，,则卜=2,即7=(1.4⑵，

A»(0.0,1)点”

所求角3满足1r12,4；................8分

(3)由已知G点坐标为(1,0,()),；.8G=(-1.0.-l),

由(2)平面BCE的法向量为7♦4⑵，

,BG3q

d=|—3-1=一42

...所求距离旧I4.............12分

解法二：(1)由已知ABJ_平面ACD,DE_L平面ACD,AAB//ED,

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，

[

连接FH,则,：.FHUAB,...........2

分

四边形ABFH是平行四边形，

由M(Z平面ACD内，血U平面ACD,8F〃平面

ACD；...............4分

(2)由已知条件可知即为ABCS1在平面ACD上的射影,

.二r

力

设所求的二面角的大小为6,则

cos8=

壬2,...6分

易求得BC=BE=,CE=242,

卜_(等=”

,=21CR1

而SJUTO=¥"C「='

J3

8$©=退=立

0<6<一

/.3▲属y2,而2,

&=一

•••4；........................8分

(3)连结BG、CG、EG,得三棱锥C—BGE,

由EDJ■平面ACD,二平面ABED±平面ACD，

又CG_L4),.•.CGJ■平面ABED,

设G点到平面BCE的距离为々，则%㈤=嚷交F即

WS®»xGC=3最1xA

，3,

由％初=之53=遍,CG=6

3

上SsxOC一工”后

：.53/4即为点G到平面BCE的距离..............12

分

略

22.已知函数''4为自然对数的底数).

(1)若曲线V-小)在点(。/(0))(处的切线与曲线了=弁(力在点(°，弁(°))处的切线

=—P4-ax——

互相垂直，求函数4在区间上的最大值;

MH=g(*)J(力Vg(r)

(2)设函数,试讨论函数零点的个数.

参考答案:

7

(1)彳；(2)见解析.

【分析】

(1)分别求出y=f(x)与y=g(x)在x=0处的导数，利用斜率之积等于-1求得。，得到

f(x)解析式，再由导数判断f(x)在区间［-1,1］上单调递减，从而求得最大值；

(2)函数/(力=/-.在R上单调递增，仅在x=l处有一个零点，且x<l时，g(x)<

0,再山导数分类判定f(x)的零点情况，则答案可求.

【详解】