2021届人教a版平面向量 单元测试 (二)

平面向量

一、单选题

ab

1.设二工是非零向量，则［=2^是:=问成立的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

ab

由1=2力，可知：［办方向相同，二;表示方向上的单位向量，由向量相等的

条件，可得出结论，反之即可判断出充分条件和必要条件.

【详解】

解：由［=2。可知：W工方向相同，”=2｝，

b

表示方向上的单位向量，所以向即立,

a_b

反之，若口一bp可知;,a方向相同，但不一定得出;=2^，即不成立。

—>—>

a_b

所以：=2了是口=月的充分不必要条件.

故选：B.

【点睛】

本题考查了向量相等、单位向量以及充分、必要条件的判断；判断，是4的什么条件,

需要从两方面分析：一是由条件P能否推得条件4；二是由条件9能否推得条件

2.在△A5C中，。为47的中点，若而=4而+〃前，则％+〃=()

124

A.1B.-C.-D.一

233

【答案】A

【解析】

【分析】

根据。为AC的中点，即可得出而=,通+'反根据平面向量基本定理即可得

22

出2,〃的值，从而求出/+〃.

【详解】

如图：

0为AC的中点.♦.芯=；就=；(的一丽)=；而+；方

又布=49+〃肥

则：a=〃='

2

，4+〃=1

本题正确选项：A

【点睛】

考查向量减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，以及平面向量基本定理.

3.下列结论中正确的是（）

①若a//坂且IaH•I，则a=B;

②若a=b>则a//B且Ia1=1〃I;

③若£与］方向相同且|£|=1",则£=石;

④若ZHB，则Z与B方向相反且|a罔

A.①③B.②③

C.③④D.②④

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量的概念和相等向量的基本概念，逐项判定，即可求解.

【详解】

由题意，对于①中，由7//B，|£|=|B|,则向量£与B同向或反向，当向量Z与石同向

时，可得£=万，当向量3与石反向时，则所以不正确的；

对于②中，若£=心根据相等向量的概念，可得Z//B且|£|=出|，所以是正确的;

对于③中，若£与B方向相同且|£|=/|,根据相等向量的概念，可得£=人所以是正

确的；

对于④中，若根据向量的概念，则£与方方向不一定相反且不一定罔,

所以不正确.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了向量的基本概念，以及相等向量的基本概念及应用，其中解答中熟记向

量的基本概念，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

4.已知向量石的夹角为%,且&=（-1,1）,|同=2,贝中Z+石卜（）

A.1B.V2C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

由向量6的夹角为%,且五=（一1,1）,问=2,可得G的模及a,6的数量积,

将|24+同平方，代入再开平方即可得结果.

【详解】

因为@=

所以同=J5,

又因为G，B的夹角为3万，同=2,

411

所以12a+同2=4,「+时+4同^cos,,

=8+4-20x2x也=4，

2

\2a+b\=2,故选C.

【点睛】

本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两

种形式，一是。/=邸卜°$。，二是£»=%为2+%%，主要应用以下几个方面:⑴

八a,b

6，=

求向量的夹角，COSFTM（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a在

m

ab___

b上的投影是常；（3）4方向量垂直则〃%=0；（4）求向量加Q+的模（平方后

需求）•

5.在直角坐标系xOy中，P,Q为单位圆。上不同的两点，尸的横坐标为;，若

_______1

OPOQ=--,则Q的横坐标是（）

-11-1

A.-1B.-1或一一C.一一D.1或一—

222

【答案】B

【解析】

根据三角函数的定义，P3，士*），先检验Q（1，O），显然不符合题意，排除D；

再检验Q（-1,0）,符合题意，排除c；最后检验Q3,士弓），符合题意，

故选:B

6.在边长为1的正AABC1中，D,E是边8C的两个三等分点（。靠近于点3）,

而.荏等于（）

【答案】C

【解析】

试题分析：如图,

A

网=|Xc|=L〈通,AC）=6（r

QD,E是边8c的两个三等分点,

2可22522

国M

而

++被+

:.ADAE3-=9-9-Ac9-

故选C.

考点：平面向量数量积的运算

7.已知直线x+y=。与圆/+丁2=4交于A3两点，。是坐标原点，向量。4、OB

满足|丽+砺H砺—丽I，则实数a的值是（）

A.2B.-2C.2或一2D.R或一灰

【答案】C

【解析】

试题分析：由|砺+砺H砺一砺I，两边平方，得砺•砺=0，所以NAO3=90°,

则AAOB为等腰直角三角形，而圆Y+y2=4的半径A0=2,则原点。到直线

x+y=a的距离为0,所以夜，即4的值为2或一2.故选C.

'0Vi-+i4

考点：直线与圆的位置关系

8.已知向量汗=(5,2),5=(-4,-3),若c满足3。一〃+忑=0，则c=（）

A.(-23,-12)B.(23,12)C.(7,0)D.(-7,0)

【答案】A

【解析】

【分析】

由32—2B+Z=6得"=2B—3£，再根据向量的坐标运算法则计算可得.

【详解】

解：：a=(5,2),b=(-4,-3),且c满足3a—2B+c=6，

c=2h-3a=2(-4,-3)-3(5,2)=(-8-15,-6-6)=(-23,-12).

故选：A

【点睛】

本题考查向量的坐标运算，属于基础题.

9.已知向量a=(2,/篦),9=(一1,m)，若(2a+1)〃九则卜卜()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

试题分析：由题(21+1)〃否.则2Z=(4,2M,2£+B=(3,3/〃)，可得：

3x加=3mx(-1),m-0

a-(2,0),|a|—2.

考点：向量的坐标运算及向量平行的性质.

10.下列各说法中，其中错误的个数为

⑴向量荏的长度与向量瓦?的长度相等

⑵平行向量就是向量所在直线平行

⑶茄II碗=花(4为篙物

⑷茄-b=0,则在1员5）痴-b=a-c,则i=c

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】c

【解析】

选C(1)正确(2)因为平行向量是向量所在直线平行或重合，所以此命题错误；(3)若

向量B=6,本命题是错误命题.(4)没有说明日花是非零向量，所以此命题也是错误的.

(5)若日-b=d-^再加上<a,b>=<a,c>,b=，才成立.因而此命题也是错误的.故错

误命题共有四个.

11.如图，在AABC中，。是A8的中点，E在边AC上，AE=3EC,CD与BE交

于点0,贝Uk=()

OE

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据向量共线定理设60=九①，再根据向量的中点公式以及题意可得，

CO^-CB+2ACE,由三点共线的性质可求得;I,然后利用向量减法运算可得

2

BO=4OE'即解出.

【详解】

CO=ACD=2-CB+-CA\=-CB+-CA=-CB+2ACE,

(22J222

因为。,8,E三点共线，所以4+24=1,解得：2=-

25

所以函=［函+［酝，即（（加一而）=［（摩—函），所以丽=4砺，所以

BO

——=4A.

0E

故选：C.

【点睛】

本题主要考查向量共线定理以及其推论的应用，向量中点公式的应用，以及向量的线性

运算，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题.

12.已知向量《,生是两个不共线的向量，若4=2?］-02,与5=家+41共线，则尤的

值为

A.--B.-2C.-D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】

向量共线，则存在实数〃满足：2冢一1=〃（1+/1可，

〃二21

据此可得：｛:।，解得：2=--.

z//=-l2

本题选择A选项.

二、填空题

13.已知向量d=(九2加-1),6=(1,-2),若£//万，贝4G+沙|=

【答案】3石

【解析】

分析：根据出//6，建立方程求出m,

详解：..•向量&=(根,2加-1),5=(1,-2),且也//万，

，-2m=2m-l,解得根=；,7=(；，一；)

.,.4G+25=(3,—6),|45+2^|=732+(-6)2=3>/5

故答案为3相.

点睛：本题考查两个向量共线的性质，两个向量的线性运算以及向量模的计算，属于基

础题.

14.已知向量1=(1,—1),5=(—2,3),且—mb),则m=.

2

【答案】—m

【解析】

【分析】

根据平面向量的坐标运算，代入可得々-m5,结合向量垂直的坐标关系，即可求得加

的值.

【详解】

向量M=5=(-2,3),

根据向量的坐标运算可知痴=(1+2万一1-3根)，

由平面向量的垂直关系可知无(万一而)=0,即(1,-1>(1+2相,一1-3加)=0,

2

所以1+2m4-1+3m=0»解得加=—，

5

2

故答案为：-

【点睛】

本题考查了平面向量的坐标运算，向量垂直的坐标关系，属于基础题.

式

15.已知向量/；=(0,1),\a\=2,且5的夹角若5—2B|=M5I，则实数九

的值为.

【答案】2

【解析】

【分析】

利用向量的运算律求出|£-2W2,进而求出|£-2加,|司=1,即可求出结论.

【详解】

办=(O,l),.[b]=1,|a-2b『=a-4a-〃+4〃=8-4xlx2xcos§=4,

\a-2b\=2=A\b\=A.

故答案为:2.

【点睛】

本题考查向量的模长，考查向量数量积的运算，属于基础题.

2

16.已知0为单位向量，同=4,1与々的夹角为:瓦，则M在々方向上的投影为.

【答案】-2

【解析】

2

试题分析：因为，々为单位向量，同=4,方与己的夹角为:乃，所以，方在G方向上的

24

投影为Ia|cos(a,e^=4|a|cos-^-=—2.

考点：平面向量的夹角，向量的投影.

点评：中档题，理解M在G方向上的投影为|A|COS（N，4,关键是求COS（A,0.

三、解答题

17.已知向量@=，向量5=（加一1,2）,且若（汗_5）_1_4.

（I）求实数团的值；

（II）求向量乙,5的夹角。的大小.

【答案1（1）m=\；（II）Y

4

【解析】

【分析】

（I）先求出a-方的坐标，然后根据两向量垂直的坐标关系建立等式，从而可求出m的

值；

（H）根据（I）先求出向量£范的坐标，然后根据向量的夹角公式进行求解即可.

【详解】

（I）由已知得，a-b=（2-m,m-2）,且mW2,又（Z-E）J_W，则（W-E）.Z=&

即（2-m）X1+（m-2）Xm=0,解得m=l或m=2（舍去），Am=l

（ID由（I）得彳=（1,1）,E=（0,2）,.•-（）二厂:％掾

兀

又ee[o,JT],e=—,

4

【点睛】

本题考查了利用数量积判定两向量的垂直关系，以及数量积表示两个向量的夹角，同时

考查了运算求解的能力，属于基础题.

18.已知A(l,2)、8(—3,—4)、C(2,1kO(x,—2).

（1）证明：aB、c三点共线；

（2）若ND48=W，求x的值.

【答案】（1）详见解析（2）7

【解析】

【分析】

（1）计算斜率心B、七c，利用心8=攵死证明4B、C三点共线；

（2）由ZDAB=会知福通=0,列方程求出x的值.

【详解】

解:⑴证明：A（l,2）,B（—3,Y）,。（吗,

通=（-4,-6）,衣有通=_4就

.♦.A、B、。三点共线;

⑵由丽=（y-6）,而=（—）,

TT

若ND4B=5，则AAA方=0，

即Y（x-l）+24=0,解得X=7,

的值为7.

【点睛】

本题主要考查了三点共线的判断问题，也考查了直线垂直的应用问题，是基础题.

19.

已知0<a<?,夕为/(x)=cos[2x+?J的最小正周期，向量

、

a=tanla+—,一1,b=(cosa,2),且。力=〃?(,”为实常数).求

2cos2a+sin2(a+，)的值

cosa-sinar

【答案】2(2+〃?)

【解析】

【分析】

由三角函数性质求得周期尸=%,由数量积的坐标运算计算£石，建立依力,根的关系

式，由诱导公式，正弦的二倍角公式化简待求式2c°s-*+sin2(a+/7),再由同角关

cosa-sina

系式化弦为切，结合两角和的正切公式可化2cos-"+sin2(a+£)为

cosa-sina

2cosa-tan(a+；J,而这又由£石得到了，结论得出.

【详解】

解:因为夕为了(%)cos2x+—的最小正周期，故尸=兀.

I8

因;.1=加，又〃・B=cosa.tana+—0-2.故cosaTana+—/?=〃z+2.

兀12cos2a+sin2(a+£)2cos2a+sin(2a+2K)

由于Ova<一,所以--------------------匕=---------------------

4cosa-Sinarcosa-sina

2cos2a+sin2a2cosa(cosa+sina)

cosa-sinacosa-sina

八1+tana

=2cosa-=---2--c-o--s-(7--tanIor+1=2(2+m).

1-tana

【点睛】

本题考查三角函数的周期，平面向量的数量积的坐标运算，二倍角公式，同角间的三角

函数关系，两角和的正切公式、诱导公式，考查的知识点较多，这对学生的要求就较高.要

求我们掌握每一个知识点，否则不可能得出正确的答案.

20.设已知向量不=(J^sina,夜)出=l,cosa—且£_1_石.

(1)求tan(a+?)的值；

(2)求cos(2a+^1^的值.

【答案】(1)tan(a+&]=巫(2)近一屈

16)58

【解析】

【分析】

|=手，进一步得到

(1)由已知结合数量积的坐标运算求得+菅

cos\a+—\=----,则答案可求

16J4

7171

(2)由(1)利用二倍角公式求得sin(2ad—)及cos(2aH—),然后由

33

L7兀、吟71

~展开两角和的余弦求解.

I12JLI3j4

【详解】

/

(1)因为a=(V^sina,V^),b=l,costz-,且a_L〃.

所以"sina+J^cosa=#＞，

所以sin[a+看=----,

4

717171

因为aGf0,—

,所以a+7£J

6~62

因为所以2a+dg,乃

所以sin[2a+?叵

兀

所以cos12。+答=cos%+工+

3j4

乃.

=cos2a+-cos----sin2a+ysi.n7—1

l344

_V2-^0

-8,

【点睛】

本题考查三角函数的化简求值，考查平面向量数量积的坐标运算，考查倍角公式及两角

和的余弦，是中档题.

21.在平面直角坐标系中，设向量ci=(cosa,sina),5=sina+—Leoscr+—,