42一元二次不等式及其解法（5知识点5题型巩固训练）（原卷版）

4.2一元二次不等式及其解法课程标准学习目标1.正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一二次不等式的解法;2.通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力;1.一元二次不等式及一元二次不等式解集的概念.2.一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式的内在联系:3.运用函数、方程以及一元二次函数的图象求解一元二次不等式的解集4.理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系知识点01一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数【即学即练1】（多选）（2425高一上·全国·课后作业）下列不等式是一元二次不等式的是（

）A．x2>0 BC．mx2-【即学即练2】（2425高一上·全国·课堂例题）下列不等式是否是一元二次不等式？(1)-4(2)ax(3)x2(4)2x知识点02一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．【即学即练3】（2324高一上·江苏南京·阶段练习）设m为实数，若二次函数y=x2-x+m【即学即练4】（2324高一·上海·课堂例题）已知关于x的一元二次方程2x2+知识点03二次函数与与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅【即学即练5】（2021高一·上海·专题练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则y>0的解集为（

）A．{x|2<x<1} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3}【即学即练6】（2425高一上·全国·课前预习）作出二次函数y=x2-12x+20的图象，其图象与x知识点04一元二次不等式的解法1.将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．2.求出相应的一元二次方程的根．3.利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．方程的根→函数草图→观察得解，对于的情况可以化为的情况解决注：对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为0时，按照一次不等式来解决，对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。注：对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨论，同时注意判别式韦达定理的应用。注意：三个“二次”之间的关系1.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅2.讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：注意：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式．【即学即练7】（2017高二·安徽·学业考试）不等式(x-1)(A．{x|x<-2或x>1} B．{x|-2<x【即学即练8】（多选）（2425高一上·浙江温州·开学考试）已知函数y=axA．关于x的不等式ax2B．关于x的不等式ax2C．函数y=axD．“关于x的方程ax2+bx-3=0知识点05含参一元二次不等式的步骤【即学即练9】（2324高一下·全国·课堂例题）若(2m-1)x2+x-【即学即练10】（2425高一上·全国·随堂练习）若0<m<1，则不等式x-mx难点：分类讨论思想的运用示例1：（2324高一上·江苏徐州·阶段练习）解关于x的不等式：ax【题型1：一元二次不等式的概念及辨析】例1．（多选）（2526高一上·全国·课后作业）下列是一元二次不等式的是（

）A．x2+2C．x2+3变式1．（多选）（2021高一上·全国·课后作业）下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（

）A．3x+4<0 B．x2+mx1>0C．ax2+4x7>0 D．x2<0变式2．（2023高一·全国·专题练习）给出下列不等式(a,b,c∈R)：①2x+3y>0；②ax2>2；③x3-3x+4≤0；变式3．（2021高一·全国·课后作业）写出一个解集为-2,3的一元二次不等式：变式4．（2425高一上·全国·课前预习）观察下面几个式子或不等式，它们有什么区别？①y=x2-2x；②2x变式5．（2122高一上·全国·课后作业）下列不等式中哪些是一元二次不等式?（其中a，b，c，m为常数）(1)x(2)-(3)a(4)x(5)m(6)a【题型2：不含参一元二次不等式】例2．（2526高一上·全国·课后作业）“-2<x<4”是“x2A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式1．（2324高一上·浙江台州·开学考试）使不等式2x+1xA．x≥0 B．x<0或x>2 C．x∈-变式2．（2024高二下·云南·学业考试）不等式xx-6A．{x∣x<0} B．{x∣x>6}变式3．（2024高三·全国·专题练习）在R上定义运算“⊙”：a⊙b=ab+2a+A．(0,2) B．(-2,1) C．(-∞,-2)∪(1,+∞) D．(-1,2)变式4．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知-x2-2x变式5．（2425高一上·全国·课后作业）不等式x2-4x变式6．（2526高一上·全国·课后作业）不等式3x2+5x变式7．（2324高一下·全国·课堂例题）解下列不等式：(1)x-(2)xx(3)1-x(4)x【方法技巧与总结】解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；③由图象得出不等式的解集．【题型3：含参一元二次不等式】例3．（2324高二下·福建福州·期末）设a为实数，则关于x的不等式ax-1xA．-∞,-2 B．C．1a,-2 D变式1．（多选）（2425高一上·全国·课后作业）已知实数a∈R，则不等式x+aA．x-a<C．{x|x>1a或变式2．（2324高一下·全国·课堂例题）解关于x的不等式：x2+ax变式3．（2324高一下·全国·课后作业）已知p:x-1<1，q:x变式4．（1516高一下·天津·期中）解关于变量x的不等式：ax变式5．（2024高一·全国·专题练习）求不等式12x变式6．（2324高一·上海·课堂例题）设a∈R，解下列关于x(1)x-(2)x-(3)xx变式7．（2425高一·上海·课堂例题）已知关于x的不等式2x2+(1)若M=-7,3(2)若M中的一个元素是0，求实数a的取值范围．【方法技巧与总结】含参一元二次不等式的解法有以下几种：1、当△=b24ac≥0时，二次三项式,ax2+bx+c=0有两个实根，那么ax2+bx+c=0，总可分解为a(xx1)(xx2)的形式。这样，解—元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。一元二次不等式的解集，就是这两个—元一次不等式组的解集的交集。2、用配方法解—元二次不等式。3、通过一元二次函数图象进行求解，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题目所需求的"<0"或">0"而推出答案。【题型4：由一元二次不等式的解确定参数】例4．（多选）（2324高一上·山西朔州·阶段练习）已知不等式ax2+2x+A．a=-12 B．C．c=2 D．变式1．（2526高一上·上海·单元测试）若不等式ax2+bx+1>0的解集是-12A．a=2，b=-1 B．aC．a=-2，b=-1 D．a变式2.（2122高一上·广东湛江·阶段练习）若不等式x2+px+q<0的解集为A．-3,2 B．-2,3 C．-1变式3．（2526高一上·全国·课后作业）已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{A．x-1≤xC．(-∞,-34]∪[1,+∞)变式4．（2425高一上·河北石家庄·开学考试）已知不等式x2+bx+c<0的解集为{x|-2<x变式5．（2324高二下·陕西宝鸡·期末）若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(1,2)变式6．（2425高一上·江苏淮安·开学考试）已知不等式ax2+bx+(1)用字母a表示出b，c；(2)求不等式bx变式7．（2425高一上·全国·课堂例题）已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为【题型5：一元二次方程根的分布】例5．（2425高一上·全国·课堂例题）已知二次函数y=k-3x2+2x+1的A．k<4 B．k≤4 C．k<4且k≠3 D变式1．（2425高一上·河南南阳·开学考试）“一元二次方程x-ax-a-变式2．（2324高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程x2+a2-1x+a变式3．（2425高一上·全国·课堂例题）已知函数y=k-3x2+2x变式4．（2324高一·上海·课堂例题）已知一元二次方程2x2-变式5．（2425高一上·上海·课堂例题）已知方程x2(1)若关于m的方程总有实数解，求x的取值范围；(2)求证：无论m取何实数，关于x的方程x2变式6．（2425高一上·上海·假期作业）已知关于x的方程k-1x2变式7．（2324高一下·辽宁·期末）已知函数y(1)解关于x的不等式y<0(2)若方程2x2-a+2x一、单选题一、单选题1．（2023高二·安徽·学业考试）不等式x-35-A．x3<x<5 B．C．x-5<x<-3 D2．（2324高二下·山东威海·期末）若“x2-x-12>0”是“x<A．-4 B．-3 C．3 D3．（2324高一下·广西南宁·期末）“a>3”是“a2-3A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2324高一上·吉林延边·阶段练习）已知不等式ax2+bx+cA．aB．2C．aD．cx2-5．（2324高一上·吉林延边·阶段练习）不等式9-12x≤-4xA．R B．∅ C．x|x=6．（2324高一上·云南昭通·期末）不等式ax2+bx-3<0的解集是A．-3 B．3 C．-5 D7．（2223高一上·江苏宿迁·阶段练习）若0<a<1，则不等式(xA．{x|aC．{x|18．（2324高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式ax2-bx+cA．-∞，-1C．-∞，12二、多选题9．（2324高一上·湖北十堰·期末）已知关于x的不等式.ax²+bx+c>0的解集为A．aB．不等式bx+cC．aD．不等式bx+a<0的解集为10．（2324高一上·广东茂名·期中）下面命题正确的是（

）A．“a>1”是“1aB．命题“∃x∈R，使x2+C．不等式2x>1D．设a∈R+，则11．（2324高一下·广东潮州·开学考试）对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式( x-aA．(-∞ ,2 )∪( a ,+∞ )C．a,2 D．三、填空题12．（2526高一上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程x2-6x+4m+1=0的两个实数根为x13．（2324高一上·山东潍坊·阶段练习）若集合A=x|x+2x-3≤0，B=x∣3-m≤x14．（2324高一下·北京石景山·期中）不等式x2-2x四、解答题15．（2324高一上·贵州·阶段练习）已知命题p：x2-3x(1)若m=2，那么p是q(2)若¬p是¬q的充分条件，求实数16．（2425高一上·云南·阶段练习