江苏省南京市天印高级中学2025届高一数学第一学期期末监测试题含解析

江苏省南京市天印高级中学2025届高一数学第一学期期末监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是（）A.8 B.16C.32 D.642．已知点，向量，若，则点的坐标为（）A. B.C. D.3．，则（）A.64 B.125C.256 D.6254．下列结论中正确的个数是（）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“”是全称量词命题；③命题“”的否定为“”；④命题“是的必要条件”是真命题；A.0 B.1C.2 D.35．直线l1：x+ay+1＝0与l2：（a﹣3）x+2y﹣5＝0（a∈R）互相垂直，则直线l2的斜率为（）A. B.C.1 D.﹣16．已知，，则（）A. B.C. D.7．已知集合，，有以下结论：①；②；③．其中错误的是（）A.①③ B.②③C.①② D.①②③8．设则（）A. B.C. D.9．已知的定义域为，则函数的定义域为A. B.C. D.10．函数的零点所在的区间是A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，，则的值为__________12．如果函数仅有一个零点，则实数的值为______13．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，过点；当时，图象是线段BC，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为____________.（写成区间形式）14．在中，角、、所对的边为、、，若，，，则角________15．对于函数和，设，，若存在、，使得，则称与互为“零点关联函数”．若函数与互为“零点关联函数”，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.16．已知幂函数f(x)是奇函数且在上是减函数，请写出f(x)的一个表达式________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，（1）求和的值（2）求以及的值18．设函数（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；（2）当时，在上恒成立，求实数的取值范围19．已知.（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.20．已知函数（a为实常数）（1）若，设在区间的最小值为，求的表达式：（2）设，若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围21．已知函数.（1）求最小正周期；（2）当时，求的值域.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】由斜二测画法知识得原图形底和高【详解】原图形中，，边上的高为，故面积为32故选：C2、B【解析】设点坐标为，利用向量的坐标运算建立方程组，解之可得选项.【详解】设点坐标为，，A，所以，又，，所以.解得，解得点坐标为.故选：B.3、D【解析】根据对数的运算及性质化简求解即可.【详解】，，，故选：D4、C【解析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.【详解】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确；对于③：命题，则，故③错误；对于④：可以推出，所以是的必要条件，故④正确；所以正确的命题为②④，故选：C5、C【解析】利用直线l1：x+ay+1＝0与l2：（a﹣3）x+2y﹣5＝0（a∈R）互相垂直，则，解出即可.【详解】因为直线l1：x+ay+1＝0与l2：（a﹣3）x+2y﹣5＝0（a∈R）互相垂直.所以，即.解得：.故选：C【点睛】本题考查由两条直线互相垂直求参数的问题，属于基础题6、D【解析】由同角三角函数的平方关系计算即可得出结果.【详解】因为，，,,所以.故选：D7、C【解析】解出不等式，得到集合，然后逐一判断即可.【详解】由可得所以，故①错；，②错；，③对，故选：C8、D【解析】由指数函数、对数函数的单调性，并与0，1比较可得答案【详解】由指数、对数函数的性质可知：，，所以有.故选：D9、B【解析】因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得，选B考点：1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域10、B【解析】因为函数为上的增函数，故利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】因为为上的增函数，为上的增函数，故为上的增函数.又，，由零点存在定理可知在存在零点，故选B.【点睛】函数的零点问题有两种类型，（1）计算函数的零点，比如二次函数的零点等，有时我们可以根据解析式猜出函数的零点，再结合单调性得到函数的零点，比如；（2）估算函数的零点，如等，我们无法计算此类函数的零点，只能借助零点存在定理和函数的单调性估计零点所在的范围.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】根据两角和的正弦公式即可求解.【详解】由题意可知，因为，所以，所以，则故答案为：.12、【解析】利用即可得出.【详解】函数仅有一个零点，即方程只有1个根，，解得.故答案为：.13、【解析】当，时，设，把点代入能求出解析式；当，时，设，把点、代入能求出解析式，结合题设条件，列出不等式组，即可求解.详解】当x∈（0，12]时，设，过点（12，78）代入得，a则f（x），当x∈(12，40]时，设y＝kx+b，过点B（12，78）、C（40，50）得，即，由题意得，或得4＜x≤12或12＜x＜28，所以4＜x＜28，则老师就在x∈（4，28）时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，故答案为：（4，28）【点睛】本题考查解析式的求法，考查不等式组的解法，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用，属于中档题14、.【解析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围得出角的值.【详解】由余弦定理得，，，故答案为.【点睛】本题考查余弦定理的应用和反三角函数，解题时要充分结合元素类型选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.15、C【解析】先求得函数的零点为，进而可得的零点满足，由二次函数的图象与性质即可得解.【详解】由题意，函数单调递增，且，所以函数的零点为，设的零点为，则，则，由于必过点，故要使其零点在区间上，则或，即或，所以，故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将题目条件转化为函数零点的范围，再由二次函数的图象与性质即可得解.16、【解析】由题意可知幂函数中为负数且为奇数，从而可求出解析式【详解】因为幂函数是奇函数且在上是减函数，所以为负数且为奇数，所以f(x)的一个表达式可以是（答案不唯一），故答案为：（答案不唯一）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2），【解析】（1）根据三角函数的基本关系式，准确运算，即可求解；（2）利用两角差的正弦公式和两角和的正切公式，准确运算，即可求解.【小问1详解】因为，根据三角函数的基本关系式，可得，又因为，所以，且.【小问2详解】由，和根据两角差的正弦公式，可得，再结合两角和的正切公式，可得18、（1）或（2）【解析】（1）由题意，是方程的解，利用韦达定理求解，代入，结合一元二次函数、方程、不等式的关系求解即可；（2），代入转化不等式为，换元法求解的最大值即可【小问1详解】因为不等式的解集是，所以是方程的解由韦达定理解得故不等式为，即解得或故不等式得其解集为或【小问2详解】当时，在上恒成立，所以令，则令，则，由于均为的减函数故在上为减函数所以当时，取最大值，且最大值为3所以所以所以实数的取值范围为.19、(1)最小正周期，单调递减区间为；(2)最小值为0；最大值为3.【解析】（1）将函数化为，可得最小正周期为，将作为一个整体，代入正弦函数的递减区间可得结果．（2）由，得，结合正弦函数的图象可得所求最值试题解析：（1）∴函数的最小正周期由，，得，，∴函数的单调递减区间为（2）∵，∴∴，∴当，即时，取得最小值为0；当，即时，取得最大值为3.20、（1）；（2）【解析】（1）用二次函数法求函数的最小值，要注意定义域，同时由于不确定，要根据对称轴分类讨论（2）首先用单调性定义证明单调性，可将“函数在区间上是增函数”转化为恒成立问题求即可【详解】（1）由于，当时，①若，即，则在为增函数，；②若，即时，；③若，即时，在上是减函数，；综上可得；（2）在区间上任取，（*）在上是增函数∴（*）可转化为对任意且都成立，即①当时，上式显然成立②，由得，解得；③，由得，，得，所以实数