《数字信号处理（第2版）》全套教学课件

1《数字信号处理》全套可编辑PPT课件2本课程的宗旨显化实现信号处理的过程（选用器件、算法设计与实现、产品）如何学习（根本）（1）获取信息频域特征的理论与算法；（2）简单的系统设计方法（IIR和FIR数字滤波器设计）课程地位（大学课程）重要的基础课程和主干课程；是通信与信息系统以及信号与信息处理等专业研究生入学考试的必考课程（或者是初试、或者是复试）。《数字信号处理》课程简介3《数字信号处理》课程简介主要研究的内容及课时安排

信号频谱分析----理论、方法与应用傅里叶变换理论，

离散傅里叶变换（DFT：第3章），

快速傅里叶变换（FFT：第4章），

信号谱分析（第5章）数字信号处理系统----数字滤波器理论及分析方法

（信号与系统课程中已经大体讲过：第2章）

数字滤波器设计理论与方法

（IIR（第6章）和FIR（第7章）数字滤波器设计）科学理论与实际应用中的差别----误差讨论（第8章）课程教学体系4

滤波器设计

DFT

信号分析

信号处理“数字信号处理”课程知识架构分析方法数字技术

FFT滤波器组概念课程教学体系5DFT分析卷积相关谱分析滤波器设计时域逼近频域逼近Z域描述课程教学体系6第1章

引言信号与信号处理：信号：在课程《信号与系统》中，定义载有一定信息的一种物理体现为信号；事实上，任意发生在两对象之间的交流信息都称为信号。两种信号处理方法（根据处理所依据的物理器件或信号特点）：模拟信号处理：信号是连续时间信号，采用模拟器件；数字信号处理：信号是数字信号（离散时间信号），采用数字器件。7信号处理：对信号进行某种加工（数学计算），其目的是为了提取信号携带的有用信息。第1章

引言为什么采用数字信号处理方法？数字信号处理方法具有很多的优点，比如：模拟系统也有特定的应用场合，是数字信号处理系统所不能替代的，如8灵活性强；稳定性好；精度高；可以实现许多模拟系统所不能达到的指标；易于大规模集成；

实时信号处理领域；射频（RF）信号。现在的研究热点：人工智能,大语言模型！问题是：人工智能能否取代人类？如何看待、认识并使用人工智能？第1章

引言9数字信号处理的一般过程和基本框图？前置预滤波器A/D转换器数字信号处理器D/A转换器模拟滤波器图1数字信号处理系统的简单方框图xa(t)ya(t)x[n]y[n]A/D转换器：也称模数转换器，功能是将模拟输入信号xa(t)转换成数字序列x[n]，通常由采样、量化和编码等过程完成；数字信号处理器：是DSP系统的核心部分，功能是将数字序列x[n]按预定的要求进行加工处理，转换成输出序列y[n]；D/A转换器：也称数模转换器，功能是将数字序列y[n]再转换成模拟信号ya(t)。第1章

引言10数字信号处理的实现

软件实现：是指在通用计算机或微处理机上编写程序实现各种复杂的信号处理算法。

优点是灵活、开发周期短；

缺点是处理速度慢。专用硬件实现：是指实现某种专门信号处理的专用DSP芯片，这些芯片可以是专用数字信号处理机或专用集成电路。

优点是处理速度快；

缺点是不灵活、开发周期长。软硬件结合实现：是指在通用DSP芯片上开发用户所需的信号处理功能。

优点是既具有专用硬件实现的准实时性，又具有软件实现的可灵活

编程的特点。第1章

引言11第1章

引言12第1章

引言13第1章

引言14第1章

引言15第1章

引言16第1章

引言17第1章

引言18第1章

引言19智能驾驶、大语言模型第1章

引言20数字信号处理的发展与应用

在理论和技术方面：（1）由简单的运算走向复杂的运算；（2）由低频走向高频；（3）由一维走向多维。在科学学科和工程应用领域方面：（1）通信；（2）医疗和生物医学工程；（3）资源勘探、能源利用和绿色生活；（4）国防与军事；（5）消费电子产品。21第2章离散时间信号与系统2.4离散时间系统2.3离散时间信号的z变换2.2离散时间信号的傅里叶变换(DTFT)2.1散时间信号----序列2.6用Matlab分析和实现离散时间信号和系统2.5离散时间系统处理连续时间信号2.1离散时间信号（序列）的时域

分析223.周期序列及周期信号的特点1.离散时间信号的时域表示------序列2.典型离散信号——序列表示方式：三种——周期信号的参数：周期与频率——离散周期序列和连续周期信号的对比——指数信号，正弦信号；——单位样值信号，单位阶跃信号；…；23离散时间信号——只在某些离散瞬时给出函数值的时间函数，

简称为离散信号或序列（sequence）。用符号表示为：f(tn),x(tn)；若tn=nT（n=0,

1,

2,…），则简化表示为：f[n]，x[n]。

注：n只能取整数，表示各函数值在序列中出现的先后序号。称f[n]（或x[n]）为信号在第n个样点的“样本”或“样值”（sample）。2.1.1离散时间信号的表示及典型序列x1[n]12340

1n

当n=0时，x1[n]|n=0=0；即x1[0]=0例：包络242.1.1离散时间信号的表示及典型序列25

单位样值信号

[n]12340

1n1

单位阶跃序列u[n]12340

1n1

2

[nm]1230

1n1mm

12.1.1离散时间信号的表示及典型序列26

矩形序列RN[n]12340

1n1

2N

1N明显地：RN[n]=u[n]

u[n

N]

，也称矩形窗函数。RN[n]称为长度为N

的有限长度序列。

单边实指数序列当|a|>1时，序列幅度值增长当|a|<1时，序列幅度值衰减当a=1时，阶跃序列当a

=

1时，序列值在+1，

1两值变化2.1.1离散时间信号的表示及典型序列27

单边正弦序列当n0时，序列包络呈现重复特点。2.1.1离散时间信号的表示及典型序列28若

0

=

，并设x2[n]=cosn=(1)nx2[n]12340

1n1

2

1

—周期序列，周期：N2

=2

复指数序列复数值：直角坐标表示：即x[n]=cos

0n+jsin

0n

极坐标表示：即若

0

=

/10

2.1.1离散时间信号的表示及典型序列29

周期序列应满足：x[n]=x[n+N]，（

n

Z，NZ）。设正弦序列：x[n]=cos

0n则：x[n+N]=cos(

0n+N

0)，所以当且仅当

0N=2

k（k是整数）时，正弦序列是周期序列，且周期为最小的正整数（通过选择k）2.1.2周期序列—如果：2

/

0

=p/q（p,q为互质整数）为有理数，则正弦序列为周期序列；—如果：2/

0是无理数，则正弦序列是非周期序列。不论

0为什么数，

0总是反映正弦序列包络的振荡频率，因此也称为正弦序列的频率。30例2.2-1:判断下列序列的周期性，若是周期序列，求其周期。解：周期N1

=10非周期序列N2

=例:比较随整数k是增加的连续周期信号与离散周期序列的变化（频率）特点：2.1.2周期序列31解：周期T1k=T1/k

R（实数）周期N2k=mN/k

Z（整数）随着整数k的增加，k1的数值在增加，

且信号x1k(t)的周期T1k减小，同时频率k1增加；随着整数k的增加，虽然k1的数值在增加，

但序列x2k[n]的周期N2k不总是减小，因而频率k1也不总是增加；以N=8为例，即2.1.2周期序列32当整数k=0,1,2，3时，其图形如下，1n0816

1cosk

0n(a)

0=

/4，k=02461012141n0816

1cosk

0n(b)

0=

/4，k=1

1N0=任意(1)N1=81n0816

1cosk

0n(d)

0=

/4，k=3

11n0816

1cosk

0n(c)

0=

/4，k=2

1N2=4N3=8可见当k=0,1,2，3时，其周期N2k不单调减小，频率k1单调增加；2.1.2周期序列331n0816

1cosk

0n(d)

0=

/4，k=3

11n0816

1cosk

0n(f)

0=

/4，k=5

11n0816

1cosk

0n(c)

0=

/4，k=2

11n0816

1cosk

0n(e)

0=

/4，k=4

11n0816

1cosk

0n(h)

0=

/4，k=7

11n0816

1cosk

0n(g)

0=

/4，k=6

1N2=4N3=8N4=2N5=8N6=4N7=82.1.2周期序列34应用：周期信号的傅里叶级数展开：（a）当0k1

时，随着k的增加，频率k1也单调增加，表现为序列的样本幅度随k增加而变化表现更剧烈；当

k1

2时，随着k的增加，频率k1虽然数值单调增加，但序列的实际频率降低，表现为序列的样本幅度随k增加而变化更缓和；类似地情况发生在：2r

k1

(2r+1)和(2r+1)k1

2(r+1)。（b）对于离散序列，其最高频率值是=(2r+1)。（c）对于离散序列，可以具有相同的周期，但不同的频率。2.1.2周期序列351.序列的时域运算——波形特点：周期；对称；

幅度范围（极（最）大（小）值，变量起止范围(边界)；…；——信号能量与功率参数2.序列的特点及参数描述3.序列的获取——+、

、；移位；差分与累加；反褶；卷积和——连续信号的采样2.1.3序列的运算及参数特征36

序列的加减：

x[n]=x1[n]

x2[n]

序列的乘积和数乘：

x[n]=x1[n]x2[n]

y[n]=ax[n]

序列移位：

y[n]=x[n–m] 从而有这样——m是整数；

m>0，序列向右移动；

m<0，序列向左移动；

2.1.3序列的运算及参数特征37

序列的差分和累加运算：一阶前向差分定义为：

x[n]=x[n+1]-x[n]一阶后向差分定义为：

x[n]=x[n]

-

x[n-1]

序列的反褶：y[n]=x[-n]

序列的单位脉冲叠加运算：

序列的卷积和四步骤计算法：反褶、时移、相乘、求和。累加运算定义为：2.1.3序列的运算及参数特征38例2:1-2

假设两序列分别为：求下列序列并画出它们的图形：（3）z[n]=y[n+2]+y[n+2]（2）v[n]=2x[n

1]·y[n+2]解：y[n]21

1

102n

22.1.3序列的运算及参数特征394611

4

2

101234ns[n]s[n]y[n]21

1

102n

2y[n+1]21

1

102n

2y[n

1]21

1

102n

23y[n

2]21

1

102n

234x[n]322

1y[n]20

1

3

2

21644

2s[n]641

4

21或通过表格列表法求解：2.1.3序列的运算及参数特征40（2）v[n]=2x[n

1]·y[n+2]（3）z[n]=y[

n+2]+y[n+2]={2，0，

，0，2}v[n]

6

10123nz[n]212

2

102n

2v[n]={}=6

[n]y[

n+2]12

1

102n

2y[n+2]21

1

102n

22.1.3序列的运算及参数特征41序列的特征及描述参数

奇序列和偶序列奇序列xod[n]满足：

xod[n]=

xod[

n]偶序列xev[n]满足：

xev[n]=xev[

n]x[n]=xod[n]+xev[n]其中：xod[n]={x[n]

x[

n]}/2；

xev[n]={x[n]+x[

n]}/2

序列的能量E和功率PM点序列的能量定义为：M点序列的功率定义为：42

序列的能量E和功率P——若E

<

,则称为能量信号——若P

<

,则称为功率信号序列的特征及描述参数任意长度序列，即M

时的能量与功率，例计算序列的能量或者功率

43——能量信号序列的特征及描述参数——既非能量信号也非功率信号44

序列的长度N（起止范围）：

有限长度序列和无限长序列

因果序列如果n<0时，序列x[n]=0，则称序列x[n]是因果序列。例如：序列x[n]=｛1,2,3,0,0,0,

2,

1｝,

3

n

4，

则此序列的长度为N=8。有界序列（幅度范围）：

如果|x[n]|A（常数），称序列x[n是有界序列。例如：等幅变化的正弦序列x[n]=Acos(

0n+

0)是有界序列

（无限长度的）。序列的特征及描述参数452.1.4序列的产生

本质离散的自然序列如：人口统计数字，

每年太阳黑子的平均数等等（统计数据）

对连续信号的采样x[n]=xa(nT)=xa(t)|t=nTT----采样周期。2.2离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）462.离散时间信号傅里叶变换(DTFT)的性质—DTFT定义；—特点、条件；—与连续信号傅里叶变换（CTFT）的对比1.离散时间信号的频域描述—参数意义：频率变量

；—函数解析式特点与意义472.2.1离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）

序列x[n]DTFTX(ej

)的定义:

DTFT存在的充分条件：序列x[n]绝对可和，即

由于X(ej

)是以2

为周期的周期函数，从而其逆变换，即IDTFT为：—请推导！

DTFT

的特点：

X(ej

)是变量

的连续函数，且是周期函数，周期为2

(ej

=ej(

+2)

)

；称

为数字角频率，量纲为弧度（rad）。482.2.1离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）解：根据DTFT的定义，有例

求下列序列的DTFT。（1）x1[n]=

[n]；

（2）x2[n]=u[n]

u[n

N]；

（3）x3[n]=anu[n]

(|a|<1)；（4）x4[n]=nanu[n]

(|a|<1)492.2.1离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）上式两边同乘以(ae

j

)，则得到，两式相减，于是序列x[n]及其DTFTX(ej

)总是一一对应的，通常记作DTFT变换对，即：50

DTFT的特点X(ej

)的变量

是实数且连续的频率变化量；X(ej

)是以2

为周期的周期函数；X(ej

)的函数值一般是复数值：直角坐标表示：

X(ej

)=Xre(ej

)+jXim(ej

)极坐标表示：

X(ej

)=|X(ej

)|ej

(

)2.2.2DTFT的特点与性质其中：|X(ej

)|----称为幅度频谱函数（简称幅度谱）

(

)=arg[X(ej

)]=≮X(ej

)----称为相位频谱函数51

2.2.2DTFT的特点与性质例

已知一周期连续谱如下图所示，求其对应的序列x[n]。X(ej

)

2

2

c1

c2

c2

c110解：根据IDTFT计算式，有当n=0时，当n

0时，52

2.2.2DTFT的特点与性质

如果序列是实序列，则其DTFT是共轭对称函数，即或者：

Xre(ej

)=Xre(e

j

)（偶函数）；

Xim(ej

)=

Xim(e

j

)（奇函数）也有：|X

(ej

)|=|X

(e

j

)|（偶函数）；

(

)=

(

)（奇函数）

如果序列是实偶序列，则其DTFT也是实偶函数；

如果序列是实奇序列，那么其DTFT则是纯虚奇函数。

DTFT对称性质532.2.2DTFT的特点与性质解：例

求下列序列的DTFT，其中|a|<1。542.2.2DTFT的特点与性质

对比DTFT与连续非周期信号的傅里叶变换（CTFT）连续周期信号的傅里叶级数表示：552.2.2DTFT的特点与性质

常用信号的傅里叶变换对2.2.3

DTFT定理561.序列的时域运算：

+、

、；移位；差分与累加；反褶；卷积和2.序列频谱函数的运算：

+、

、；移位；微分，积分；反褶；卷积

DTFT的变化

IDTFT的变化3.帕斯瓦尔定理：序列时域运算引起的DTFT运算57

线性定理：若x[n]=

g[n]+

h[n]，假设：则

X(ej

)=

G(ej

)+

H(ej

)。则

X(ej

)=e

jm

G(ej

)。

序列移位：若x[n]=g[n

m]，

差分运算：若x[n]=g[n]

g[n

1]，

累加运算：若58

序列反褶：若x[n]=

g[

n]，则

X(ej

)=G(e

j

)。

序列共轭：若x[n]=

g*[n]，则

X(ej

)=G*(e

j

)。从而实序列：

若x[n]=

x*[n]，则

X(ej

)=X*(e

j

)。——共轭对称函数

Xre(ej

)=Xre(e

j

)（偶函数）；

Xim(ej

)=

Xim(e

j

)（奇函数）也有：|X

(ej

)|=|X

(e

j

)|（偶函数）；

(

)=

(

)（奇函数）序列时域运算引起的DTFT运算59

卷积定理：若x[n]=g[n]*h[n]，

则

X(ej

)=G(ej

)H(ej

)。

调制定理：

若x[n]=g[n]h[n]序列运算引起的DTFT运算60则x[n]=

g[n]+

h[n]：线性定理

线性定理：若

X(ej

)=

G(ej

)+

H(ej

)，则

x[n]=

g[

n]类似：频谱反褶X(ej

)=G(e

j

)，

频谱移位：

若频域频谱函数运算对应的时间序列运算

频域微分：

若则x[n]=ng[n]61

频谱相乘：若X(ej

)=G(ej

)H(ej

)，

则

x[n]=g[n]*h[n]

。

频谱周期卷积：

若则

x[n]=g[n]h[n]。频域频谱函数运算对应的时间序列运算62解：例

已知单位阶跃序列u[n]的DTFT是求其差分运算序列x[n]及其累加和序列y[n]的DTFT，其中或u[n]

u[n1]=

[n]—X(ej

)=1

DTFT定理应用63DTFT定理应用最简化表示傅氏变换64例

计算序列x[n]=(n+1)anu[n]，（|a|<1）的DTFTX(ej

)。解：记x1[n]=anu[n]，x2[n]=nanu[n]=nx1[n]，

则

x[n]=

x2[n]+x1[n]所以频域频谱函数运算对应的时间序列运算65解：（1）根据定义，例

若序列x[n]=｛42

15

31

242｝，

6

n

2。

其DTFT为X(ej

)，求下列表达式的值。（1）X(ej0)，

（2）X(ej

)，

帕斯瓦尔定理

66（2）类似（1）（3）（4）根据帕斯瓦尔定理（5）根据频域微分定理和帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理

67证明：（A）

（B）证：根据移位性质：序列时域运算引起的DTFT运算例：再根据线性性质：类似可以证明式（B）：68或证（B）：序列时域运算引起的DTFT运算2.3离散时间信号的z变换691.从DTFT到z变换2.双边z变换、单边z变换及收敛域——z变换的一般形式和特点；——z变换的收敛域；——z变换与DTFT的关系70从DTFT到z变换

DTFT：指数抑制因子

——定义为z变换也称为双边z变换

例：712.3.1z变换及其收敛域

z变换（双边z变换）定义其中：而且，上式中复数z的取值是有范围限制的。

z变换收敛域

例

求下列序列的z变换：解：收敛域72

z变换收敛域RezjImz|z|=|a|z平面ORezjImz|z|=|a|z平面O一般情况，双边z变换的收敛域是一个环形区域：R+<|z|<R

。2.3.1z变换及其收敛域73

z变换收敛域

有限长序列：

右边序列：

左边序列：

双边序列：2.3.1z变换及其收敛域74

z变换的一般形式：—

所有系数都是实系数，X(z)是实函数有理分式。零点：当z

=zi时，X(zi)=0，则zi称为X(z)的零点；极点：当z

=pi时，X(pi)=(或1/X(pi)=0)，则pi称为X(z)的极点。2.3.1z变换及其收敛域75

z变换与DTFT的关系—

如果收敛域包含|z|=1(

=1单位圆)，则例

分别求

z变换和DTFT，解：2.3.1z变换及其收敛域76单边

z变换

单边z变换定义例

分别求单边

z变换和z变换，解：单边

z变换z变换77单边

z变换

单边z变换的收敛域与零点和极点

收敛域：

如果x[n]是因果序列，则其单边z变换等于z变换78单边

z变换例

分别求单边

z变换和

z变换单边

z变换z变换解：该序列的DTFT为：x[n]1

2

30

1n

4123a2ajImz0Reza|z|=1|X(ej

)|2

0

6.751.35取a=1.579单边

z变换例

分别求单边

z变换和z变换，单边

z变换z变换解：801.围线积分——留数定理法2.3.3逆z变换3.部分分式展开法2.幂级数展开法81逆z变换的围线积分

z变换：ROC：R+<|z|<R

逆z变换：故：依IDTFT：则：jImz0Rez

=0

=

=

=2——围线积分82逆z变换的围线积分

逆z变换：

留数定理：其中：Res表示极点的留数，zm为X(z)zn1在围线C内的极点。若zm是一阶极点，则若zm是s阶极点，则83幂级数展开法（大除法）

z变换的有理函数形式：ROC：R+<|z|<R

如果收敛域

|z|>R+，则序列x[n]是右边序列，N(z)

、D(z)按照z

的降幂（z1的升幂）次序排列；

如果收敛域

|z|<R

，则序列x[n]是左边序列，N(z)

、D(z)按照z

的升幂（z1的降幂）次序排列。例

求逆z变换：解：收敛域（1）|z

|>1，则序列x[n]是右边序列：

84幂级数展开法（大除法）解：收敛域（1）|z

|>1，则序列x[n]是右边序列：

（2）|z

|<1，则序列x[n]是左边序列：

85部分分式展开法

z变换的有理函数形式：ROC：R+<|z|<R

依据常用序列的z变换特点，即86部分分式展开法

部分分式展开：jImz0Rez其中：87例

求逆z变换：解：将展开成部分分式为其中：部分分式展开法88例

求逆z变换：部分分式展开法jImz0Rez89例

求逆z变换：解：将展开成部分分式为其中：部分分式展开法90例

求逆z变换：jImz0Rez部分分式展开法2.3.4z变换的性质912.单边z变换定理—线性，时移，z域尺度变换，反褶，z域微分；—卷积定理；（仿DTFT）—初值定理与终值定理1.Z变换定理—时移3.应用单边z变换求解差分方程92

2.3.4z变换的性质

DTFT与

z变换:

线性定理：

序列移位（时移）：

z域尺度变换：

z变换定理:932.3.4z变换的性质

序列共轭：

序列反褶：

卷积定理：

z域微分定理：

初值定理与终值定理：初值：终值：942.3.4z变换的性质例

求z变换：解：（1）（1）依z

域微分定理：952.3.4z变换的性质（2）依z

域尺度变换：962.3.4z变换的性质

调制定理：

帕斯瓦尔定理：

序列累加和：

序列差分：97单边z变换定理

z变换与单边z变换:

单边z变换定理:

线性定理：98单边z变换定理

序列移位：例如：单边z变换的移位性质常用来求解常系数线性差分方程。99单边z变换定理解：对差分方程两边分别取单边

z变换，例

利用单边z变换求解差分方程。(1)代入条件(1)，即100单边z变换定理(2)代入条件(2)，即思考：ROC会不会是：101单边z变换定理

z域尺度变换：

序列共轭：

序列反褶：

卷积定理：

z域微分定理：

序列累加和：

序列差分：102单边z变换定理

初值定理与终值定理：初值：终值：

调制定理：

帕斯瓦尔定理：103单边z变换定理例求序列x[n]的初值x[0]与终值x[

]，已知其z变换为。解：利用初值定理与终值定理（判断：由ROC，x[n]是右边序列）验证：jImz0Rez

1|z|=1j

j

j2j2104单边z变换定理应用初值定理，则要求：应用终值定理，则要求：105第2章离散时间信号与系统2.4离散时间系统2.3离散时间信号的z变换2.2离散时间信号的傅里叶变换(DTFT)2.1离散时间信号----序列2.6用Matlab分析和实现离散时间信号和系统2.5离散时间系统处理连续时间信号2.4离散时间系统1061.线性时不变离散时间系统2.单位脉冲响应——线性系统3.常系数线性差分方程——时不变系统2.4.1线性时不变(LTI)离散时间系统107离散时间系统T[

]x[n]y[n]=T[x[n]]输入输出

线性离散系统是指满足叠加性与均匀性的离散系统。T[

]x1[n]y1[n]T[

]x2[n]y2[n]T[

]c1x1[n]+c2x2[n]c1y1[n]+c2y2[n]

时不变离散系统：描述响应对输入的时间依赖性T[

]x[n]y[n]T[

]x[nm]y[nm]2.4.1线性时不变（LTI）离散时间系统108例

判断滑动平均滤波器的线性特性及时不变特性。设滑动平均系统的输出y[n]与输入x[n]满足以下关系解：假设

y1[n]=T[x1[n]]和y2[n]=T[x2[n]]，

即y1[n]和y2[n]分别为输入x1[n]和x2[n]时的输出信号。（1）当输入信号为x3[n]=ax1[n]+bx2[n]时，输出信号为——该系统具有线性性质。109（2）当输入信号为x4[n]=x1[n

m]时，输出信号为——该系统具有时不变性质。综合以上讨论，该系统是一个线性时不变系统。3.对线性时不变离散系统而言：如果x[n]=0；则输出y[n]=0。4.系统的线性、时不变性虽然是系统的固有属性，

但要通过输入/输出相互关系表现出来。2.4.1线性时不变（LTI）离散时间系统2.4.2LTI离散时间系统的单位脉冲响应110LTI离散系统T[

]输入xi[n]输出yi[n]

单位脉冲响应定义：

当输入信号是单位样值信号时，LTI离散系统的输出信号，即

单位脉冲响应作用：111例

已知滑动平均滤波器的系统方程（1）求单位样值响应h[n]；（2）当输入x[n]=u[n]时，求系统响应y[n]；解：（1）令

x[n]=

[n]，则2.4.2LTI离散时间系统的单位脉冲响应（2）当输入x[n]=u[n]时，1122.4.2LTI离散时间系统的单位脉冲响应

LTI离散系统的分类一（按照h[n]长度）：（A）FIR数字滤波器：h[n]是有限长序列，如滑动平均滤波器；（B）IIR数字滤波器：h[n]是无限长序列，如累加器；

LTI离散系统的分类二（按照h[n]取值的样本区间）：（A）

因果系统：h[n]=h[n]

u[n]，即因果序列；（B）

非因果系统：h[n]

0，当n

<

0时；即非因果序列。1132.4.2LTI离散时间系统的单位脉冲响应

FIR滤波器和IIR滤波器的输出信号1142.4.3常系数线性差分方程与LTI离散时间系统

常系数线性差分方程与LTI离散系统：其中系数ai，bj都是实常数。例如：例如累加器：

LTI离散系统一般可表示为常系数线性差分方程。1152.4.3常系数线性差分方程与LTI离散时间系统

常系数线性差分方程的建立：

x[n]y[n]E

10.9E

1

0.232w[n]z1z1W(z)X(z)Y(z)

例

考察如图所示的离散系统，试写出其激励x[n]和响应y[n]之间的差分方程式（其中符号

表示加法器，做加法运算；表示延时器，作延时1个时间单元运算；

表示数a和信号相乘，称为数乘器或乘法器。）E

1

解：设左边加法器输出为w[n]，则：1162.4.3常系数线性差分方程与LTI离散时间系统

常系数线性差分方程的求解（系统响应）：（1）

唯一解的条件：已知输入序列x[n]以及以及输出序列y[n]在过去的取值（状态）：y[

1]，y[

2]，…，y[

(N1)]，y[N]（2）

求解方法：（A）z域求解：利用单边z变换；（B）时域直接求解：迭代或者齐次解+特解1172.4.3常系数线性差分方程与LTI离散时间系统

解（响应）的特点与分类：（A）零状态响应yzs[n]与零输入响应yzi[n]（z域求解）（B）自由响应yh[n](齐次解)与强迫响应yp[n]（特解）零输入响应为自由响应，反映系统自身的变化属性；零状态响应包含自由响应和强迫响应；强迫响应表现系统对输入信号的变化响应；1182.4.3常系数线性差分方程与LTI离散时间系统例

求解差分方程，并指出其中的零输入与零状态响应，

以及自由响应与强迫响应。解：用单边z变换求解，得到代入给定条件，即零输入响应=yp[n]，称为强迫响应1192.4.3常系数线性差分方程与LTI离散时间系统=yh[n]（自由响应）

=yh[n]+yp[n]零状态响应yp[n]=

4.8

(0.6)nu[n]

1202.4.4LTI离散系统的系统函数LTI离散系统T[

]

[n]h[n]=T[

[n]]输入输出在z域（z变换）其中：——称为系统函数——也称传输函数

系统函数的定义1212.4.4LTI离散系统的系统函数用单边z变换求解其响应的z变换为：根据：

系统函数与常系数线性差分方程122

2.4.4LTI离散系统的系统函数

LTI离散系统的系统函数一般形式：（A）FIR数字滤波器：全部极点pi=0；（B）IIR数字滤波器：至少有一个极点pi

0。（C）

因果系统：h[n]=h[n]

u[n]，即N

M且|z|>R+（D）

非因果系统：h[n]

0，当n

<

0时。1232.4.4LTI离散系统的系统函数例

求下述LTI离散系统的系统函数：解：

系统函数为：系统h1[n]是非因果IIR系统系统h2[n]是非因果FIR系统系统h3[n]是因果FIR系统系统h4[n]是因果IIR系统124系统函数与系统响应

系统函数与零状态响应及差分方程：（A）零状态响应yzs[n]：设输入x[n]=x[n]

u[n]，则若称为零起始状态，从而系统的响应称为零状态响应yzs[n]。（B）零输入响应yzi[n]：设输入x[n]=0，则若即非零起始状态，从而系统的响应为零输入响应yzi[n]。125系统函数与系统响应（C）以差分方程为例：经单边z变换得到的方程的解为——零输入响应yzi[n]126系统函数与系统响应——零状态响应yzs[n]例

求解差分方程，并指出其中的零输入与零状态响应，

以及自由响应与强迫响应。解：用单边z变换求解，得到127系统函数与系统响应代入给定起始状态，即

零输入响应

零状态响应代入给定输入，即128系统函数与系统响应零输入响应零状态响应=yh[n]；称为自由响应=yp[n]，称为强迫响应完全响应强迫响应是输入信号被系统修改后发生变形的响应部分；自由响应是系统自身特点的展示。当n

时，y[n]

0，称为暂态响应。129系统函数与系统响应

系统阶次与系统函数的联系（A）对于IIR系统，系统阶次=极点数目（不包含

），至少一个极点pi

0；

设IIR系统是N阶的，则有N个起始状态值。（B）对于FIR系统，系统阶次=零点数目

所有极点pi=0，共有M个零点，

M阶FIR滤波器，h[n]有（M+1）样本值；130系统函数与系统响应例

求LTI离散系统的系统函数，单位样值响应以及差分方程。

已知该系统当输入x[n]=5u[n]时，输出为：解：系统函数为：单位样值响应为：差分方程为：2阶IIR系统（2个非零极点）：1312.4.4LTI离散系统的频响特性LTI离散系统T[

]

[n]h[n]=T[

[n]]输入输出在频

域（DTFT）其中：——称为系统的频响特性函数——也称传输函数

频响特性的定义1322.4.4LTI离散系统的频响特性

频响特性的条件及特点（A）

频响特性存在的充分条件：单位样值响应h[n]绝对可和，即（B）

频响特性的特点：H(ej

)是变量

的连续函数，且是周期函数，周期为2

（rad）。（C）频响特性与系统函数的联系：收敛域包含{z||z|=1}，即单位圆，故1332.4.5稳定的LTI离散系统即单位样值响应h[n]绝对可和，

稳定系统的定义与条件：即当输入信号为

|x[n]|<Ax（有限幅度值），其输出信号必定满足|y[n]|<Ay（有限幅度值）的系统。（A）定义：BIBO（BoundedinputBoundedOutput）稳定系统：1342.4.4稳定的LTI离散系统1）在时域：h[n]绝对可和，

LTI稳定系统的条件2）在z域：H(z)收敛域包含单位圆，3）对于因果LTI系统，所有极点都在单位圆内部。4）稳定系统存在频响特性：幅频（幅度频响）特性相频（相位频响）特性135LTI离散系统频响特性的求解与表示例

已知LTI系统的系统函数为(2)求其频响特性函数，并粗略画出其幅频特性和相频特性曲线。(1)求系统的响应，当输入信号分别为：解：根据：136LTI离散系统频响特性的求解与表示自由响应强迫响应暂态响应ytr[n]稳态响应yss[n]|z|>0.9；M=N=2，这是因果稳定的IIR系统。137LTI离散系统频响特性的求解与表示频响特性：|z|>0.9；M=N=2，这是因果稳定的IIR系统。138LTI离散系统频响特性的求解与表示第1步：判断给出的LTI系统是稳定系统（BIBO）；幅频（幅度频响）特性相频（相位频响）特性第2步：求解系统函数或者单位样值响应；第3步：求解频响特性函数：第4步：求解幅频特性函数和相频特性函数：139LTI离散系统频响特性的矢量作图

零点矢量与极点矢量：140LTI离散系统频响特性的矢量作图例

设FIR系统的脉冲响应为h[n]=an{u[n]

u[n

N]}，

0<a<1，画出其频率响应特性曲线。解：利用矢量作图法，求系统函数为其零点为

zi=aej(2

/N)i，i=0，1，

，N

1；极点为

pi=0(i=1，2，

，N

1，重极点)和

p0

=a；其零点矢量为所以极点矢量为设N

=5，a=0.8，则零极点分布图及极点、零点矢量如右图：141LTI离散系统频响特性的矢量作图(b)

2

2

0

|H(ej

)|

2

2

0

(c)

(

)主值区间其中：N

=5，a=0.8

矢量作图法142LTI离散系统频响特性的矢量作图143LTI离散系统频响特性的矢量作图

数字滤波器

|H(ej

)|

c102

2

c低通滤波器高通滤波器

|H(ej

)|

cL102

cH带通滤波器带阻滤波器

|H(ej

)|

cL102

2

cL

cH

|H(ej

)|

cL1102

cH1

cL2

cH21442.4.5稳定系统与因果系统

稳定系统（BIBO）描述系统运行的可靠性；（A）

时域特点：（B）z域特点：（C）频域特点：根据幅频特性：（D）系统响应：1452.4.5稳定系统与因果系统

因果系统（h[n]=h[n]u[n]）

：表述系统的可实现性（A）

时域特点：（B）z域特点：（C）频域特点：当因果系统是稳定系统时：（D）系统响应：1462.4.5稳定系统与因果系统

因果系统（h[n]=h[n]u[n]）

：——因果系统实现具有可行性。（D）系统响应：147LTI离散时间系统的其他性质例

某LTI离散系统如图所示，求：（1）输出y[n]与输入x[n]的方程；（2）单位样值响应h[n]，

并判断系统是否是因果系统及稳定系统；（3）系统函数H(z)；（4）当M=4时，画出系统的频响特性曲线H(ej

)；（5）当M=4，x[n]=n，0

n6时，求系统的输出y[n]。148LTI离散时间系统的其他性质解：（1）列写加法器表示的运算：w[n]（2）单位样值响应h[n]，即

x[n]=

[n]；利用单边z变换求解：149LTI离散时间系统的其他性质FIR滤波器：(3)系统函数：(2)单位样值响应（4）系统的频响特性曲线H(ej

)；该FIR滤波器是因果系统也是稳定系统。150LTI离散时间系统的其他性质（4）当M=4时；依据零极点矢量作图。低通滤波器151LTI离散时间系统的其他性质（5）当M=4，x[n]=n，0

n6时，y[n]依据零极点矢量作图：152例

某LTI离散系统的单位样值响应如下，求：（3）输出y[n]与输入x[n]的方程；（4）如果系统响应y[n]=nu[n]，求输入信号x[n]；（2）系统函数H(z)；（5）画出系统的频响特性曲线H(ej

)。（1）判断系统是否是因果系统及稳定系统；LTI离散时间系统的其他性质解：（1）明显：是因果系统也是稳定系统1532.4.5稳定系统与因果系统（3）差分方程；（4）（5）频响特性（2）系统函数H(z)；1542.4.5稳定系统与因果系统（4）2.5离散信号：连续信号的采样1551.信号的种类2.连续信号的采样（A）

连续信号（模拟信号，自然信号）（A）

采样目的（B）

离散信号（采样信号，数字信号）（B）

采样方法（C）

采样原理与理论（D）

采样应用2.5.1采样的目的156

连续信号x(t):

tR;自然界中的大部分信号都属这一类。

离散信号x[n]

nZ；如声、光、电、温度、力、速度、位移等等物理量（A）数据存储与传输；（B）现代数字信号处理；157采样方法

采样开关与采样信号采样信号采样周期（采样时间间隔）：

T=Ts（秒）

采样数学模型：采样频率：

Fs=1/T（Hz）158

离散信号：冲激串转换为序列x[n]x[n]=

xa(nT)采样信号离散信号C/Dxa(t)x[n]=

xa(nT)T=Ts

C/D转换器：第1步：采样第2步：离散化采样方法159疑问：采样周期T

的大小对连续信号采样的影响是怎样的？2.5.2采样原理与理论

不同采样周期得到的离散信号：xa(t)xs(t)0t2T3T

T

2T

TT=T1x[n]=

xa(nT1)0n23

1

2

145687

3

4

5

6

xa(t)xs(t)0T2T3T

T

2TtT=2T1

0nx[n]=

xa(n2T1)2314567

1

2

3

4

5采样信号离散信号160

连续信号、采样信号与离散信号的傅里叶变换，2.5.2采样原理与理论1612.5.2采样原理与理论C/Dxa

(t)x[n]=

xa(nT)T=Ts162

采样周期T的影响Xa(j

)0

m

m1

Xs(j

)0

m

s

m

1/T2

s

s

(

s

m)

X

(ej

)0

mT

mT

1/T4

22

mT

2

2.5.2采样原理与理论163Xa(j

)0

m

m1

Xs(j

)0

s

s

1/T2

s

2

s

(

s

m)

3

s

4

s

m

X

(ej

)02

2

1/T4

4

(2

mT)6

8

mT

现象：频谱混叠2.5.2采样原理与理论

采样周期T的影响164

奈奎斯特采样定理：假设带限连续信号x(t)的傅里叶变换X(j

)满足：

X(j

)=0，|

|

m

则当且仅当采样频率

s=2

/T

2

m

时，x(t)可以由其采样的样本序列

x[n]=x(nT)，n=0，

1，

2，

唯一确定。称：

m（rad/sec）——为奈奎斯特频率；

而2

m（rad/sec）——为奈奎斯特采样率。T（秒）——为采样周期；

——为采样频率

——过采样2.5.2采样原理与理论采样定理要求采样频率满足条件：165例如图所示信号采样系统中，x(t)=3cos2t+4sin5t。

（1）确定奈奎斯特采样率；（2）当采样周期T取如下值时，画出信号xs(t)的频谱函数Xs(j

)；

（A）T=0.2

；（B）T=0.1

秒。x(t)xs(t)解：所以奈奎斯特采样率:

smin

=2

m=10rad/sec

或者

Fsmin

=

smin

/(2)=5/Hz；奈奎斯特采样周期：Tsmax

=2/

smin

=0.2秒采样分析与应用即x(t)的最高频率

m=5rad/sec166(2-A)T=0.2

秒Xre(j

)0

2

23

3

5

5Xim(j

)0

2

2j4

j4

5

5Xsre(j

)0

2

215155

51020

10128Xsim(j

)0

2

2j20

j205

51020

1015

s

=10rad/sec=2

m——临界采样采样分析与应用167(2-B)T=0.1

秒

s

=2/T=20rad/secXs(j

)0

2

23030j40

j405

51020

18221525Xre(j

)0

2

23

3

5

5Xim(j

)0

2

2j4

j4

5

5

——过采样采样分析与应用168例如图所示C/D转换器中，解：采样分析与应用C/Dxa

(t)x[n]=

xa(nT)T=Ts画出信号xa(t)和x[n]的频谱函数Xa(j

)和X(ej

)，设（A）T=/3；（B）T=

/5Xa(j

)0

2

2

/4

443/4169(A)T=/3秒

s=6rad/sec<

2

m——欠采样采样分析与应用X

(ej

)03/49/4

=TXs(j

)03/49/4

Xa(j

)0

2

2

/4

443/468102

170

——过采样采样分析与应用Xa(j

)0

2

2

/4

443/4(B)T=/5秒

s=10rad/sec>

2

mX

(ej

)05/415/4

5/415/4

2.5.3采样定理与连续信号的重构1711.奈奎斯特采样定理2.从采样信号重构带限连续信号——重构模拟滤波器——奈奎斯特采样率与奈奎斯特频率——时域插值重构——过采样，临界采样与欠采样——等效系统的脉冲响应不变性3.与模拟信号处理系统等效的离散系统172奈奎斯特采样定理——采样信号能复现原连续信号的条件：假设带限连续信号x(t)的傅里叶变换X(j

)满足：

X(j

)=0，|

|

m

则x(t)可以由其采样的样本序列

x[n]=x(nT)，n=0，

1，

2，

唯一确定的条件是：当且仅当采样频率

s

=2

/T

2

m

。称：

m（rad/sec）——为奈奎斯特频率；

而2

m（rad/sec）——为奈奎斯特采样率，记为

smin

。

——过采样——称为奈奎斯特采样定理173

——过采样

——临界采样

——欠采样显然：

奈奎斯特采样定理说明：

只有过采样条件下，才能从采样信号中恢复出原始连续信号；而临界采样时，由于连续信号的频谱因采样在边界发生混叠，一般从采样信号中不能恢复出原始连续