专题7.5 空间向量的概念与运算（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题7.5空间向量的概念与运算【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1空间向量的线性运算】 4【题型2空间共线向量定理的应用】 5【题型3空间向量数量积及其应用】 6【题型4空间向量基本定理及其应用】 6【题型5证明三点共线、四点共面】 7【题型6空间向量的坐标运算】 91、空间向量的概念与运算考点要求真题统计考情分析(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直2023年新高考I卷：第18题，12分2024年上海卷：第15题，5分空间向量与立体几何是高考的重点、热点内容，空间向量的概念与运算是空间向量与立体几何的基础.从近几年的高考情况来看，空间向量的概念与运算考查相对较少，常以选择题、填空题的形式考查，主要涉及空间向量的线性运算、数量积运算与空间向量基本定理等，难度较易.【知识点1空间向量的有关概念】1．空间向量的概念(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量【知识点2空间向量的线性运算】1．空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.2．共线向量定理(1)共线向量定理对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；②证明三点共线.【知识点3空间向量的数量积】1．空间向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空间向量夹角的计算求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．4．空间向量数量积的计算求空间向量数量积的步骤：(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入求解．【知识点4空间向量基本定理及其应用】1．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．2．用基底表示向量的步骤:(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量．3．证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.4．求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.5．求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．6．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．【知识点5空间向量的坐标运算】1．空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．2．空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3【方法技巧与总结】1．三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点.2．四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点.【题型1空间向量的线性运算】【例1】（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，化简AB−AD+CC1A．BD1 B．DB1 C．【变式1-1】（2024·上海·模拟预测）设A、B、C、D为空间中的四个点，则“AD=AB+AC”是“A、B、C、A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【变式1-2】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知四面体ABCD中，G是BD的中点，则CA+12A．AG B．CG C．BG D．CB【变式1-3】（23-24高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱ABCD−A1B1C1DA．AM=13C．AQ=14【题型2空间共线向量定理的应用】【例2】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+e2A．0 B．1 C．2 D．3【变式2-1】（23-24高二上·北京·期中）已知MA,MB是空间两个不共线的向量，MC=5A．MA,MC共线 B．C．MA,MB,MC共面【变式2-2】（23-24高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，已知点A0,0,1，B1,2,3，Cm,n,2，若向量AB与向量BC共线，则mA．0 B．12 C．1 D．【变式2-3】（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体ABCD中，E为AD的中点，G为平面BCD的重心．若AG与平面BCE交于点F，则AFAG=（A．12 B．23 C．34【题型3空间向量数量积及其应用】【例3】（2023·江苏淮安·模拟预测）在四面体ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，则AC⋅BD的值为（A．7 B．9 C．11 D．13【变式3-1】（2024·江西赣州·二模）已知球O内切于正四棱锥P−ABCD，PA=AB=2，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则QE⋅QF的取值范围为（A．[0,2] B．[4−23,2] C．[0,4−3【变式3-2】（2024·河南新乡·二模）已知圆锥MO的底面半径为3，高为1，其中O为底面圆心，AB是底面圆的一条直径，若点P在圆锥MO的侧面上运动，则PA⋅PB的最小值为（A．−94 B．−32 C．【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知圆锥SO的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则OP⋅OQ的取值范围为（A．−4,4 B．−4,4 C．−2,2 D．−2,2【题型4空间向量基本定理及其应用】【例4】（2023·福建福州·三模）在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若a=AF，b=CE，c=A．13a+13b+13【变式4-1】（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体O−ABC中，a=OA,b=OB,c=A．3 B．34 C．12 【变式4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为1的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1

A．54 B．34 C．52【变式4-3】（23-24高二上·湖北·开学考试）在四面体ABCD中（如图），平面ABD⊥平面ACD，△ABD是等边三角形，AD=CD，AD⊥CD，M为AB的中点，N在侧面BCD上（包含边界），若MN=xAB+yAC+z

A．若x=12，则MN∥平面ACD B．若z=0C．当MN最小时，x=14 D．当MN【题型5证明三点共线、四点共面】【例5】（23-24高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱ABCD−A1B1C

(1)当k=34时，试用AB,(2)证明：E,F,G,H四点共面；【变式5-1】（2024高二上·全国·专题练习）已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间9个点(如图)，并且OE=kOA,OF=kOB，(1)A,B,C,D四点共面；(2)AC//(3)OG=k【变式5-2】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱ABCD−A′B′C′D′的六个面都是平行四边形，点M在对角线A′(1)设向量AB=a，AD=b，AA′=c，用a、(2)求证：M、N、D′【变式5-3】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）已知a，b，c是空间中不共面的向量，若AB=2a−b+(1)若B,C,D三点共线，求m,n的值；(2)若A,B,C,D四点共面，求mn的最大值．【题型6空间向量的坐标运算】【例6】（2024·河南·模拟预测）已知空间向量a=1,2,0,b=(0,−1,1),c=(2,3,m)A．1 B．2 C．3 D．4【变式6-1】（2023·西藏日喀则·一模）已知向量a→=(−2,1,3)，b→=(−1,1,x)，若a与bA．2 B．52 C．213 【变式6-2】（2024·四川内江·模拟预测）已知a=(2,−2,−3)，b=(2,0,4)，则cos〈A．48585 B．−485【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）设A,B,C三点在棱长为2的正方体的表面上，则AB⋅AC的最小值为（A．−94 B．−2 C．−3一、单选题1．（2024·河北·模拟预测）如图，在四面体ABCD中，G为△ACD的重心，若BG=xAB+yAC+zA．−13 B．13 C．−2．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设x，y∈R,a=1,1,1,b=1,y,zA．22 B．0 C．3 D．3．（24-25高二上·上海·课后作业）设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知AB=2e1+ke2，BC=e1+3eA．-8 B．-4 C．-2 D．84．（2024·湖南长沙·一模）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AAA．10.5 B．12.5C．22.5 D．42.55．（2024·全国·模拟预测）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AP=AB+A．1 B．2 C．322 6．（2024·山东日照·二模）已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1，以正方体中心为球心的球O与正方体的各条棱相切，若点A．2 B．74 C．34 7．（2023·河南·模拟预测）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD，侧面A1ADD1都是正方形，且二面角A1−AD−B的大小为

A．3 B．5 C．7 D．38．（2024·江苏盐城·模拟预测）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，现有一阳马P−ABCD，PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=2，M为底面ABCD及其内部的一个动点且满足PM=5，则PM⋅BMA．[1−22,1+22] B．[−1,2] C．二、多选题9．（23-24高二下·全国·课后作业）如图所示，在正方体ABCD−A1BA．AB+BC+CCC．AB+BB1+10．（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是π3，M为A1C1与B1D1的交点．若AB=a，ADA．CM=−12C．BD1=11．（2024