高考总复习文数（北师大版）讲义第2章第01节函数概念及其表示

第一节函数概念及其表示考点高考试题考查内容核心素养分段函数2017·全国卷Ⅲ·T16·5分分段函数的应用及不等式求解数学运算2016·全国卷Ⅱ·T10·5分求函数定义域和值域数学运算2015·全国卷Ⅰ·T10·5分求函数值数学运算2015·全国卷Ⅱ·T13·5分求函数的解析式数学运算2013·全国卷Ⅰ·T12·5分不等式恒成立求参数的范围数学运算逻辑推理函数的定义域五年未考命题分析表示函数的解析法、图像法，分段函数以及函数与其他知识的综合问题是高考的热点，各种题型均有可能考查，难度中等偏上.1．函数与映射的概念函数映射两集合A，BA，B是两个非空数集A，B是两个非空集合对应关系f：A→B如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：(1)三个易误点①解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则；②易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数；③误把分段函数理解为几种函数组成．(2)对函数定义域的基本要求①开偶次方时要求被开方数非负；②分式分母不为零；③零次幂的底数不为零；④对数的真数大于零；⑤指数、对数的底数大于零且不等于1；⑥实际问题需考虑使题目自身有意义．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数是建立在其定义域到值域的映射．()(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．()(3)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．()(4)分段函数是由两个或几个函数组成的．()(5)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√2．(教材习题改编)各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图像的是()解析：选A因为垂直x轴的直线与函数y＝f(x)的图像至多有一个交点，故选A．3．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝－eq\f(1,x)C．y＝eq\f(2,x) D．y＝－eq\f(2,x)解析：选C设y＝eq\f(k,x)(k≠0)，则1＝eq\f(k,2)，∴k＝2.∴y＝eq\f(2,x).4．已知f(x＋1)＝x2－2x，则f(3)＝________.解析：令x＋1＝3，得x＝2，由f(x＋1)＝x2－2x可得f(3)＝4－4＝0.答案：0求函数的定义域[明技法]函数y＝f(x)的定义域[提能力]【典例】(1)(2018·长春质检)函数y＝eq\f(ln1－x,\r(x＋1))＋eq\f(1,x)的定义域是()A．[－1,0)∪(0,1) B．[－1,0)∪(0,1]C．(－1,0)∪(0,1] D．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f(x)的定义域是[－1,1]，则f(log2x)的定义域为________．解析：(1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,x＋1>0，,x≠0，))解得－1<x<0或0<x<1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)∵函数f(x)的定义域是[－1,1]，∴－1≤log2x≤1，∴eq\f(1,2)≤x≤2.故f(log2x)的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).答案：(1)D(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))[母题变式]将本例(2)变为：若函数f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则f(lgx)的定义域为______．解析：因为f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x≤1，故0≤x2≤1，所以1≤x2＋1≤2.因为f(x2＋1)与f(lgx)是同一个对应关系，所以1≤lgx≤2，即10≤x≤100，所以函数f(lgx)的定义域为[10,100]．答案：[10,100][刷好题]1．(2018·安庆模拟)若函数f(x)＝eq\r(2x2＋2ax－a－1)的定义域为R，则a的取值范围为________．解析：因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a答案：[－1,0]2．(金榜原创)函数f(x)＝eq\f(\r(1－|x－1|),ax－1)(a＞0且a≠1)的定义域为________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－|x－1|≥0，,ax－1≠0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,x≠0))⇒0＜x≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]求函数的解析式[明技法]求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(4)解方程组法：已知关于f(x)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)．[提能力]【典例】(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，则f(x)的解析式为________．(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x(3)(2018·合肥模拟)已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足3f(x)＋5feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(3,x)＋1，则函数f(x)的解析式为________．解析：(1)方法一(换元法)设t＝eq\r(x)＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)；代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配凑法)∵x＋2eq\r(x)＝(eq\r(x))2＋2eq\r(x)＋1－1＝(eq\r(x)＋1)2－1，∴f(eq\r(x)＋1)＝(eq\r(x)＋1)2－1(eq\r(x)＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＋5a＝17，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝7，))∴f(x)＝2x＋7.(3)令eq\f(1,x)代替3f(x)＋5feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(3,x)＋1中的x，得3feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋5f(x)＝3x＋1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3fx＋5f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝\f(3,x)＋1，①,3f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋5fx＝3x＋1，②))①×3－②×5得f(x)＝eq\f(15,16)x－eq\f(9,16x)＋eq\f(1,8).答案：(1)f(x)＝x2－1(x≥1)(2)2x＋7(3)f(x)＝eq\f(15,16)x－eq\f(9,16x)＋eq\f(1,8)[刷好题]1．如果feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于()A．eq\f(1,x) B．eq\f(1,x－1)C．eq\f(1,1－x) D．eq\f(1,x)－1解析：选B令eq\f(1,x)＝t，得x＝eq\f(1,t)，∴f(t)＝eq\f(\f(1,t),1－\f(1,t))＝eq\f(1,t－1)，∴f(x)＝eq\f(1,x－1).2．(2018·青岛模拟)奇函数f(x)在(0，＋∞)上的表达式为f(x)＝x＋eq\r(x)，则在(－∞，0)上f(x)的表达式为f(x)＝________.解析：设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－x＋eq\r(－x).又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x－eq\r(－x)，即x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－eq\r(－x).答案：x－eq\r(－x)分段函数[析考情]分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中低档题．[提能力]命题点1：分段函数求值问题【典例1】(2018·大同质检)设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\r(x)，x≥0，,2x，x＜0，))则f(f(－2))＝()A．－1 B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,2)解析：选C∵f(－2)＝2－2＝eq\f(1,4)＞0，则f(f(－2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1－eq\r(\f(1,4))＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，故选C．命题点2：分段函数与不等式的问题【典例2】(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,2x，x>0，))则满足f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))>1的x的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x≤0,0<x≤eq\f(1,2)，x>eq\f(1,2)三段讨论．当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋eq\f(1,2)>1，解得x>－eq\f(1,4)，∴－eq\f(1,4)<x≤0.当0<x≤eq\f(1,2)时，原不等式为2x＋x＋eq\f(1,2)>1，显然成立．当x>eq\f(1,2)时，原不等式为2x＋2x－eq\f(1,2)>1，显然成立．综上可知，x>－eq\f(1,4).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))命题点3：分段函数的图像与性质应用【典例3】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≤0，,lnx＋1，x>0.))若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()A．(－∞，0] B．(－∞，1]C．[－2,1] D．[－2,0]解析：选Dy＝|f(x)|的图像如图所示，y＝ax为过原点的一条直线，当|f(x)|≥ax时，必有k≤a≤0，其中k是y＝x2－2x(x≤0)在原点处的切线的斜率，显然，k＝－2.所以a的取值范围是[－2,0]．[悟技法]分段函数题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．(3)研究分段函数的性质可根据分段函数逐段研究其性质，也可根据选项利用特殊值法作出判断．[刷好题]1．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1－2，x≤1，,－log2x＋1，x>1，))且f(a)＝－3，则f(6－a)＝()A．－eq\f(7,4) B．－eq\f(5,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,4)解析：选A若a≤1，f(a)＝2a－1－2＝－3,2a－1＝－1(无解若a>1，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，a＝7,f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝eq\f(1,4)－2＝－eq\f(7,4).2．(2018·淄博质检)对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a－b≥1，,a，a－b<1.))设f(x)＝(x2－