寒假作业01三角形的相关线段-2024年八年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min完成时间：月日天气：寒假作业01三角形的相关线段1．三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．2．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．3．三角形的稳定性：当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．4．三角形的角平分线、中线和高线（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点之间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．1．给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【解析】（1）等边三角形是一种特殊的等腰三角形，正确；

（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误；

（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确；

综上所述，正确的结论有2个.故选B.2．下列说法中，①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．正确的是（

）A．① B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【解析】①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．所以正确的有

①．

故选A．3．下列尺规作图，能判断是△的边上的高的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A.所作图BC的垂线未过点A，故此项错误；B.所作图过点A作BC的垂线，垂足为D，故此项正确；C.所作图过点A作的线AD不垂直于BC，故此项错误；D.所作图仅为过点A的AB边上的垂线，不符合题意，故此项错误.故选B．4．如图，在△ABC中，点O是△ABC的重心，则AD为△ABC的（

）A．角平分线 B．高线 C．中线 D．垂直平分线【答案】C【解析】根据重心的定义：三角形三边中线的交点为三角形的重心，故选C.5．如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】∵AD是中线，∴，∵，，∴．故选B．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（

）A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线C．∠1＝∠2＝∠3 D．S△AEB＝S△EDB【答案】C【解析】A、∵AE＝DE，∴BE是△ABD的中线，故本选项不符合题意；B、∵BD平分∠EBC，∴BD是△BCE的角平分线，故本选项不符合题意；C、∵BD平分∠EBC，∴∠2＝∠3，但不能推出∠2、∠3和∠1相等，故本选项符合题意；D、∵S△AEB＝×AE×BC，S△EDB＝×DE×BC，AE＝DE，∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；故选C.7．下列是利用了三角形的稳定性的有_______个．①自行车的三角形车架；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条【答案】3【解析】①自行车的三角形车架，利用了三角形的稳定性；②校门口的自动伸缩栅栏门，利用了四边形的不稳定性；③照相机的三脚架，利用了三角形的稳定性；④长方形门框的斜拉条，利用了三角形的稳定性．故利用了三角形稳定性的有3个．故答案为：3．8．如果一个三角形的两边长分别为3、4，第三边最长且为偶数，则此三角形的第三边长是______．【答案】6【解析】根据三角形的三边关系，得第三边大于1，而小于7．又第三边最长且是偶数，则此三角形的第三边长是6．故答案为：6．9.如图，已知△ABC中，AB＝15，BC＝20.（1）画出△ABC的高AD和CE；（2）若AD＝5，求CE的长．【解析】（1）如图：（2）∵S△ABC=AD•BC=CE•AB，∴CE=.10．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．10【答案】B【解析】已知4条木棍的四边长分别为2、3、4、6；选2+3、4、6作为三角形，则三边长分别为5、4、6；54＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为6；选3+4、6、2作为三角形，则三边长分别为2、7、6；62＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；选4+6、2、3作为三角形，则三边长分别为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；选6+2、3、4作为三角形，则三边长分别为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立.综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．故选B．11．如图，△ABC中，点F在边AB上，点D为BC的中点，连接AD、CF相交于点E，若，，则（

）A． B．6 C． D．【答案】D【解析】连接，如图：∵为的中点∴，，∵，，∴，设，则，，∴，，则，解得，.故选D.12．如图，点为的重心，则的值是（）A． B． C． D．无法确定【答案】C【解析】如图,分别延长、、，交、、于点、、，因为G是三角形重心，所以、、是的中线，所以，即，同理，所以，即=1:1:1，故选C.13．若是△ABC的三边长，则化简的结果是________．【答案】2a【解析】∵a，b，c为三角形三边长，∴a+bc>0，bca＜0，则原式=a+bcb+a+c=2a，故答案为：2a．14．如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2……按此规律，倍长2021次后得到的△A2021B2021C2021的面积为_________．【答案】【解析】如图，连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等，可知△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等，所以，同理，依此类推，△A2021B2021C2021的面积为=72021S△ABC，∵△ABC的面积为1，∴△A2021B2021C2021的面积=72021．故答案为72021．15．八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲、李锐两家的直线距离不可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】以杨冲家、李锐家以及学校这三点来构造三角形，设杨冲家与李锐家的直线距离为a，则根据题意有：，即，当杨冲家、李锐家以及学校这三点共线时，或者，综上，a的取值范围为：，据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是1km，故选A．16．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．（1）如图1，在中，，，，，，则长为__________；（2）如图2，在中，，，则的高与的比是__________；（3）如图3，在中，（），点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值．【解析】（1）∵，，∴，∴，∵，，，∴；（2）根据题意得：，∴，∴；（3）∵，，，，∴，又，∴，即．17．（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分.（经验发展）（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图1，的边上有一点，请证明：；（结论应用）（2）如图2，的面积为1，，求的面积；（拓展延伸）（3）如图3，的边上有一点，为上任意一点，请利用上述结论，证明：；（迁移应用）（4）如图4，中，是的三等分点，是的中点，若的面积是1，请直接写出四边形的面积：_________________.【解析】（经验发展）如图1，过作于，

，，，即．（结论应用）如图2，连接，，，又，，，又的面积为1，的面积为12．（拓展延伸）如图3，是上任意一点，，是上任意一点，，，，即．（迁移应用）如图4，连接，是的三等分点，，是的中点，，设，则，，，，，．故答案为．18．（2023·河北·中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】在中，，∴，即，当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；当时，为等腰三角形，故选B．19．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（

）A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线【答案】D【解析】如图，∵由折叠的性质可知，∴AD是的平分线，故选D．20．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（

）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线【答案】B【解析】∵线段CD是△ABC的AB边上的高线，∴A错误，不符合题意；∵线段CD是△ABC的AB边上的高线，∴B正确，符合题意；∵线段AD是△ACD的CD边上的高线，∴C错误，不符合题意；∵线段AD是△ACD的CD边上的高线，∴D错误，不符合题意.故选B．21．（2021·湖南怀化·中考真题）如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（）A． B．AD一定经过的重心C． D．AD一定经过的外心【答案】C【解析】∵AD平分∠BAC，∴，故C正确；在△ABD中，由三角形三边关系可得，故A错误；由三角形的重心是三角形三条中线的交点，可知AD不一定经过的重心，故B选项错误；由三角形的外心是三角形三条边的中垂线的交点，可知AD不一定经过的外心，故D选项错误.故选C．22．（2023·吉林·中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是．【答案】三角形具有稳定性【解析】