2025届安徽省合肥新城高升学校数学高三上期末达标检测试题含解析

2025届安徽省合肥新城高升学校数学高三上期末达标检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数，若，则的值为（）A．1 B． C． D．2．已知全集U=x|x2≤4,x∈Z，A．-1 B．-1,0 C．-2,-1,0 D．-2,-1,0,1,23．在中，为边上的中线，为的中点，且，，则（）A． B． C． D．4．已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．5．设等差数列的前项和为，若，则（）A．10 B．9 C．8 D．76．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在，内的学生人数为（）A．800 B．1000 C．1200 D．16007．连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（）A． B． C． D．8．设且，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．9．在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．10．已知圆M:x2+y2-2ay=0a>0截直线x+y=0A．内切 B．相交 C．外切 D．相离11．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为A． B．C． D．12．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k的值为（） A．45 B．60 C．75 D．100二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．实数，满足约束条件，则的最大值为__________.14．在的二项展开式中，x的系数为________．（用数值作答）15．的展开式中，的系数为____________.16．记为数列的前项和.若，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）当时，求函数的值域；（2）的角的对边分别为且，，求边上的高的最大值.18．（12分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数，）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（l）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程：（2）若直线与曲线C相交于A，B两点，且．求直线的方程．19．（12分）已知函数，.（1）当时，讨论函数的零点个数；（2）若在上单调递增，且求c的最大值.20．（12分）设数阵，其中、、、．设，其中，且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”（、、、）．表示“将经过变换得到，再将经过变换得到、，以此类推，最后将经过变换得到”，记数阵中四个数的和为．（1）若，写出经过变换后得到的数阵；（2）若，，求的值；（3）对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不超过．21．（12分）已知函数，设的最小值为m.（1）求m的值；（2）是否存在实数a，b，使得，？并说明理由.22．（10分）山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级。参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩.举例说明.某同学化学学科原始分为65分，该学科C+等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C+等级.而C+等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为x，69-6565-58=70-x四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布ξ∼N(60,12（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B+，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；（ii）求物理原始分在区间(72,84)的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X表示这4人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X的分布列和数学期望.（附：若随机变量ξ∼N(μ,σ2)，则Pμ-σ<ξ<μ+σ=0.682

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由复数模的定义可得：，求解关于实数的方程可得：.本题选择D选项.2、C【解析】

先求出集合U，再根据补集的定义求出结果即可．【详解】由题意得U=x|∵A=1,2∴CU故选C．【点睛】本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合U和熟悉补集的定义，属于简单题．3、A【解析】

根据向量的线性运算可得,利用及，计算即可.【详解】因为,所以，所以，故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.4、A【解析】

利用双曲线：的焦点到渐近线的距离为，求出，的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．【详解】双曲线：的焦点到渐近线的距离为，可得：，可得，，则的渐近线方程为．故选A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.5、B【解析】

根据题意，解得，，得到答案.【详解】，解得，，故.故选：.【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.6、B【解析】

由图可列方程算得a，然后求出成绩在内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在内的学生人数.【详解】由频率和为1，得，解得，所以成绩在内的频率，所以成绩在内的学生人数.故选：B【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.7、D【解析】

先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有，从而求得其离心率.【详解】双曲线与互为共轭双曲线，四个顶点的坐标为，四个焦点的坐标为，四个顶点形成的四边形的面积，四个焦点连线形成的四边形的面积，所以，当取得最大值时有，，离心率，故选：D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.8、A【解析】项，由得到，则，故项正确；项，当时，该不等式不成立，故项错误；项，当，时，，即不等式不成立，故项错误；项，当，时，，即不等式不成立，故项错误．综上所述，故选．9、C【解析】

首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．【详解】取中点，由，可知：，为三棱锥外接球球心，过作平面，交平面于，连接交于，连接，，，，，，为的中点由球的性质可知：平面，，且．设，，，，在中，，即，解得：，三棱锥的外接球的半径为：，三棱锥外接球的表面积为．故选：.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.10、B【解析】化简圆M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r11、C【解析】

由题可得，解得，则，，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为，故选C．12、B【解析】

根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算．【详解】由题意，．故选：B.【点睛】本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、10【解析】

画出可行域，根据目标函数截距可求.【详解】解：作出可行域如下：由得，平移直线，当经过点时，截距最小，最大解得的最大值为10故答案为：10【点睛】考查可行域的画法及目标函数最大值的求法，基础题.14、-40【解析】

由题意，可先由公式得出二项展开式的通项，再令10-3r=1，得r=3即可得出x项的系数【详解】的二项展开式的通项公式为，r=0，1，2，3，4，5，令，所以的二项展开式中x项的系数为.故答案为：-40.【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.15、16【解析】

要得到的系数，只要求出二项式中的系数减去的系数的2倍即可【详解】的系数为.故答案为：16【点睛】此题考查二项式的系数，属于基础题.16、1【解析】

由已知数列递推式可得数列是以16为首项，以为公比的等比数列，再由等比数列的前项和公式求解．【详解】由，得，．且，则，即．数列是以16为首项，以为公比的等比数列，则．故答案为：1．【点睛】本题主要考查数列递推式，考查等比数列的前项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）.（2）【解析】

（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.（2）由题意利用余弦定理､三角形的面积公式､基本不等式求得的最大值，可得边上的高的最大值.【详解】解：（1）∵函数，当时，，.（2）中，，∴.由余弦定理可得，当且仅当时，取等号，即的最大值为3.再根据，故当取得最大值3时，取得最大值为.【点睛】本题考查降幂公式、两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式，所用公式较多，选用恰当的公式是解题关键，本题属于中档题．18、(1)见解析(2)【解析】

（1）将消去参数t可得直线的普通方程，利用x=ρcosθ，可将极坐标方程转为直角坐标方程．（2）利用直线被圆截得的弦长公式计算可得答案．【详解】（1）由消去参数t得（），由得曲线C的直角坐标方程为：（2）由得，圆心为（1，0），半径为2，圆心到直线的距离为，∴，即，整理得，∵，∴，，，所以直线l的方程为：．【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查分析能力与计算能力，属于基础题．19、（1）见解析（2）2【解析】

（1）将代入可得,令,则,设,则转化问题为与的交点问题,利用导函数判断的图象,即可求解；（2）由题可得在上恒成立,设,利用导函数可得,则,即,再设,利用导函数求得的最小值,则,进而求解.【详解】（1）当时,,定义域为,由可得,令,则,由,得；由,得,所以在上单调递增,在上单调递减,则的最大值为,且当时,；当时,,由此作出函数的大致图象,如图所示.由图可知,当时,直线和函数的图象有两个交点,即函数有两个零点；当或,即或时,直线和函数的图象有一个交点,即函数有一个零点；当即时,直线与函数的象没有交点,即函数无零点.（2）因为在上单调递增,即在上恒成立,设,则,①若,则,则在上单调递减,显然,在上不恒成立；②若,则,在上单调递减,当时,,故,单调递减,不符合题意；③若,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以,由,得,设,则,当时,,单调递减；当时,,单调递增,所以,所以,又,所以,即c的最大值为2.【点睛】本题考查利用导函数研究函数的零点问题,考查利用导函数求最值,考查运算能力与分类讨论思想.20、（1）；（2）；（3）见解析.【解析】

（1）由，能求出经过变换后得到的数阵；（2）由，，求出数阵经过变化后的矩阵，进而可求得的值；（3）分和两种情况讨论，推导出变换后数阵的第一行和第二行的数字之和，由此能证明的所有可能取值的和不超过．【详解】（1），经过变换后得到的数阵；（2）经变换后得，故；（3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共个，经过变换后第一行均变为、；含有且不含的子集共个，经过变换后第一行均变为、；同时含有和的子集共个，经过变换后第一行仍为、；不含也不含的子集共个，经过变换后第一行仍为、．所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为.若，则的所有非空子集中，含有的子集共个，经过变换后第一行均变为、；不含有的子集共个，经过变换后第一行仍为、．所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为．同理，经过变换后所有的第二行的所有数的和为．所以的所有可能取值的和为，又因为、、、，所以的所有可能取值的和不超过．【点睛】本题考查数阵变换的求法，考查数阵中四个数的和不超过的证明，考查类比推理、数