中考数学冲刺专题-几何动态及最值问题

中考数学冲刺专题…几何动态及最值问题

一、单选题

1.(2020.江阴模拟)如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接

CE,将线段CE绕点C逆时针旋转60。得到FC,连接DF.则在点E运动过程中，DF的最小值是

2.(2020.无锡模拟)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A

(12,0),B(8,6),C(0,6).动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点

A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动•设运动的时间

为t秒，作AG_LPQ于点G,则AG的最大值为()

A.V73B.C.争D.6

55

3.(2020・无锡模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知A(10,0),点P为线段OA上任意一点.在

直线y=上取点E,使PO=PE,延长PE到点F,使PA=PF,分别取OE、AF中点M、N,连

结MN,则MN的最小值是()

A.4.8C.5.4

4.（2020・宜兴模拟）如图，等边4ABC的边长为1,D,E两点分别在边AB,AC上，CE=DE,则

线段CE的最小值为（）

A.2—V3B.2V3—3D.店二1

5.（2020.南通模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=8,AD=17,折叠纸片使点B落在边AD上

的E处，折痕为PQ.当E在AD边上移动时，折痕的端点P,Q也随着移动.若限定P,Q分别在边

BA,BC上移动，则点E在边AD上移动的最大距离为（）

BQC

A.6B.7C.8D.9

6.（2020.无锡模拟）如图，正方形ABCD中，AB=4,E,F分别是边AB,AD上的动点，

AE=DF,连接DE,CF交于点P,过点P作PK//BC，且PK=2,若乙CBK的度数最大

时，则BK长为（）

c.2V10D.472

7.（2020•镇江模拟）如图，已知P是半径为3的。A上一点，延长AP到点C,使AC=4,以AC为

对角线作。ABCD,AB=4V3,G）A交边AD于点E,当。ABCD面积为最大值时，吩的长为

)

D

A.iitB.兀C.得兀D.3兀

8.（2020.泰兴模拟）如图，直线I与。。相切于点A,M是。。上的一个动点，MH±1,垂足为H.若

©0的半径为1,则MA-MH的最大值为（）

ABC

-1-J-I口.

9.（2020.如皋模拟）如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=3.E,F分别是AD,CD上的动点，EF=2.Q

是EF的中点，P为BC上的动点，连接AP,PQ.则AP+PQ的最小值等于（）

A.2B.3C.4D.5

10.（2019•丹阳模拟）如图，已知。C的半径为3,圆外一点。满足OC=5,点P为。C上

一动点，经过点。的直线I上有两点A，B,且OA=OB,ZAPB=90°,I不经过点C,则

AB的最小值（）

A.2B.4C.5D.6

11.（2020.鼓楼模拟）如图，^ABC中，ZBAC=45°,ZABC=60°,AB=4,D是边BC上的一个

动点，以AD为直径画。O分别交AB、AC于点E、F,则弦EF长度的最小值为（）

A.V3B.V6C.2V2D.2V3

12.（2020.张家港模拟）如图，已知A,B两点的坐标分别为（8,0）,（0,8）,点C,F分别是直线x=

-5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E,当AABE

面积取得最小值时，tan/BAD的值是（）

13.（2020.苏州模拟）如图，正方形ABCD的边长为1,点P为BC上任意一点（可与点B或C重

合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B，、C\D\则BB—CC+DD，的最小值是

)

14.（2020•无锡模拟）如图，正方形ABCD中，AB=2,E是中点，CD上有一动点

M,连接EM、BM,将4BEM沿着BM翻折得到4BFM.连接DF、CF,则DF+^FC

的最小值为（）

12

A.1B.|C.1D.

T

二、填空题

15.（2020.苏州模拟）如图，AB是半。O的直径，点C在半。O上，AB=5cm,AC=4cm.D是BC

上的一个动点，连接AD,过点C作CELAD于E,连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值

16.（2020.扬州模拟）已知点A、B是半径为2的。0上两点，且/.BOA=120。，点M是

O0上一个动点，点P是AM的中点，连接BP,则BP的最小值是.

17.（2020•昆山模拟）如图，已知在4ABC中，AB=AC=13,BC=I0,点M是AC边上任意一点，连

接MB,以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB,连接MN,则MN的最小值是

18.（2020•南京模拟）如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是A边上一点，且AE=遍,

点F是边BC上的任意一点，把4BEF沿EF翻折，点B的对应点为G,连接AG,CG,则四边形

19.（2020・徐州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8，点E在AD边上，且4E:E0=

1：3,动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作EF，PE,交射线BC于点F,设

M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为.

20.（2020.苏州模拟）如图，折线4B—BC中，AB=3,BC=5,将折线AB-BC绕点A按

逆时针方向旋转，得到折线AD-DE，点B的对应点落在线段BC上的点D处，点C的对应点落

在点E处，连接CE,若CE上BC,贝tan^EDC=

B

21.（2020.扬州模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（1,V3）,B（2,0）,C点在x轴上运动，

过点O作直线AC的垂线，垂足为D.当点C在x轴上运动时，点D也随之运动.则线段BD长的最大

值为.

22.（2020・镇江模拟）如图,在RtAABC中，乙4cB=90。,4。=10,BC=5，将直角三角板的直角顶

点与AC边的中点P重合，直角三角板绕着点P旋转，两条直角边分别交AB边于M,N，则

MN的最小值是.

23.（2020•宜兴模拟）如图，已知。O的半径是2,点A,B在。O上，且NAOB=90。，动点C在。

O上运动（不与A,B重合），点D为线段BC的中点，连接AD,则线段AD的长度最大值

是•

24.（2020.太仓模拟）如图所示，等边△ABC的边长为4,点D是BC边上一动点，且CE=BD,连

接AD,BE,AD与BE相交于点P,连接PC.则线段PC的最小值等于.

25.（2020•惠山模拟）在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=4.如图,将直角顶点B放在原点,

点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到

达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为.

26.（2020•淮安模拟）如图，正方形ABCD的边长为2,E为BC上一点，且BE=1,F为AB边上的

一个动点，连接EF,以EF为底向右侧作等腰直角&EFG,连接CG,则CG的最小值

27.（2020.江阴模拟）如图，等边aAOB,点C是边A。所在直线上的动点，点D是x轴上的动点,

在矩形CDEF中，CD=6,DE=V3,则OF的最小值为.

28.（2020•灌南模拟）如图，在AABC中，715=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB

相切的动圆与CA,CB分别相交于点P,Q,则线段PQ长度的最小值是.

29.在等边aABC中，AB=4,点P是BC边上的动点，点P关于直线AB,

则线段MN长的取值范围是

三、综合题

30.（2021.泰州模拟）如图,在。ABCD中，AB=5,BC=10,sinB=1，点P以每秒2个单位长度

的速度从点B出发，沿着B-C-D-A的方向运动到点A时停止，设点P运动的时间为ts.

⑴连接AC,判断aABC是否是直角三角形，试说明理由;

⑵在点P运动的过程中，若以点C为圆心、PC长为半径的。C与AD边相切，求t的值;

⑶在点P出发的同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿着C-D-A的方向

运动，当P、Q中的一点到达终点A时，另一点也停止运动.求当BPJ_CQ时t的值.

31.（2021.扬州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是AD边上的动点，将矩形

(1)如图1,求证：ZDEAr=2ZABE;

(2)如图2,若:点4恰好落在BD上，求tan/ABE的值；

(3)若AE=2,求S”，CB.

(4)点E在AD边上运动的过程中，Z4CB的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段

AE的长；若不存在，请说明理由.

32.(2020.无锡模拟)在综合与实践课上，老师组织同学们以“三角形纸片的旋转”为主题开展数学活

动.如图1,现有矩形纸片ABCD,AB=8cm,AD=6cm.连接BD,将矩形ABCD沿BD剪开，得到

△ABD和4BCE.保持4ABD位置不变，将4BCE从图1的位置开始，绕点B按逆时针方向旋转，

旋转角为a(0*a<360。).在4BCE旋转过程中，边CE与边AB交于点F.

(1)如图2,将图1中的4BCE旋转到点C落在边BD上时，CF=;

(2)继续旋转aBCE,当点E落在DA延长线上时，求出CF的长；

(3)在4BCE旋转过程中，连接AE,AC,当AC=AE时，直接写出此时a的度数及AAEC的

面积.

33.(2020.常州模拟)如图，XABC中，乙4cB=90。,BC=6,ZC=8.点E与点B在AC的同

侧，且4E_L力C.

(1)如图1,点E不与点A重合，连结CE交AB于点P.设AE=x,AP=y，求y关于x的函

数解析式，写出自变量x的取值范围；

(2)是否存在点E,使APAE与AABC相似，若存在，求AE的长；若不存在，请说明理

由；

(3)如图2,过点B作BD1AE,垂足为。.将以点E为圆心，ED为半径的圆记为。E.

若点C到0E上点的距离的最小值为8,求。E的半径.

34.(2020•无锡模拟)如图1,已知：在矩形ABCD中，AB=3百cm,AD=9cm,点O从A点出

发沿AD以acm/s的速度移向点D移动，以。为圆心，2cm长为半径作圆，交射线AD于M(点M

在点O右侧).同时点E从C点出发沿CD以6cm/s的速度移向点D移动，过E作直线EF〃BD

交BC于F,再把4CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为点G.若在整过移动过程中4EFG

的直角顶点G能与点M重合.设运动时间为t(0<K3)秒.

(1)求a的值；

(2)在运动过程中,

①当直线FG与。。相切时，求t的值;

②是否存在某一时刻t,使点G恰好落在。0上（异于点M）?若存在，请写出t的值；若不存

在，请说明理由.

35.（2020.无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6,0）,点B的坐标为（0,2）,

点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒

1cm的速度移动•设移动的时间为t秒.

备用图

（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，^ABO与以点0、M、N为顶点的三角形相

似？

（2）若直线y=x与AOMN外接圆的另一个交点是点C.

①试说明：当0<t<2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON=V2OC;

②试探究：当t>2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由.

36.（2020•南通模拟）

（1）如图，已知aABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE〃BC,DE=|BC.

（2）利用第（1）题的结论，解决下列问题：

①如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF〃BC,FE=1

(AD+BC)

AD

EF

BC

②如图，在四边形ABCD中，ZA=90°,AB=3V3,AD=3,点M,N分别在边AB,BC

上，点E,F分别为MN,DN的中点，连接EF,求EF长度的最大值.

37.（2020♦南京模拟）如图①，在△ABC中，ZC=90°,AC=15,BC=20,经过点C的。。与△

ABC的每条边都相交.（DO与AC边的另一个公共点为D,与BC边的另一个公共点为E,与AB边

的两个公共点分别为F、G.设。O的半径为r.

根据题意，仅用圆规在图①中作出一个满足条件的OO,并标明相关字母；

（2）（初步探究）

求证：CD2+CE2=4r2;

（3）当r=8时，贝IJCD2+CE2+FG2的最大值为;

（4）（深入研究）

直接写出满足题意的r的取值范围；对于范围内每一个确定的r的值，CD2+CE2+FG2都有最大

值，每一个最大值对应的圆心。所形成的路径长为.

38.（操作体验）

如图①，已知线段AB和直线1,用直尺和圆规在1上作出所有的点P,使得/APB=30。，如图

②，小明的作图方法如下:

B

①

第一步：分别以点A,B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点0;

第二步：连接0A,0B;

第三步：以。为圆心，OA长为半径作。O,交1于P1,P2;

所以图中Pm即为所求的点.（1）在图②中，连接P遇,PiB,说明NAPS=30°

（方法迁移）

（1）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P,使得NBPC=45。，（不写做法，保

留作图痕迹）.

⑵已知矩形ABCD,BC=2.AB=m,P为AD边上的点，若满足NBPC=45。的点P恰有两个，

则m的取值范围为.

（3）已知矩形ABCD,AB=3,BC=2,P为矩形ABCD内一点，且NBPC=135。，若点P绕点A

逆时针旋转90。到点Q,则PQ的最小值为.

39.

（1）如图1,点A在。0上，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形ABC,使

得点B、C都在。。上.

(2)已知矩形4BCC中，AB=4,BC=m.

①如图2,当m=4时，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形AEF,使得点E

在边BC上，点F在边CD±；

②若在该矩形中总能作出符合①中要求的等边三角形AEF,请直接写出m的取值范围.

40.（2020.建邺模拟）（概念认识）

若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符

合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆.

如图①，点P是锐角^ABC的边BC上一点，以P为圆心的半圆上的所有点都在aABC的内部

或边上.当半径最大时，半圆P为边BC关联的极限内半圆.

（1）（初步思考）若等边aABC的边长为1,则边BC关联的极限内半圆的半径长为.

（2）如图②，在钝角AABC中，用直尺和圆规作出边BC关联的极限内半圆（保留作图痕迹，

不写作法）.

（3）（深入研究）如图③，ZAOB=30°,点C在射线OB上，OC=6,点Q是射线OA上一动

点.在△QOC中，若边OC关联的极限内半圆的半径为r,当仁工2时，求OQ的长的取值范围.

图3

答案解析部分

1.【答案】D

【考点】垂线段最短；全等三角形的判定与性质；含30。角的直角三角形

【解析】【解答】解：如图，取AC的中点G,连接EG,

•••旋转角为60。，

.-.ZECD+ZDCF=60°,

又,:ZECD+ZGCE=ZACB=60°,

.\ZDCF=ZGCE,

,/AD是等边AABC的对称轴，

1

Bc

-

2

，CD=CG,

XVCE旋转至IJCF,

.\CE=CF,

在ZXDCF和AGCE中，

(CE=CF

Z£»CF=ZGCE,

(CD=CG

.二△DCF丝△GCE(SAS),

，DF=EG,

根据垂线段最短，EG_LAD时，EG最短，即DF最短,

此时•；NCAD=1x60°=30°,AG=1AC=1x6=3,

.•.EG=1AG=1x3=1.5,

.,.DF=15

故答案为：D.

【分析】取AC的中点G,连接EG,由等边三角形和轴对称的性质和旋转的性质可得CD=CG,

CE=CF,用边角边可证△DCFgAGCE,所以DF=EG,根据垂线段最短，EGLAD时，EG最短，

即DF最短，结合已知由30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得EG的值，则DF=EG可求解.

2.【答案】B

【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形

【解析】【解答】解：连接OB,交PQ于点D,连接AD,过点D作DF_LOA于点F,

VOC=6,BC=8,

•,-OB=VOC2+BC2=10.

♦.•BQ〃OP,

.".△BDQ^AODP,

.BD_BQ_2t_2

'"0D~OP~3t~3

：.OD=6.

：CB〃OA,

.•.ZDOF=ZOBC.

在RtZ\OBC中，sinZOBC=oc_6_3,cosZOBC=BC_8=i

OB~10~5,OB-TO

OF=OD«cosZOBC=6x1=学,DF=OD«sinZOBC=6x|=18

T

.•.点D的坐标为（等,当），

：.AF=OA-OF=12-=2^4=^-

••AD=y/AF24-DF2=

VAG1PQ

••AG4AD=­g—

...当G与D重合时AG的最大，最大值为萼，

故答案为：B.

【分析】连接0B,交PQ于点D,过点D作DFJ_OA于点F,可求出点D的坐标与t无关，由Rt

△ADG中AG<AD可得AG的最大值为AD,此题得解.

3.【答案】A

【考点】等腰三角形的性质；解直角三角形

【解析】【解答】解：•；OP=PE,M为0E的中点，

・・・PM10E,乙EOP=乙OEP

vPA=PF,N为AF的中点,

・•・PNLAF,乙FPN=Z.NPA,

vZ.APF=Z.EOP4-乙OEP=乙FPN+乙NPA

乙FPN=乙EOP=4MEP

・・・（MEP+乙EPM=90°

・・・乙NPF+匕EPM=90°

连接MN,则AMNP为直角三角形,

3

tanz.EOP=-r

4

□□

设。P=p,则MP-gp,AP=10—p,tanzWPA=彳

4

PN=衣(10—p)

J

34

.・・MN2=PN2+MP2=Qp)2+[-(10-p)]2

25M/V2=25P2-320p+1600

2264576

:.MN，=p"——g-p+64=(p-+-25

当「=:时，MN?最小值为密

:.MN的最小值为左=4.8

故答案为：A.

【分析】分别证明PMLOE,PN1AF,ZMPN=90°,易得AMNP为直角三角形，设OP=

p,则MP=|p,AP=10-p,由勾股定理得MN?=p2一等p+64,从而可得出MN2最

小值为塞，进一步得出结论.

4.【答案】B

【考点】垂线段最短；等边三角形的性质；解直角三角形

【解析】【解答】如图所示：当EDJ_AB此时DE=EC最短，

设EC=DE=x,则AE=l-x,

VAABC是等边三角形，

,,.ZA=60°,

则sin60*曜=胆=/_

AE21-x

解得:x=2解-3.

故答案为：B.

【分析】利用垂线段最短的性质结合锐角三角函数关系以及等边三角形的性质求出即可.

5.【答案】A

【考点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换(折叠问题)

【解析】【解答】解：如图1,

当点P与点A重合时，根据翻折对称性可得AE=AB=8,

图2

当点C与点Q重合时，根据翻折对称性可得

QE=BC=17,

在RtAECD中，EC2=DE2+CD2,

即172=(17-AE)2+82,

解得:AE=2,

所以点A，在BC上可移动的最大距离为8-2=6.

故答案为：A.

【分析】分别利用当点P与点A重合时，以及当点C与点Q重合时，求出AE的极值进而得出答案.

6.【答案】A

【考点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；正方形的性质；切线的性质

【解析】【解答】,・,正方形ABCD中，AD=CD,ZA=ZCDA=90°,

VAE=DF,

.,.△ADE^ADCF(SAS),

AZADE=ZDCF,

VZADE+ZCDE=90°,

AZDCF+ZCDE=90°,

AZCPD=90°,

.,•点P在以CD为直径的半圆上运动，

取CD的中点O,过。作OMLCD,且点M在CD的右侧，MO=2,

连接OP,KM,过M作MNJ_BC,与BC的延长线交于点N,

♦・，PK〃BC,BC±CD,

APK1CD,

APK//OM,PK=OM=2,

.,・四边形POMK是平行四边形，

・・'CD=AB=4,

：.OP=JCD=2,

・・・OP=OM,

・・・四边形POMK是菱形，

・••点K在以M为圆心、，半径为2的半圆上运动,

当BK与。M相切时，NCBK最大,

.\ZBKM=90°,

•/BM=>JBN2+MN2=V62+22=2V10,

，BK=VFM2-22=6,

故答案为：A.

【分析】根据全等三角形的性质得到/ADE=NDCF,求得/CPD=90。，得到点P在以CD为直径的

半圆上运动，取CD的中点O,过。作OMJ_CD,且点M在CD的右侧，MO=2,连接OP,KM,

推出四边形POMK是菱形，于是得到点K在以M为圆心，半径为2的半圆上运动，当BK与。M

相切时，/CBK最大，根据勾股定理即可得到结论.

7.【答案】B

【考点】平行四边形的性质；弧长的计算

【解析】【解答】解：如图，作CFLAB于F.

S平行四边形ABCD=AB・CF,

：AB是定值，

ACF值最大时，平行四边形ABCD的面积最大，

VCF<AC,

.•.当ACJ_AB时，平行四边形ABCD的面积最大,

此时tanNACB==V3,

.•.NACB=60°,

VBC^AD,

.\ZDAC=ZACB=60°,

...肝的长=端第=71,

故答案为：B.

【分析】作CF1.AB于F,因为S平行四娜ABCD=AB・CF,AB是定值，推出CF值最大时，平行四边

形ABCD的面积最大，因为CFWAC,推出当AC_LAB时，平行四边形ABCD的面积最大，再求出

ZDAC的大小即可解决问题.

8.【答案】A

【考点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：作直径AB,连接BM,

.*.ZAMB=90o,

•••直线1与。。相切于点A,

.•.BAL,

，BA〃MH,ZMHA=90°,

.\ZBAM=ZAMH,

.AB_AM

•••0O的半径为1,

.\AB=2,

?.MA2=2MH,

1MX2,

11

.\MA=MH=MA-^MA2=一/(M/-l)2+

.♦.MA-MH的最大值是1,

故答案为：A.

【分析】作直径AB,连接BM,得到△ABMsaMAH,利用弱=解得到MA=MH=MA-

\MA2=-l(MX-l)2+1,根据函数的性质即可得到答案.

9.【答案】C

【考点】矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】解：如图所示,

作点A关于BC的对称点A\连接AP,DQ,

1

-

则AP=A'P,DQ2

.•.AP+PQ=A'P+PQ,

.•.当A，，P,Q,D在同一直线上时，AP+PQ的最小值等于AD-DQ的长，

在RtAAA'D中，A'D=y/AA'2+AD2=V42+32=5,

/.A'D-DQ=5-1=4,

.•.AP+PQ的最小值等于4.

故答案为：C.

【分析】作点A关于BC的对称点A，，连接AP,DQ,则AP=AP,DQ=1EF=1,当A:P,Q,

D在同一直线上时，AP+PQ的最小值等于AD-DQ的长，求得AD的长，即可得至UAP+PQ的最小

值.

10.【答案】B

【考点】等腰三角形的性质；直线与圆的位置关系

【解析】【解劄解：连接OP,PC,0C,

...当点O,P,C三点共线时，0P最小，最小值为2,

V0A=0B,ZAPB=90°,

，AB=20P,

当o,P,C三点共线时，AB有最小值为20P=4,

故答案为：B.

【分析】连接OP,PC,0C,由OP+PCNOC可求得OP的最小值，再根据等腰直角三角形的性质可

得AB=20P,则AB的最小值可求解。

11.【答案】B

【考点】垂线段最短；含30。角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理

【解析】【解答】解：作AHJ_BC于H,OG1EFTG,连接OE、OF,如图，

VZEOF=2ZEAF=2x45°=90°,OE=OF,

而OE=OF,

/.EF=V2OE,

当OE的值最小时，EF的值最小，

此时AD最小，AD的最小值为AH的长，

在RtaABH中，

VsinZABH=^=sin60°,

.•.AH咚4B=2V3，

,；.OE的最小值为V3,

.•.EF的最小值为V3xV2-V6.

故答案为：B.

【分析】作AH_LBC于H,OG_LEF于G,连接OE、OF,如图，利用圆周角定理得/EOF=90。，利

用含30度的直角三角形三边的关系得到EF=2EG=V3OE,所以当。。的半径最小时，EF的值最

小，此时AD最小，AD的最小值为AH的长，然后计算出AH的长就可得到EF的最小值.

12.【答案】D

【考点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形

【解析】【解答】解：如图，设直线x=-5交x轴于K.由题意KD=JCF=5,

.••点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆,

.••当直线AD与。K相切时，4ABE的面积最小,

♦.•AD是切线，点D是切点，

AD±KD,

VAK=13,DK=5,

AD=12,

VtanZEAO=OE_DK

OA=AV

.OE_5

,-_8_=T2

：.OE=10

T

・・・AE=5。产+。屋=华,

作EHJ_AB于H.

SAABE=2•AB*EH=SAAOB-SAAOE,

AEH=这,

3

'AH=y/AE2-EH2=学，

742

.•.tan/BAD=器=逐,

~T~

故答案为：D.

【分析】如图，设直线x=-5交x轴于点K.由题意KD=④CF=5,推出点D的运动轨迹是以K为圆

心，5为半径的圆，推出当直线AD与。K相切时，4ABE的面积最小，作EHLAB于H,求出

EH,AH即可解决|可题.

13.【答案】B

【考点】正方形的性质

【解析】【解答】解：连接AC,DP.

・・・四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1,

•**AB=CD,S正方形ABCD=1,

..11

SAABP+SAACP=SAABC=11

VSAADP=2S正方形ABCD=22S正方形ABCD二2

SAADP+SAABP+SAACP=1,

AP・BB，+1AP«CCf+1AP«DD(=|AP«(BB4CC+DD，)=1,

则BB'+CC'+DD'=A,

*/1<AP<V2,

.•.当P与C重合时，有最小值V2.

故答案为：B

【分析】连接AC,DP,根据正方形的性质，可得AB=CD,S正方形ABCD=1,SAADP=|S正方形ABCD=

3,SAABP+SAACP=SAABC=:Sjt方形ABCD=g,从而可得SAADP+SAABP+SAACP=1,利用三角形的面积公

式可得BB4CC+DD』卷,当AP最大时BB4CC+DD，的值最小，所以当P与C重合时，有最小

值，据此解答即可.

14.【答案】A

【考点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换(折叠问题)；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：如图所示：取BG=1,连接FG.

VBC=2,E是BC的中点,

.\BE=1.

由翻折的性质可知BF=BE=1.

VBF=1,BC=2,GB=1,

.•.BF2=BOGB.

.BF_BG

''CB='BF-

又,.•NFBG=NFBC,

.".△BGF^ABFC,

.FG=BF=1

"'TC~BC~2'

，FG=1FC.

22

.•.DF+JFC=DF+FG>DG-DC+CG=亚+了=|.

.♦.DF+1FC的最小值为1.

故答案为：A.

【分析】取BG=J,连接FG,首先证明△BGFS/XBFC,从而可得到FG=1FC,然后依据三

角形的三边关系可知DF+1FC=DF+FG>DG,然后依据勾股定理求得DG的值即可.

15.【答案】V13-2

【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理

【解析】【解答】解：如图，连接BO,BC,

VCE1AD,

.\ZAEC=90°,

.••在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，

VAB是直径，

.,.ZACB=90o,

在RtZSABC中，VAC=4,AB=5,

22

•*-BC=〃B2_\(72=V5-4=3，

22

在RtZ\BCO'中,JBC'2+CO?=V2+3=V13>

VO,E+BE>O,B,

当O，、E.B共线时,BE的值最小，最小值为OB-O，E=Vi?-2.

故答案为：V13-2.

【分析】连接BO，、BC,在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O'E、B共

线时，BE的值最小，最小值为OB-O，E,利用勾股定理求出BO,即可解决问题.

16.【答案】V7-1

【考点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：由题意知弦AM的中点P在以AO为直径的。C上，连接BC与OC的交点为

P,此时BP的值最小,

作CELAB于E,作ODLAB于D,

的半径为2,

.\OA=OB=2,OC=CA=OP=1,

VZAOB=120°,

.\ZOAB=ZOBA=30°,

CE=；ca=4,

AE=AC-cos30°=~,

AD=AO-cos30°=V3,

AB=2AD=2V3,

BE=4B-4E=28一呼=呼，

根据勾股定理：BC=y/CE2+BE2=+（挛^=用，

:,BP=BC-CP=小一\.

故答案为：V7-1.

【分析】由题意知弦AM的中点P在以AO为直径的。C上，连接BC与。C的交点为P,此时BP

的值最小，利用特殊角的三角函数以及勾股定理即可求解.

17.【答案】普

【考点】垂线段最短；等腰三角形的性质；平行四边形的性质

【解析】【解答】解：设MN与BC交于点O,连接A0,过点O作OHLAC于H点,

•••四边形MCNB是平行四边形，

，0为BC中点，MN=2MO.

VAB=AC=13,BC=10,

AAOIBC,0C=5,

在RtAAOC中，利用勾股定理可得

AO=V/1C2-CO2=V132-52=12・

利用面积法：AOxCO-ACxOH,

即12x5=13xOH,解得0H=瞿.

当MO最小时，则MN就最小，。点到AC的最短距离为0H长，

所以当M点与H点重合时，M0最小值为0H长是瑞.

所以此时MN最小值为20H=符.

故答案为：黑.

【分析】设MN与BC交于点0,连接A0,过点0作OH,AC于H点，根据等腰三角形的性质和

勾股定理可求A0和0H长，若MN最小，则M0最小即可，而。点到AC的最短距离为0H长，

所以MN最小值是20H.

18.【答案】吗心

【考点】三角形的面积；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：如图，连接AC,

在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,

ZB=ZD=90°,

•\AC=5,

VAB=3,AE=V3,

•••点F是边BC上的任意位置时，点G始终在AC的下方,

设点G到AC的距离为h,

S四边形AGCD=SAACD+SAACG

11

=3x4+Ax5h,

=6+|h.

要使四边形AGCD的面积的最小，即h最小.

•.•点G在以点E为圆心，BE为半径的圆上，且在矩形ABCD的内部.

过点E作EHLAC,交圆E于点G,此时h最小.

-4---------------------------D

------

在RtZxABC中，sinZBAC=斐=卷，

在RtaAEH中，AE=V3,

sinZBAC=器=『

解得EH=AE=婆，

EG=BE=AB—AE=3—V3,

，h=EH-EG=等-(3-6)=竽-3.

•'.S四边形AGCD=6+擀x(2^-3)

=9悟3_9右一3

~~2=~2~

故答案为：见|心.

【分析】根据矩形ABCD中，AB=3,BC=4,可得AC=5,由AE=b可得点F是边BC上的任

意位置时，点C始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h,要使四边形AGCD的面积的最小,

即h最小.所以点G在以点E为圆心，BE为半径的圆上，且在矩形ABCD的内部.过点E作EH_L

AC,交圆E于点G,此时h最小.根据锐角三角函数先求得h的值，再分别求得三角形ACD和三角

形ACG的面积即可得结论.

19.【答案】9

【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：如图所示：过点M作GHJ.AD,

*：AD||CB,GH1AD,

：.GH1BC,

在AEGM和〉FHM中，

2MGE=乙MHF=90°

△GME=Z-FMH,

EM=MF

•••△EGM三△FHM(A4S),

・,•点M的轨迹是一条平行于BC的线段,

当P与A重合时，B&=AE=2,

当P与B重合时，

ZF2+乙EBF、=90°,NBEFi+乙EBF、=90°,

ZF2=乙EBF、,

■:(EF、B=(EF'F?,

△EF1BEF1F2,

・"1_E"1即2=6

^~EF\~F\F2，即6-F1F2，

♦,尸192=18,

・・・M1M2是△EFiF2的中位线，

.1

・・MiM2=②％々=9-

故答案为:9.

【分析】过点M作GH1AD,证明△EGMBAFHM,得到MG=MH,从而可知：点M的轨迹

是一条平行于BC的线段，然后证明AEF\B〜AEg,求得尸1&=18,最后根据三角形中位

线定理可得答案.

20.【答案】学

【考点】勾股定理；矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质

【解析】【解答】解：如图：连接AC、AE,过点A作AFLBC于F,作AHLEC于H.

VCE1BC,AF1BC,AH1EC

二四边形AFCH是矩形，

/.AF=CH,

,/将折线AB-BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD-DE

...AD=AB=3、BC=DE=5,ZABC=ZADE

.,.△ABC^AADE

.\AC=AE,

VAC=AE,AB=AD,AF1BC,AH1EC,BF=DF,CH=EH

：.AB2=AF2+BF2,DE2=DC2+CE2

：.9=4尸2+BF2,25=(5-2BF)2+^AF2

9

-A12

，BF=5F=5

2497

EC=2CH=24F=g,CD=5-2x］气

pr24

...tanzEDC=舒=3

故答案为：2

【分析】连接AC、AE,过点A作AFLBC于F,作AH_LEC于H.再证明四边形AFCH是矩形，可

得AF=CH,由旋转的性质可得AD=AB=3、BC=DE=5,ZABC=ZADE,则△ABCgZSADE,即

AC=AE;再由等腰三角形的性质和勾股定理可得BF、AF、EC、CD的长，最后根据正切定义解答

即可.

21.【答案】V3+1

【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；特殊角的三角函数值

【解析】【解答】解：：0E垂直于直线AC,垂足为D,

作AO的中点E,

...点D在以E为圆心，A0长为直径的圆上（如图1所示），

连接BE并延长交圆E于点D,此时BD最长(如图2所示),

VA(1,V3),

0A-Jl2+(V3)2=2且tanz■40B=苧=遮，

：.^AOB=60°,

VB(2,0),

，OB=2,

：.^ABO为等边三角形，

：E是AO的中点，

；.ED=OE=1AO=1,

，BE=y/BO2-OE2=A/22-12=V3.

.*.BD=BE+ED=V3+1.

故答案为：V3+1.

分析：根据圆周角定理的推论可得出点D在以AO中点E为圆心，AO为直径的圆上，连接BE并延

长交圆E于点D,此时BD最长，利用等边三角形的性质即可求出BD的最大值.

22.【答案】2V5

【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质

【解析】【解答】解：•••NC=90。，AC=10,BC=5,

•*.AB=yjAC2+BC2=5V5,

,Z(PM-PN)2>0,当PM=PN时，(PM-PN)2值最小为0,

MN2=PM2+PN2N2PM・PN,

当PM=PN时，PM?+PN2有最小值为2PM«PN,

，MN为最小值时，PM=PN,

过P点作PDLAB于点D,如图所示,

贝ljMN=2PD,

VZA=ZA,ZADP=ZACB=90°,

AAAPD^AABC,

.PD_APa.,PD_S

'-BC=AB'即T一丽’

APD=V5,

，MN=2PD=2V5.

故答案是：2V5.

【分析】当PM=PN时，MN的值最小，过P点作PDLAB于点D,先证明△APDsaAB