查补重难点08 解直角三角形及其应用（解析版）

查补重难点08.解直角三角形及其应用考点一：解直角三角形及其性质1.锐角三角函数的性质当0°＜∠A＜90°时，sinA随∠A的增大而增大；cosA随∠A的增大而减小；tanA随∠A的增大而增大。2.解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。3.在解直角三角形的过程中，常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；4）sin2A+cos2A=1。4.三角函数特殊值（熟记）：sin30°=；sin45°=；sin60°=；cos30°=；cos45°=；cos60°=；tan30°=；tan45°=1；tan60°=题型1.求锐角三角函数值在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比，但最重要的还是要以记清三角函数特殊角的函数值为前提。根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形。例1．（2023·江苏·中考真题）如图，在中，，点D在边AB上，连接CD．若，，则．

【答案】/【分析】由题意可设，则，，在中求得，在中求出答案即可．【详解】解：，，设，则，，在中，由勾股定理得：，在中，．【点睛】本题考查求锐角三角函数，解题关键是根据比值设未知数，表示出边长从而求出锐角三角函数值．变式1．（2022·江苏扬州·中考真题）在中，，分别为的对边，若，则的值为．【答案】【详解】解：如图所示：在中，由勾股定理可知：，，，，，，，即：，求出或（舍去），在中：，故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在中，，，．变式2．（2023·江苏盐城·模拟预测）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为的正方形可以制作一副如图所示的七巧板，现将这副七巧板在拼成如图所示的造型恰好放入矩形中其中点，，，都在矩形边上，若，则的正切值为．【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形；在图1中，根据正方形的性质求得正方形的对角线长为4，再根据七巧板的构造求出有关的线段的长，于是在图2中，即可求得，，再证明，得，进而证明，则，得，，由，得，所以，可求得，再由求出的正切值即可．【详解】解：如图1，四边形是矩形为的正方形，，，，由七巧板的构造可知，图形①、②、③、④、⑤都是等腰直角三角形，图形⑥是正方形，，，，如图2，四边形是矩形，，，由图1可知，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．题型2.网格图与锐角三角函数在网格中求锐角三角形函数值，关键是利用锐角边上的格点找到直角三角形或构造直角三角形来进行求解。当锐角所在的三角形是直角三角形时，根据锐角三角函数的定义就可以直接求解;若锐角所在的三角形是非直角三角形时，常需要通过作垂线、平移线段等方式构造直角三角形，并辅以等积法求关键线段来解决。例1．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则．

【答案】【分析】取的中点，连接，先根据勾股定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据正弦的定义即可得．【详解】解：如图，取的中点，连接，

，，又点是的中点，，，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理与网格问题、等腰三角形三线合一、正弦，熟练掌握正弦求解方法是解题关键．变式1．（2024·江苏连云港·一模）如图是的网格，每个格子都为正方形．点A，B，C，D，E均为格点，线段交于点O．则．【答案】/【分析】本题考查锐角三角函数、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质，通过平行线的性质将转化成，再构造直角三角形是解题的关键．根据“两条直线平行，同位角相等”得出，再连接，构造直角三角形求解即可．【详解】解：由题可得，，∴，连接，则，又∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，故答案为：．变式2．（2023·江苏连云港·二模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点O，A，B，C都在格点上，若，则的值为．【答案】【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理,通过添加辅助线将转化为是解题的关键．连结，，根据勾股定理及其逆定理,证明，得到，在中，，得到，可得，再计算的值，即得答案．【详解】如图，连结，，由已知得，，，，，，在中，，，，，在中，，，．故答案为：1．题型3.解直角三角形解直角三角形的基本策略：1）有“弦”用“弦”；2）无“弦”用“切”；3）宁“乘”毋“除”；4）化“斜”为“直”；5）取“原”避“中”。注意：当已知条件为斜三角形的边和角时，往往需要通过适当添加辅助线构造出直角三角形，进而转化为解直角三角形的问题。例1.（2023·江苏扬州·中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是(

)A．1 B．2 C．6 D．8【答案】C【分析】如图，作，，则，，，，由是锐角三角形，可得，即，然后作答即可．【详解】解：如图，作，，交的延长线于点E

∴，，∴，，∵是锐角三角形，∴，即，∴满足条件的长可以是6，故选：C．【点睛】本题考查了余弦，锐角三角形．解题的关键在于确定的取值范围．变式1．（2023·江苏苏州·一模）如图，点O是正五边形的中心，于点H．则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了正多边形与圆，连接，根据题意可得，结合一个角的余弦值的定义可得，据此即可求解．【详解】解：连接，∵点O是正五边形的中心，∴，∵于点H，∴，，∵，∴，故选：C．变式2.（2023年山东省济宁市中考数学真题）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则．

【答案】【分析】过点A作于H，根据等边三角形的性质可得，再由，可得，再根据，可得，从而可得，利用锐角三角函数求得，再由，求得，即可求得结果．【详解】解：过点A作于H，∵是等边三角形，∴，，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明是解题的关键．题型4.锐角三角函数的性质当0°＜∠A＜90°时，sinA随∠A的增大而增大；cosA随∠A的增大而减小；tanA随∠A的增大而增大。例1.（2023·重庆·统考模拟预测）若，则下列说法不正确的是（

）A．随的增大而增大B．cos随的减小而减小C．tan随的增大而增大D．0<sin<1【答案】B【分析】如图，作半径为的，均为直径，都在上，利用锐角三角函数的定义分析可得答案．【详解】解：如图，作半径为的，均为直径，都在上，由显然，＜，而＜，所以当时，随的增大而增大，故A正确；同理可得：当时，cos随的减小而增大，故B错误；当时，tan随的增大而增大，故C正确；当，当点逐渐向移动，边逐渐接近，逐渐接近当时，0<sin<1，故D正确；故选B．【点睛】本题考查的是锐角的正弦，余弦，正切的增减性，掌握利用辅助圆理解锐角三角函数的增减性是解题的关键．变式1．（2023·四川成都·校考模拟预测）比较大小：（填“”“”）．【答案】【分析】把余弦化成正弦,再通过角度大小比较正弦值的大小即可．【详解】∵．在锐角范围内，随的增大而增大，∴，∴．故答案为：＜．【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，利用正弦余弦的关系进行大小比较即可．变式2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（

）范围内．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°【答案】B【分析】，，由此判断得到正确答案．【详解】解：∵，，∴∴故选：【点睛】本题考查根据锐角三角函数的数值，判断角度的取值范围，牢记特殊三角函数值是关键．题型5.新定义问题锐角三角函数新定义问题主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可利用初中数学知识证明。若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。图1图22）余弦定理：如图2，；；．3）正弦面积公式：如图2，.4）和（差）、二倍角角公式：;.;..例1.（2023年湖南省娄底市中考数学真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．【详解】解：∵，，∴即，，，故选：A．【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉是解题的关键．变式1．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则．【答案】【分析】先由求出，把变为，再由计算即可．【详解】解：如图，在中，∵，∴．

∵，∴．∵为锐角，∴．∵∴．故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键．变式2．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：在中，、、所对的边分别为、、，求证：．证明：如图1，过点作于点，则：在中，CD=asinB在中，根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．(1)证明：如图2，过点作于点，在中，，在中，，，；(2)解：如图3，过点作于点，，，，在中，又，即，，．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．考点二：锐角三角形函数的实际应用1.测量物体的高度（距离）的常见模型：（1）利用水平距离测量物体高度（双直角三角形）解题方法：（已知条件：，求高m）这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解。（2）测量底部可以到达的物体高度解题方法：1）已知测量仪高m，水平距离n，角α，求高h；2）已知水平距离n，角α，角β，求高h=h1+h2；这两种模型种可结合水平距离和相应角度，用正切值解题。（3）测量底部不可到达的物体的高度注意：1）在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一条边），可求出其余的三个未知元素（知二求三）；2）已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定。2.解直角三角形实际应用的一般步骤：（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．题型1.与视角相关的实际应用视角：视线与水平线的夹角叫做视角。仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角。俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角。例1．（2023·江苏·中考真题）根据以下材料，完成项目任务，项目测量古塔的高度及古塔底面圆的半径测量工具测角仪、皮尺等测量

说明：点为古塔底面圆圆心，测角仪高度，在处分别测得古塔顶端的仰角为，测角仪所在位置与古塔底部边缘距离．点在同一条直线上．参考数据项目任务（1）求出古塔的高度．（2）求出古塔底面圆的半径．【答案】（1）古塔的高度为；（2）古塔底面圆的半径为．【分析】（1）延长交于点，则四边形是矩形，设，则，根据，解方程，即可求古塔的高度；（2）根据，，即可求得古塔底面圆的半径．【详解】解：（1）如图所示，延长交于点，则四边形是矩形，∴，

依题意，，，设，则，在中，，解得：，∴古塔的高度为．（2），，∴．答：古塔的高度为，古塔底面圆的半径为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．变式1．（2023·江苏南通·中考真题）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，根据题意可得，在中，，，在中，，，．故则这栋楼的高度为．故选：B．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．变式2．（2022·江苏连云港·中考真题）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点处测得阿育王塔最高点的仰角，再沿正对阿育王塔方向前进至处测得最高点的仰角，；小亮在点处竖立标杆，小亮的所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，，．（注：结果精确到，参考数据：，，）(1)求阿育王塔的高度；(2)求小亮与阿育王塔之间的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由，解方程即可求解．（2）证明，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）在中，∵，∴．∵，∴．在中，由，得，解得．经检验是方程的解答：阿育王塔的高度约为．（2）由题意知，∴，即，∴．经检验是方程的解答：小亮与阿育王塔之间的距离约为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键．题型2.与方位角相关的实际应用方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角。例1.（2022·江苏南京·中考真题）如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且、之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且、之间的距离为，一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔位于北偏东方向上，这时，处距离港口有多远（结果取整数）？（参考数据：，，，，，）

【答案】处距离港口约【分析】过点作的延长线于点，在中，求得，在中，求得，根据，即可求解．【详解】解：过点作的延长线于点，在中，，∵，，，∴，在中，∵，，∴∴∴处距离港口约．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．变式1．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，一艘轮船在处测得灯塔在北偏西的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶100海里到达处，测得灯塔在北偏西的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为海里．【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．过点作，垂足为，根据题意可得：，，从而利用三角形内角和定理可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，由题意得：，，，在中，海里，（海里），（海里），在中，（海里），海里，轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为海里，故答案为：．变式2.（2023年山东省潍坊市中考数学真题）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）

【答案】千米【分析】过点作于点，由垂线段最短可得的长即为所求，先求出，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得．【详解】解：如图，过点作于点，由垂线段最短可知，的长即为所求，

由题意得：，千米，，，，，是等腰直角三角形，，在中，千米，千米，千米，在中，千米，答：输油管道的最短长度是千米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．题型3.与坡角相关的实际应用坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．例1．（2023·江苏连云港·中考真题）渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥处出发，沿着坡角为的山坡向上走了到达处的三龙潭瀑布，再沿坡角为的山坡向上走了到达处的二龙潭瀑布．求小卓从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度为多少米？（结果精确到）（参考数据：）

【答案】【分析】过点作，垂足为，在中，根据求出，过点作，垂足为，在中，根据求出，进而求解即可．【详解】过点作，垂足为．在中，，∴．过点作，垂足为．

在中，，∴．∵，∴．答：从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度约为．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，熟练利用锐角三角函数关系是解题关键．变式1．（2023年湖北省中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）

【答案】斜坡的长约为10米【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形，在中，，．∴．∵，∴在中，（米）．答：斜坡的长约为10米．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．变式2．（2024·江苏苏州·一模）如图，某学习小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点在同一水平线上）．(1)求从点到点的过程中上升的高度；(2)求大树的高度（结果保留根号）．【答案】(1)从点到点的过程中上升的高度为米(2)大树的高度为米【分析】（1）过点作，如图所示，由坡度比，设，，根据勾股定理列方程求解即可得到答案；（2）过点作，如图所示，在和中，由三角函数定义列方程求得相关线段关系，再由数形结合，根据代值求解即可得到答案．【详解】（1）解：过点作，如图所示：斜坡的坡比为（点在同一水平线上），，设，，从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，，在中，，解得，从点到点的过程中上升的高度为米；（2）解：过点作，如图所示：四边形是矩形，则，在中，，，则，解得；在中，，，则，解得；由（1）知，，，则，，，，即，解得，大树的高度为米．【点睛】本题考查测高问题，涉及坡比定义、勾股定理、矩形判定与性质、正切函数值定义、俯角仰角定义、解直角三角形及二次根式运算等知识，熟记相关定义，数形结合，掌握解直角三角形的实际运用是解决问题的关键．题型4.其他的实际应用问题例1．（2023·江苏镇江·中考真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．如图1是俯视图，分别表示门框和门所在位置，M，N分别是上的定点，，的长度固定，的大小可变．

(1)图2是门完全打开时的俯视图，此时，，，求的度数．(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置．（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）(3)在门开合的过程中，的最大值为______．（参考数据：）【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）在中，利用锐角三角函数求得结果；（2）以点O为圆心、的长为半径画弧，与以点F为圆心、的长为半径的弧交于点，连接得出门的位置；（3）当最大时，的值最大，过点O作MN的垂线段，当这条垂线段最大时，最大，即当垂线段为OM即垂足为M时，最大，故的最大值为．【详解】（1）解：在中，，∴．∴．（2）门的位置如图1中或所示．（画出其中一条即可）

（3）如图2，连接，过点O作，交的延长线于点H．∵在门的开合过程中，在不断变化，∴当最大时，的值最大．由图2可知，当与重合时，取得最大值，此时最大，∴的最大值为．故答案为：【点睛】本题考查了旋转、尺规作图、锐角三角函数等知识，准确作图，数形结合是解题的关键．变式1．（2023·江苏苏州·中考真题）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：）

【答案】点离地面的高度升高了，升高了．【分析】如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案．【详解】解：如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，∴，

∵，，∴四边形是平行四边形，∴，当时，则，此时，，∴，当时，则，∴，而，，∴点离地面的高度升高了，升高了．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．变式2．（2022·江苏镇江·中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是，高为．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径、以及、组成的轴对称图形，直线为对称轴，点、分别是、的中点，如图2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角，发现并证明了点在上．请你继续完成长的计算．参考数据：，，，，，．【答案】42cm【分析】连接，交于点．设直线交于点，根据圆周角定理可得，解，得出，进而求得的长，即可求解．【详解】解：连接，交于点．设直线交于点．∵是的中点，点在上，∴．在中，∵，，∴，．∵直线是对称轴，∴，，，∴．∴．∴，．在中，，即，则．∵，即，则．∴．∵该图形为轴对称图形，张圆凳的上、下底面圆的直径都是，,∴．∴．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．课后训练：1．（2023·安徽·校联考模拟预测）在中，所对的边分别为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了三角形内角和，含角的直角三角形的特征，三角形函数的应用，根据三角形内结合题意可得，再根据，得到，利用角的正弦即可得出结论．【详解】解：，又，即，可得，所对的边分别为，，，，，，故选：B．2．（2023·上海静安·校考一模）如果，那么与的差（

）．A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定【答案】D【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案．【详解】解：当时，，，，；当时，，，，；当，，，，，综上所述，与的差不能确定，故选：D．【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在之间（不包括和），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论．3．（2024·山东济南·模拟预测）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．我们已经知道，，角的三角函数值，现在来求的值：如图，在中，，延长使，连接，得．设，则，AB=，所以，类比这种方法，计算的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了正切值的求解勾股定理，在中，，延长使，连接，得，设，则，根据进行求解即可．【详解】解：如图，在中，，延长使，连接，得，设，则，，在中，，故选：B．4．（2023·浙江温州·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H．当，，时，的长为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据菱形性质和解直角三角形求出，，继而求出再根据，即可求．【详解】解：∵在菱形中，，，∴，又∵，∴，，∴，，∴，，∴∵，∴在中，，∵，∴，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质，根据菱形性质和解直角三角形求出、、是解题关键．5．（2023·江苏无锡·二模）如图，在点处，看建筑物顶端的仰角为，向前走了6米到达点即米，在点处看点的仰角为，则的长用三角函数表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出是等腰三角形，在中，利用的正弦即可表示出的长度．【详解】解：，，，，由题可知，为直角三角形，在中，，即：，，故选：D．【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出是等腰三角形．6．（2023·浙江·一模）图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】作辅助线如图，由题意可得，，解直角三角形求出，然后根据即可得出答案.【详解】解：如图，作直线，交双翼闸机于点E、F，则，由题意可得，，在直角三角形中，∵，∴，∴；故选：D.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键.7．（2023·浙江·模拟预测）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】要使△ABC的面积S=BC•h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大．【详解】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，如图所示，∵AD⊥BC，∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，在Rt△BOD中，sinθ=，cosθ=，∴BD=sinθ，OD=cosθ，∴BC=2BD=2sinθ，AD=AO+OD=1+cosθ，∴S△ABC=AD•BC=•2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）．故选：D．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．8．（2023年山东省淄博市中考数学真题）如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，则立柱的高为米（结果精确到米）．

科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）

【答案】19.2米【分析】如图，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则四边形为矩形，可得米，，．于是．解，得，从而（米），解中，（米）．于是（米）．【详解】解：如图，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则四边形为矩形，∴米，．∴．∴．

中，，（米）．∴（米）．中，，∴（米）．∴（米）．故答案为：19.2米．【点睛】本题考查解直角三角形；添加辅助线，构造直角三角形、矩形，从而运用三角函数求解线段是解题的关键．9．（2023·湖南株洲·校联考三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是．【答案】/【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，圆的概念及性质，构造直角三角形是解题的关键．连接并延长交于点，连接，则，利用勾股定理求解的长，再解直角三角形可求解．【详解】解：连接并延长交于点，连接，则，故答案为：．10．（2023·陕西西安·校考模拟预测）国际数学大会是全世界数学家的大聚会．如图是某次大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，充分肯定了我国在数学方面的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．如图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形中较小的锐角为θ，那么的值等于．

【答案】【分析】根据已知可得大正方形的边长和小正方形的边长，再设三角形的长直角边为a,短直角边为b,从而可得a与b的关系式，进而可得a与b的长度，最后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴大正方形的边长是5，小正方形的边长是1，设三角形的长直角边为a，短直角边为b，由题意得：解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，数学常识，勾股定理的证明，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及勾股定理是解题的关键．11．（2023·重庆·中考模拟预测）在直角中，，，的角平分线交于点，且，斜边的值是______．【答案】【分析】CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由此可证明四边形CEDF为正方形，再利用，根据直角三角形的性质可求出，再根据锐角三角函数和勾股定理得到，求出的值即可．【详解】解：如图，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，∴DE＝DF，，又，∴四边形CEDF为正方形，，，在中，，∵，，，，，，即，又，，∵在中，，∴，∵在中，，∴，，，，即（舍负），故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．12．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则．

【答案】5【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得，，可得，，设，则，利用勾股定理可得，进而可得结果．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，根据折叠可知，可知，，则，在中，，则，∴，则，设，则，在中，，即：，解得：，即：，故答案为：5．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键．13．（2023·江苏盐城·中考真题）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段表示“铁军”雕塑的高，点，，在同一条直线上，且，，，则线段的长约为m.（计算结果保留整数，参考数据：）

【答案】【分析】由，可得，可推得，由三角函数求出即可．【详解】∵，，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴解得，故答案为：．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出的长是解题关键．14．（2023·江苏南通·二模）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，此时处与处的距离为海里(结果保留根号)．【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用；根据题意得出，从而知，由，根据，即可求出，．【详解】解：过作，垂足为，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，，海里，，．在中，由勾股定理，得海里，海里，海里，故答案为：．15．（23-24八年级上·浙江温州·期中）图1为手机支架实物图，图2为它的侧面示意图，“型”托架用于放置手机，支架两端分别与托架和底座（其厚度忽略不计）相连，支架端可调节旋转角度，已知，，支架调整到图2位置时，，．因实际需要，现将支架端角度调整为，如图3所示，则点的位置较原来的位置上升高度为．【答案】【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，如图2，过点作交于点，过点作交于点，过点作于点，如图3，延长交于点,在和中分别算出和，求出点到的距离为，再在中，算出，再作差即可求得．【详解】解：如图2，过点作交于点，过点作交于点，过点作于点，如图3，延长交于点旋转前如图3：∵，，，∴，∵,，∴，∵，∴在和中，，，故点到的距离为：，旋转后如图3：∵，∴，∵，∴，在中，，故，点的位置较原来的位置上升高度为:，故答案为：16．（2023年四川广元中考真题数学试题）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．(1)已知α，β两角和的余弦公式为：，请利用公式计算；(2)求风叶的长度．

【答案】(1)(2)风叶的长度为米【分析】（1）根据题中公式计算即可；（2）过点A作，连接，，先根据题意求出，再根据等腰对等边证明，结合第一问的结论用三角函数即可求，再证明四边形是矩形，即可求出．【详解】（1）解：由题意可得：，∴；（2）解：过点A作，连接，，如图所示，

由题意得：米，，∴米，，∵三片风叶两两所成的角为，∴，∴，又∵，∴，∴，∴米，∵，，∴，由（1）得：，∴米，∴米，∵，，，∴四边形是矩形，∴米，∵三片风叶两两所成的角为，且三片风叶长度相等，∴，∴米，∴风叶的长度为米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键．17．（2024·江苏徐州·一模）如图1所示的是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分组成，图是它的简易平面图．小明想知道灯管距地面的高度，他在地面处测得灯管的仰角为，在地面处测得在灯管仰角为，并测得，已知点、、在同一条直线上，请你帮小明算出灯管距地面的高度(结果精确到,参考数据：，，)【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，设，在中，得出，，根据列出方程，解方程，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，设，∵在中，∴，∵∴在中，∴解得：（经检验是原方程的解）答：灯管距地面的高度约为18．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）

【答案】堤坝高为8米，山高为20米．【分析】过B作于H，设，，根据勾股定理得到，求得，过B作于F，则，设，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过B作于H，

∵坡度i为，∴设，，∴，∴，∴，过B作于F，则，设，∵．∴，∴，∵坡度i为，∴，∴，∴（米），∴（米），答：堤坝高为8米，山高为20米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正