2024-2025学年湖南省部分学校高三（上）联考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省部分学校高三（上）联考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|ln|x|=0}，B={m,m2}.若B⊆AA.−1 B.0 C.1 D.22.已知a，b∈R，则“a2>b2”是“eA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知a+bi(a,b∈R)是关于x的方程x2+2x+c=0(c∈R)的一个虚根，则a=(

)A.−2 B.2 C.−1 D.14.设θ是锐角，cos(θ+π4)=cosA.2+1 B.2+12 5.已知函数f(x)=−x2+ax,x<0ex−ax,x≥0，在A.[1,+∞) B.[0,1] C.[−1,1] D.(−∞,1]6.已知点A(−1,1)，B(1,−1)，C(3,3).动点P满足|PA|2+|PB|2+|PCA.32 B.42−1 7.存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有(

)A.f(e|x|)=x3 B.f(x|x|)=x8.已知A，B是双曲线C：x218−y29=1的左、右顶点，PA.122 B.152 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=x3−ax，则A.∀a∈R，f(x)为奇函数 B.当a<0时，f(x)单调递增

C.∃a∈R，使得f(x)恰有一个极值点 D.当a>0时，f(x)存在三个零点10.已知正项等比数列{an}的前n项积为Tn，且m，n，pA.若m+n=2p，则aman=ap2 B.若aman=ap211.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，P为平面ABCD上的动点，设直线A1P与底面ABCD所成的角为α，直线EP与底面ABCD所成的角为β，平面PA1D1A.若α=β，则点P在圆上 B.若γ=θ，则点P在双曲线上

C.若α=θ，则点P在抛物线上 D.若β=θ，则点P在直线上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设向量a=(1,2)，b=(2,3)，则(λa+b)⊥13.已知x，y，a>0，且x+4yx+a214.已知函数f(x)=cos2x⋅sin2x在[a,b]四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且b2+c2=5a2．

(1)若sinB=62sinC16.(本小题15分)

如图，A1，A2分别为椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点，P为第一象限C上一点，且|PO|=|PA2|，过点P的直线l与C有唯一的公共点P．

(1)求l的方程；

(2)过原点O作直线l的平行线与椭圆C交于17.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形，E，F分别为PA，PC的中点，且平面PBD⊥平面BEF．

(1)证明：PA=PC；

(2)若PB=2PD，当四棱锥P−ABCD的体积最大时，求平面PAB与平面BEF18.(本小题15分)

若数列{cn}共有m(m∈N∗,m≥3)项，∀i(i∈N∗,i≤m)都有lnci+lncm+1−i=R，其中R为常数，则称数列{cn}是一个项数为m的“对数等和数列”，其中R称为“对数等和常数”.已知数列{an}是一个项数为m的对数等和数列，对数等和常数为R．

(1)若m=9，a1=1，a5=4，求a9的值；

(2)定义数列{bn}满足：bi=am+1−i19.(本小题17分)

已知函数f(x)=axlogax(a>0，且a≠1)．

(1)当a=e时，证明：f(x)为增函数；

(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2．

(i)求a的取值范围；

(ii)设f(x)参考答案1.A

2.D

3.C

4.C

5.B

6.C

7.B

8.A

9.ABD

10.ACD

11.AC

12.−1313.[4,+∞)

14.2π315.解：(1)由sinB=62sinC及正弦定理得：b=62c，即2b=3c，

又因为b2+c2=5a2，所以b=3a，c=2a，

从而cosA=b2+c2−a22bc=5a216.解：(1)A2(2,0)，由|PA2|=|PO|，得(xP−2)2+yP2=xP2+yP2，解得xP=1，

代入椭圆方程得yP=32，所以P(1,32)，设直线l：y=k(x−1)+32，

联立y=k(x−1)+32x24+y23=1，消去y并整理得(3+4k2)x2+(12k−8k2)x+(4k2−12k−3)=0，

因为直线l与C有唯一的公共点P，

所以Δ=(12k−8k2)2−4(3+4k2)(4k2−12k−3)=0，

整理得4k2+4k+1=0，解得k=−17.解：(1)证明：设AC∩BD=O，OP∩EF=Q，过点D作DH⊥BQ于H，

由平面PBD⊥平面BEF，且平面PBD∩平面BEF=BQ，DH⊂平面PBD，

∴DH⊥平面BEF，

∵EF⊂平面BEF，∴DH⊥EF；

∵E，F分别为PA，PC的中点，∴EF/​/AC，∴DH⊥AC．

由底面ABCD为正方形可知AC⊥BD，

∵DH∩BD=D，DH，BD⊂平面PBD，

∴AC⊥平面PBD，∵PO⊂平面PBD，∴AC⊥PO，

∵O为AC的中点，∴PA=PC；

(2)设AB=2，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，

建立空间直角坐标系，如图，

则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(−1,0,0)，D(0,−1,0)，

由(1)可知，点P在yOz平面内，设P(0,y0,z0)，由PB2=2PD2，

即(y0−1)2+z02=2(y0+1)2+2z02，即(y0+3)2+z02=8，

当P−ABCD的体积最大时，z0=22，

此时P(0,−3,22)，则E(12,−3218.解：(1)根据已知可得R=lna5+lna5=ln16，又因为R=lna1+lna9，

因此lna9=R=ln16，所以a9=16．

(2)(i)证明：根据题意bi=am−i+1ai，那么bm+1−i=aiam+1−i，所以bibm+1−i=1，

因此lnbi+lnbm+1−i=0，所以数列{bn}是一个项数为m的对数等和数列．

19.(1)证明：当a=e时，f(x)=exlnx，f′(x)=ex(lnx+1x)，

设p(x)=lnx+1x，则p′(x)=1x−1x2=x−1x2，

当0<x<1时，p′(x)<0，当x>1时，p(x)>0，

所以p(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

故p(x)≥p(1)=1>0，所以f′(x)>0，所以f(x)为增函数．

(2)解：(i)设a=et(t≠0)，则f(x)=1tetxlnx，

则f′(x)=etxlnx+etxtx=etxx(xlnx+1t)．

设g(x)=xlnx，则g′(x)=1+lnx，

当x∈(0,1e)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

当x∈(1e,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

所以g(x)min=g