19.2.2 证明举例-证明线段和角相等 同步练习

19.2.2证明举例—证明线段和角相等一、解答题1．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在正方形中，点、分别在、边上，且，联结、．求证：．2．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在已知△ABC中，AB=AC，点在BC上，过点的直线分别交AB于点E，交AC的延长线于点，且BE=CF．求证：DE=DF．3．（2022·上海·八年级单元测试）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE4．（2022·上海·八年级单元测试）如图，AB=AC，E是AD上的一点，∠BAE=∠CAE．求证：∠EBD=∠ECD．5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度数．6．（2019·上海外国语大学附属大境初级中学八年级阶段练习）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠C=∠E．

19.2.2证明举例—证明线段和角相等（解析版）一、解答题1．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在正方形中，点、分别在、边上，且，联结、．求证：．【答案】详见解析【分析】根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据已知条件可证≌，即可得出.【详解】解：∵四边形是正方形，∴，．在与中，，∴≌（SAS）．∴．【点睛】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形四边相等，四角相等都等于90°是解题关键.2．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在已知△ABC中，AB=AC，点在BC上，过点的直线分别交AB于点E，交AC的延长线于点，且BE=CF．求证：DE=DF．【答案】证明见解析【分析】过点作交于，根据平行的性质可得，再根据等边对等角可得，进而得到，再根据等角对等边可得BE=GE，从而得到GE=CF，利用AAS证得，根据全等三角形的性质可得DE=DF.【详解】证明：过点作交于，∴，∵∴∴∴．又∵∴．∵在和中，∴（AAS）．∴．【点睛】本题考查了等腰三角形、全等三角形的判定与性质，构造出全等三角形是解答本题的关键.3．（2022·上海·八年级单元测试）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE【答案】证明见详解．【分析】根据“ASA”证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论.【详解】证明：在△ABE和△ACD中，∵，△ABE≌△ACD(ASA)，∴AE=AD，∴BD=AB–AD=AC-AE=CE．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．4．（2022·上海·八年级单元测试）如图，AB=AC，E是AD上的一点，∠BAE=∠CAE．求证：∠EBD=∠ECD．【答案】见解析【分析】先证明△ABD≌△ACD，得到∠ADB=∠ADC，BD=CD，再证明△BDE≌△CDE，问题得证．【详解】证明：在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD，∴∠ADB=∠ADC，BD=CD，在△BDE和△CDE中∴△BDE≌△CDE，∴∠EBD=∠ECD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理并根据题意灵活选择方法是解题关键．5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度数．【答案】135°【分析】先设∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x，再结合三角形内角和等于180°，可得关于x的一元一次方程，求出x，从而可分别求出∠A，∠ABC，∠ACB，在△ABD中，利用三角形内角和定理，可求∠ABD，再利用三角形外角性质，可求出∠BHC．【详解】解：∵在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，故设∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x．∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∴∠A=3x=45°．∵BD，CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，∴在△ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠A=180°-90°-45°=45°，∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°．【点睛】本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质．解题关键是熟练掌握:三角形三个内角的和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．6．（2019·上海外国语大学附属大境初级中学八年级阶段练习）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠C=∠E．【答案】见解析.【分析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根据“SAS”可判断△ABC≌△ADE，根据全等的性质即可得到∠C=∠E．【详解】∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE，