2024-2025学年新教材高中数学第十一章立体几何初步11.1空间几何体11.1.3多面体与棱柱学案新人教B版必修第四册

PAGE11.1.3多面体与棱柱必备学问·自主学习导思1.什么是多面体?多面体由哪些基本元素构成?2.什么是棱柱?如何表示?如何分类?3.各种棱柱之间有何关系?4.棱柱有哪些主要性质?一、多面体1.多面体及有关概念定义由若干个平面多边形所围成的封闭几何体图及相关概念面:围成多面体的各个多边形棱:相邻两个面的公共边顶点:棱与棱的公共点面对角线:一个多面体中,连接同一面上两个顶点的线段,但不是多面体的棱体对角线:一个多面体中,连接不在同一面上两个顶点的线段截面:一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)表面积:多面体全部面的面积之和称为多面体的表面积(或全面积)命名多面体可以依据围成它的面的个数来命名,如五面体、八面体、十面体、十二面体等2.凸多面体的概念把多面体的随意一个面延展为平面,假如其余的各面都在这个平面的同一侧,则称这样的多面体为凸多面体.特殊说明:我们所说的多面体,假如没有特殊说明,指的都是凸多面体.(1)围成几何体的面是否都是平面?提示:不都是.通过视察圆柱、圆锥、圆台、球等可知:围成几何体的面并不都是平面.(2)多面体最少有几个面,几个顶点,几条棱?提示:多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱.二、棱柱1.棱柱的有关概念定义有两个面相互平行,且该多面体的顶点都在这两个面上,其余各面都是平行四边形,这样的多面体称为棱柱.图及相关概念底面:两个相互平行的面侧面:底面以外的其他各面侧棱:相邻两个侧面的公共边顶点:侧面与底面的公共顶点高:过棱柱一个底面上的随意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)侧面积:棱柱的全部侧面的面积之和2.棱柱的分类(1)依据侧棱与底面的关系分类①直棱柱(侧棱与底面垂直),特殊地,底面是正多边形的直棱柱为正棱柱.②斜棱柱(侧棱与底面不垂直).(2)依据底面的形态分类三棱柱、四棱柱、五棱柱…(1)棱柱的底面是固定不变的吗?提示:不肯定.例如:正方体、长方体都是棱柱,它们的任何一对对面都可以作为其底面.(2)平行六面体是棱柱吗?写出{四棱柱}、{平行六面体}、{直平行六面体}之间的包含关系?提示:依据棱柱的定义可知,平行六面体是棱柱.{四棱柱}、{平行六面体}、{直平行六面体}之间的包含关系为:{四棱柱}⊇{平行六面体}⊇{直平行六面体}.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)棱柱可以看作由平面图形平移得到. ()(2)棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形. ()(3)棱柱的两底面是全等的正多边形. ()(4)有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱. ()提示:(1)√.棱柱可以看作由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体.(2)×.棱柱的侧面都是平行四边形,底面也有可能是平行四边形.(3)×.棱柱两底面全等,但不肯定是正多边形.(4)×.有一个侧面是矩形的棱柱不能保证侧棱与底面垂直.2.(教材二次开发:例题改编)已知长方体全部棱长的和为36,表面积为52,则其体对角线的长为 ()A.4 B.QUOTE C.2QUOTE D.4QUOTE【解析】选B.设长方体的三条棱的长分别为x,y,z,则QUOTE,可得体对角线的长为QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.一个棱柱至少有个面;面数最少的棱柱有个顶点,有条棱.

【解析】面数最少的棱柱是三棱柱,有5个面,6个顶点,9条棱.答案:569关键实力·合作学习类型一与多面体有关的概念(数学抽象、直观想象)1.如图所示的几何体,关于其结构特征,下列叙述错误的是 ()A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B.该几何体有12条棱、6个顶点C.该几何体有8个面,并且各面均为三角形D.该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形2.下列说法:①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长相等的直四棱柱是正方体;③有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中正确的个数是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】1.选D.该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥,因此它是这两个四棱锥的组合体,故四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面.2.选A.①不正确,除底面是矩形外还应满意侧棱与底面垂直才是长方体;②不正确,当底面是菱形时就不是正方体;③不正确,两条侧棱垂直于底面一边不肯定垂直于底面,故不肯定是直平行六面体;④正确,因为对角线相等的平行四边形是矩形,由此可以推断此时的平行六面体是直平行六面体.多面体的识别方法相识、推断一个多面体的结构特征,主要从侧面、侧棱、底面等角度描述,因此只有理解并驾驭好各几何体的概念,才能认清其特征.类型二棱柱的结构特征(直观想象)【典例】1.下列关于棱柱的说法:(1)全部的面都是平行四边形.(2)四棱柱是平行六面体.(3)两底面平行,并且各侧棱也平行.(4)有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行的几何体是棱柱.(5)底面是正多边形的棱柱是正棱柱.其中正确的序号是.

2.推断下列四个多面体是否为棱柱?若是棱柱,如何用符号表示?【思路导引】1.依据棱柱及其有关的概念逐个进行推断.2.利用棱柱定义逐个推断,若是棱柱依据底面多边形的边数用恰当的符号表示.【解析】1.(1)错误.棱柱的底面不肯定是平行四边形.(2)错误.四棱柱的底面可以是随意四边形,而平行六面体的底面必需是平行四边形.(3)正确.由棱柱的定义可知.(4)正确.依据定义干脆推断为正确.(5)错误.底面是正多边形的直棱柱是正棱柱.答案:(3)(4)2.(1)是棱柱,可记为五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1(2)不是棱柱,不满意棱柱的定义.(3)是棱柱,可记为三棱柱ABC-A1B1C1(4)是棱柱,可记为四棱柱ABCD-A1B1C1D1棱柱结构特征的辨析技巧(1)扣定义:判定一个几何体是否为棱柱的关键是棱柱的定义.①看“面”,即视察这个多面体是否有两个相互平行的面,其余各面都是平行四边形;②看“线”,即视察每相邻两个四边形的公共边是否平行.(2)举反例:通过举反例,如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合,赐予解除.1.下列关于棱柱的叙述,错误的是 ()A.全部的棱柱两个底面都平行B.全部的棱柱肯定有两个面相互平行,其余各面每相邻面的公共边相互平行C.有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形的几何体肯定是棱柱D.棱柱至少有五个面【解析】选C.对于A,B,D,明显是正确的;对于C,与棱柱的定义比,没有说明各顶点都在平行的这两个面上这一条件,因此所围成的几何体不肯定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱.所以C错误.2.一个棱柱是正四棱柱需满意的条件是 ()A.底面是正方形,有两个侧面是矩形B.底面是正方形,两个侧面垂直于底面C.底面是菱形,有一个顶点处的两条棱相互垂直D.底面是正方形,每个侧面都是全等矩形【解析】选D.对于A,满意了底面是正方形,但当侧面中的两个对面是矩形时并不能保证另两个侧面也是矩形;对于B,垂直于底面的侧面不能保证侧棱垂直于底面;对于C,底面是菱形但不肯定是正方形,同时侧棱也不肯定和底面垂直;对于D,侧面全等且为矩形,保证了侧棱与底面垂直,底面是正方形,保证了底面是正多边形,因而符合正棱柱的定义和基本特征.类型三多面体的绽开图问题(直观想象、数学运算)角度1由绽开图复原多面体

【典例】如图,这是一个正方体的表面绽开图,若把它再折回成正方体后,有下列命题:①点H与点C重合;②点D与点M、点R重合;③点B与点Q重合;④点A与点S重合.其中正确命题的序号是.

【思路导引】固定一个正方形(如FGPN)的位置,将其他正方形折起.先确定各正方形的位置,然后定顶点用什么字母表示.【解析】将其还原成正方体,如图.答案:②④若将一个正方体的六个面依据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,并沿该正方体的一条棱将正方体剪开,朝上展平得到如图所示的平面图形,试确定标“△”的面的方位.【解析】将三个空白正方形分别标为1,2,3,如图所示,易知1处标下,2处标西,△和3处应标南北,进一步依据“上北下南左西右东”可知,△处标北.角度2求最大值、最小值问题

【典例】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2cm,BC=3cm,CC1=4cm,一只蚂蚁从A点沿着表面爬行到C1【思路导引】分三种方法计算,比较大小得最短距离.【解析】长方体ABCD-A1B1C1D1的表面如图三种方法绽开后,A,C1两点间的距离分别为:QUOTE=QUOTE,QUOTE=3QUOTE,QUOTE=QUOTE,三者比较得QUOTE是从点A沿表面到C1的最短距离,所以最短距离是QUOTEcm.多面体绽开图问题的解题策略(1)由绽开图复原几何体:首先想象出复原后的几何体,再将绽开图中的面、点标注到该几何体上.(2)多面体表面上两点间的最短距离问题经常要归纳为求平面上两点间的最短距离问题.常见的解法是先把多面体的表面绽开成平面图形,再用平面几何学问求有关线段的长度.1.(2024·长沙高一检测)在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱C1D1,B1CA.3QUOTE+6QUOTE B.2QUOTE+4QUOTEC.5QUOTE+3QUOTE D.6QUOTE+3QUOTE【解析】选D.如图,延长EF与A1B1的延长线相交于M,连接AM交BB1于H,延长FE与A1D1的延长线相交于N,连接AN交DD1于G,可得截面五边形AHFEG.因为ABCD-A1B1C1D1是边长为6的正方体,且E,F分别是棱C1D1,B1C所以EF=3QUOTE,AG=AH=QUOTE=2QUOTE,GE=FH=QUOTE=QUOTE.所以截面的周长为6QUOTE+3QUOTE.2.如图都是正方体的表面绽开图,还原成正方体后,其中两个完全一样的是.

【解析】(1)图还原后,①⑤对面,②④对面,③⑥对面;(2)图还原后,①④对面,②⑤对面,③⑥对面;(3)图还原后,①④对面,②⑤对面,③⑥对面;(4)图还原后,①⑥对面,②⑤对面,③④对面;综上,可得还原成正方体后,其中两个完全一样的是(2)(3).答案:(2)(3)3.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=2,由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1,与AA1(1)三棱柱侧面绽开图的对角线长;(2)从B经M到C1的最短路途长及此时QUOTE的值.【解析】将正三棱柱的侧面绽开,得到一个矩形BB1B1′B′(如图).(1)因为矩形BB1B1′B′的长BB′=6,宽BB1=2,所以三棱柱侧面绽开图的对角线长为QUOTE=2QUOTE.(2)由侧面绽开图可知:当B,M,C1三点共线时,由B经M到C1的路途最短,所以最短路途长为BC1=QUOTE=2QUOTE,明显Rt△ABM≌Rt△A1C1M,所以A1M=AM,即QUOTE=1.课堂检测·素养达标1.下图中属于棱柱的有 ()A.2个 B.3个C.4个 D.5个【解析】选C.依据棱柱的定义,第一行中前两个和其次行中后两个为棱柱.2.下列说法中正确的是 ()A.直四棱柱是直平行六面体B.直平行六面体是长方体C.六个面都是矩形的四棱柱是长方体D.底面是正方形的四棱柱是直四棱柱【解析】选C.直四棱柱的底面不肯定是平行四边形,故A错;直平行六面体的底面不肯定是矩形,故B错;C正确;底面是正方形的四棱柱不肯定是直四棱柱,故D错.3.(教材二次开发:练习改编)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C,M,D1作正方体的截面,则截面的面积是【解析】如图,截面与平面ABB1A1的交线MN是三角形AA1所以截面是梯形CD1MN,又MN=QUOTE,CD1=2QUOTE,CN=QUOTE,MD1=QUOTE,故梯形的高为QUOTE=QUOTE,则截面的面积为QUOTE(QUOTE+2QUOTE)×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE4.下面是关于四棱柱的几个说法:①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱.其中,说法正确的序号是.

【解析】因为必需是相邻的两个侧面垂直于底面,则四棱柱为直四棱柱,因此①错误;③中,也不符合直四棱柱的定义,解除;只有②符合定义.答案:②5.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1【解析】截面以上的几何体是三棱柱AEF-A1HG,截面以下的几何体是四棱柱BEFC-B1HGC1.十多面体与棱柱(15分钟30分)1.四棱柱有几条侧棱,几个顶点 ()A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点【解析】选C.由四棱柱的结构特征知它有四条侧棱,八个顶点.2.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1DA.0个 B.1个C.2个 D.3个【解析】选D.共有3个:棱柱AA1P-DD1Q,棱柱ABEP-DCFQ,棱柱BEB1-CFC1.3.如图所示是一个简洁多面体的表面绽开图(沿图中虚线折叠即可还原),则这个多面体的顶点数为 ()A.6 B.7 C.8 D.9【解析】选B.还原几何体,如图所示.由图视察知,该几何体有7个顶点.4.(2024·昭通高一检测)如图是一个正方体的表面绽开图,若图中“努”在正方体的后面,那么这个正方体的前面是 ()A.定 B.有 C.收 D.获【解析】选B.这是一个正方体的表面绽开图,共有六个面,其中面“努”与面“有”相对,所以图中“努”在正方体的后面,则这个正方体的前面是“有”.5.用一个平面去截一个正方体,截面边数最多是.

【解析】因为用平面去截正方体时,最多与六个面相交得六边形,即截面的边数最多为6.答案:66.现有两个完全相同的长方体,它们的长、宽、高分别是5cm,4cm,3cm,现将它们组合成一个新的长方体,这个新长方体的体对角线的长是多少?【解析】将两个完全相同的长方体组合成新长方体,其情形有以下几种:将面积为5×3=15(cm2)的面重叠到一起,将面积为5×4=20(cm2)的面重叠到一起,将面积为4×3=12(cm2)的面重叠到一起.三种情形下的体对角线分别为:l1=QUOTE=7QUOTE(cm),l2=QUOTE=QUOTE(cm),l3=QUOTE=5QUOTE(cm).(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.如图正方体的棱长为1,在面对角线A1B上存在一点P使得|AP|+|D1P|取得最小值,则最小值为 ()A.2 B.QUOTE C.2+QUOTE D.QUOTE【解析】选D.如图所示,将平面A1BCD1绕A1B旋转至A1ABB1,连接AD1交A1B于P,则|AD1|=QUOTE=QUOTE.2.(2024·厦门高一检测)设M是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1(含边界)内的点,若点M到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1A.仅有一个 B.有两个C.有无限多个 D.不存在【解析】选A.由点M是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1若点M到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离都相等,则符合条件的点M只能为正方体ABCD-A1B1C1D13.如图所示,正方体棱长为3cm,在每个面正中心有个入口为正方形的孔道通到对面,孔的入口正方形边长为1cm,孔的各棱平行于正方体各棱.则所得几何体的总表面积为 ()A.54cm2 B.76cm2 C.72cm2 D【解析】选C.由题意知该几何体的总表面积包含外部表面积与内部表面积.S外=6×32-6×12=48(cm2),S内=4×6=24(cm2).所以S总=48+24=72(cm2).4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=QUOTE,BB1=2,∠ABC=90°,E,F分别为AA1,C1B1的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.2QUOTE【解析】选C.由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形.①若把平面ABB1A1和平面B1C1CB绽开在同一个平面内,则线段EF在直角三角形A1EF中,由勾股定理得EF=QUOTE=QUOTE=QUOTE.②若把平面ABB1A1和平面A1B1C1绽开在同一个平面内,设BB1的中点为G,在直角三角形EFG中,由勾股定理得EF=QUOTE=QUOTE=QUOTE.③若把平面ACC1A1和平面A1B1C1绽开在同一个平面内,过F作与CC1平行的直线,过E作与AC平行的直线,所作两线交于点H,则EF在直角三角形EFH中,由勾股定理得EF=QUOTE=QUOTE=QUOTE.综上可得从E到F两点的最短路径的长度为QUOTE.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的四面体)的绽开图的是 ()【解析】选CD.可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发觉A,B可折成正四面体,C,D不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.6.(2024·滨州高一检测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,已知平面α⊥AC1A.截面形态可能为正三角形B.截面形态可能为正方形C.截面形态可能为正六边形D.截面面积最大值为3QUOTE【解析】选ACD.如图,明显A,C成立,下面说明D成立,如图设截面为多边形GMEFNH,设A1G=x,则0≤x≤则GH=ME=NF=QUOTEx,MG=HN=EF=QUOTE(2-x),MN=2QUOTE,所以多边形GMEFNH的面积为两个等腰梯形的面积和,所以S=QUOTE·(GH+MN)·h1+QUOTE·(MN+EF)·h2,因为h1=QUOTE=QUOTE,h2=QUOTE=QUOTE,所以S=QUOTE(QUOTEx+2QUOTE)·QUOTE+QUOTE[2QUOTE+QUOTE(2-x)]·QUOTE=-QUOTEx2+2QUOTEx+2QUOTE.当x=1时,Smax=3QUOTE,故D成立.三、填空题(每小题5分,共10分)7.侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱.侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.底面是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体.底面是矩形的直平行六面体称为长方体.棱长都相等的长方体称为正方体.请依据上述定义,回答下面的问题:(1)直四棱柱是长方体.

(2)正四棱柱是正方体.(填“肯定”“不肯定”或“肯定不”)

【解析】由直四棱柱的定义可知,直四棱柱不肯定是长方体;长方体肯定是直四棱柱;由正四棱柱的定义可知,正四棱柱不肯定是正方体;正方体肯定是正四棱柱.答案:(1)不肯定(2)不肯定8.正方体的棱长为a,且正方体各面的中心是一个几何体的顶点,这个几何体的棱长为.

【解析】如图所示,取棱中点O,连接OD,OE,由正方体的性质可得OD⊥OE,OD=OE=QUOTEa,则DE=QUOTE=QUOTEa,即几何体的棱长为QUOTEa.答案:QUOTEa四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知正六棱柱的一条最长的体对角线长是13,侧面积为180,求正六棱柱的全面积.【解析】如图所示,设正六棱柱的底面边长为a,侧棱长为h,易知CF′是正六