专题2.4 指数与指数函数（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题2.4指数与指数函数【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1指数幂的运算】 2【题型2指数方程与指数不等式】 3【题型3指数函数的图象与性质】 4【题型4利用指数函数的单调性比较大小】 6【题型5利用指数函数的单调性解不等式】 7【题型6指数函数的综合问题】 91、指数与指数函数考点要求真题统计考情分析(1)了解根式的概念及性质，了解分数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质(2)熟练掌握指数函数的图象与性质2022年全国甲卷（文数）：第12题，5分2023年新课标I卷：第4题，5分2024年天津卷：第2题，5分、第5题，5分指数函数是常见的重要函数，指数与指数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，指数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.【知识点1指数运算的解题策略】1．指数幂运算的一般原则(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【知识点2指数函数的常见问题及解题思路】1．比较指数式的大小比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.2．指数方程(不等式)的求解思路指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.3．指数型函数的解题策略涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.【题型1指数幂的运算】【例1】（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简3(−5)232的结果为（

）A．5 B．5 C．−5 D．−【解题思路】根据指数幂的运算性质进行求解即可.【解答过程】3(−5)故选：A.【变式1-1】（23-24高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（

）A．12−34=C．3−8=−2 【解题思路】根据指数幂的计算公式及根式与分数指数幂的互化计算即可.【解答过程】对于A，12−3对于B，3x+y对于C，3−8对于D，nm故选：C.【变式1-2】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知a+1a=2，则aA．2 B．4 C．±2 D．±4【解题思路】给a1【解答过程】(a12故选：A.【变式1-3】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）计算(−64)13+A．−132 B．−112 C．【解题思路】利用指数运算及根式运算计算即得.【解答过程】(−64)1故选：C.【题型2指数方程与指数不等式】【例2】（23-24高一上·北京顺义·期中）关于x的方程4x−2x=2【解题思路】由4x−2x=2可得出2【解答过程】由4x−2x=2因为2x>0，可得2x所以，方程关于x的方程4x−2故答案为：x=1.【变式2-1】（2024高一·江苏·专题练习）不等式123x−1≤2的解集为【解题思路】利用指数幂的运算法则，结合指数函数的单调性将原不等式化为3x−1≥−1求解即可.【解答过程】原不等式可化为1因为函数y=1∴3x−1≥−1，解得x≥0．∴不等式123x−1≤2故答案为：x|x≥0.【变式2-2】（2024高一·江苏·专题练习）不等式2x>12x−【解题思路】利用指数幂的运算法则，结合指数函数的单调性将原不等式化为x>x【解答过程】由2x>1因为函数y=2∴x>x2−x，即x∴不等式2x>1故答案为：0,2.【变式2-3】（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知x1和x2是方程9x−3x【解题思路】由题知3x1+3x2=9【解答过程】解：方程可化为3x2−9⋅3x所以3x1+又9x所以9x故答案为：75.【题型3指数函数的图象与性质】【例3】（2024·宁夏银川·三模）已知函数fx=2A．函数fx单调递增 B．函数fxC．函数fx的图象关于0,1对称 D．函数fx的图象关于【解题思路】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，f2−x与f【解答过程】fx函数y=2−2t，t=2又内层函数t=2x−1+1在R上单调递增，外层函数y=2−所以根据复合函数单调性的法则可知，函数fx因为2x−1+1>1，所以0<2所以函数fx的值域为0,2f2−x=2所以函数fx关于点1,1故选：C.【变式3-1】（2024·江西·模拟预测）函数fx=3A．−∞,0 B．−1,0 C．0,1 【解题思路】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案.【解答过程】令t=x2−2由复合函数的单调性可知：fx的单调递减区间为函数t=又函数t(−x)=(−x)即函数t(x)为偶函数，结合图象，如图所示，可知函数t=x2−2x的单调递减区间为即fx的单调递减区间为−∞,−1故选：C．【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=1ex+a的图象关于点A．1 B．2 C．e D．e【解题思路】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得a=e【解答过程】由对称中心性质可知函数fx满足f即1e整理可得e3−x+e解得a=e故选：C.【变式3-3】（2024·辽宁·一模）若函数fx=3−2x2+axA．−∞,4 B．4,16 C．16,+∞【解题思路】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.【解答过程】设fu=3u，u=−2x因为fx=3−2x2+ax结合二次函数的图象和性质，可得：a4≤1，解得故选：A.【题型4利用指数函数的单调性比较大小】【例4】（2024·云南·二模）若a=2π−2,b=A．b>a>c B．c>a>b C．a>b>c D．a>c>b【解题思路】根据中间数2比较a与c，根据中间数1比较b与c.【解答过程】因为a=2π−2>所以a>c，因为b=6−1=所以c>b，所以a>c>b.故选：D.【变式4-1】（2024·四川·模拟预测）设a=0.50.4，b=0.41.1，A．a<c<b B．c<a<b C．a<b<c D．b<a<c【解题思路】根据指数函数、幂函数的单调性，结合与特殊值1的比较，即可得到答案.【解答过程】因为指数函数y=0.5x是单调减函数，所以又由幂函数y=x1.1在0,+∞又因为指数函数y=1.1x是单调增函数，所以综上可得：b<a<c，故选：D.【变式4-2】（2023·上海闵行·一模）已知a，b∈R，a>b，则下列不等式中不一定成立的是（

A．a+2>b+2 B．2a>2b C．a2>b【解题思路】根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C；根据指数函数的单调性判断D.【解答过程】对于A，B，a，b∈R，a>b，则a+2>b+2,2a>2b对于C，取a=−1,b=−2，满足a>b，则a2当a>b>0时，a2对于D，由a>b，由于y=2x在R上单调递增，则故选：C.【变式4-3】（2024·全国·二模）设实数a，b满足1001a+1010b=2023a，1014A．a>b B．a=b C．a<b D．无法比较【解题思路】先假设a≥b，再推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.【解答过程】假设a≥b，则1010a≥1010由1001a+1010因函数f(x)=(10012023)x+(10102023由1014a+1016因函数g(x)=(10142024)x+(10162024即有a<1<b与假设a≥b矛盾，所以a<b，故选：C.【题型5利用指数函数的单调性解不等式】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=3x−2−32−xA．−∞,4 B．−∞,2 C．【解题思路】设gx=3x−3−x，即可判断gx为奇函数，又fx=gx−2，可得f【解答过程】设gx=3x−3−x又fx则fx的图象是由gx的图象向右平移所以fx图象的对称中心为2,0，所以f因为y=3x在R上单调递增，y=3所以gx在R上单调递增，则fx在因为fx所以f8−3x>f4−x，所以8−3x>4−x故满足fx+f8−3x>0的故选：B.【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知fx=2x−a+1，且fx<6A．−∞,1 B．−1,+∞ C．−1,1【解题思路】fx<6在区间1,2恒成立，只需要【解答过程】由解析式易知：fx当x∈1,2时，fx<6恒成立，则f故选：B．【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=12x，则使得fA．13,+∞ B．0,13 【解题思路】根据奇偶性定义判断出fx为偶函数，再根据x>0上的单调性得到参数a【解答过程】由题意可知fx的定义域为R，且f−x=当x>0时，函数f(x)=12x若f2a<fa−1成立，则2a>a−1又a>0，所以正实数a的取值范围是13故选：A．【变式5-3】（2024·江苏宿迁·一模）已知函数fx=2x−A．−1,3 B．−∞,−1∪3,+∞ 【解题思路】解法一：判断函数f(x)的单调性，再利用单调性解不等式即可.解法二：特值排除法.【解答过程】解法一：函数f(x)的定义域为R，函数y=2x,y=因此函数f(x)是R上的增函数，由fx2<f2x+3，得所以原不等式的解集是−1,3.故选：A.解法二：特值当x=0时，f0<f3，排除B，D，当x=1对A：当x∈−1,3时，x2<2x+3，因为函数f(x)是R故选A．【题型6指数函数的综合问题】【例6】（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=a⋅(1)求a的值，并求出fx(2)若mfx−4x−【解题思路】（1）由f−1=32，求得a=1，再结合函数的奇偶性，求得x<0时，（2）由（1），把mfx−4x−【解答过程】（1）解：因为fx是偶函数，所以f−1=f当x<0时，可得−x>0，可得fx所以函数fx的解析式为f（2）解：由（1）知，当x>0时，fx因为mfx−4即m≤4又因为2x当且仅当2x−2所以m≤22，即m的取值范围是−【变式6-1】（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数fx(1)当x∈0,8时，不等式fx+1≥f(2)试求函数Gx=fx+1+af2x（a∈【解题思路】（1）根据函数单调性得到∀x∈0,8，g（2）换元后得到φt=at2+2t，t∈0,1，分a=0，−1【解答过程】（1）函数fx=2不等式fx+1依题意，∀x∈0,8，g由于gx开口向上，故只需g所以a的取值集合是∅．（2）函数Gx=2令t=2x∈0,1，当a=0时，函数φt在0,1上单调递增，φ当a≠0时，φt=at当−1a<0，即a>0时，开口向上，函数φ所以φt当0<−1a<1即a<−1当−1a≥1即−1≤a<0时，开口向下，函数φφt综上Ha【变式6-2】（2024高二下·浙江·学业考试）设函数fx(1)判断函数fx在区间0,+∞和(2)若函数fx在其定义域内为奇函数，求a与b(3)在（2）的条件下，当a=1时，不等式fx≥k⋅3−x在【解题思路】（1）根据复合函数单调性即可判断出结论；（2）利用奇函数定义可求得b=2a，经验证满足题意；（3）将不等式转化成k≤3x−1+23【解答过程】（1）由指数函数单调性可知y=3对b分类讨论如下：①当b=0时，fx②当b>0时，fx在区间−∞,0③当b<0时，fx在区间−∞,0（2）易知函数fx的定义域为−∵fx是奇函数，∴f即a+b所以b=2a，经验证b=2a时，满足f−x所以a与b的关系式为b=2a.（3）由已知得fx整理可得：k≤3x+由基本不等式可得3x当且仅当3x−12所以k≤22【变式6-3】（23-24高一上·广东广州·期末）定义在R上的奇函数，当x<0时，fx=x,−1<x<0−a−x,x≤−1，其中a>0,a≠1(1)求a的值；(2)当x≥0时，求函数fx(3)若存在x2>x1≥0【解题思路】（1）根据奇函数的定义f(−1)=−f(1)即可求得a的值；（2）根据奇函数的定义求解析式；（3）由函数解析式，根据x的范围分类讨论，分别得出x1,x2的关系，把【解答过程】（1）∵f1=e∴f(−1)=−a=−e，则a=（2）当0<x<1时，−1<−x<0，f−x=−x，又fx当x≥1时，−x≤−1，f−x=−ex，又因为fx是定义在R上的奇函数，则f故fx（3）若0≤x1<x2<1，则由fx若0≤x1<1≤x2，则由e若1≤x1<x2，则由fx2=e综上：x1·fx一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）3392+A．13 B．33 C．3【解题思路】利用指数幂的运算性质化简计算即可.【解答过程】33故选：A．2．（2023·广东珠海·模拟预测）已知a>0且a≠1，下列等式正确的是（

）A．a−2⋅aC．a6+a【解题思路】ABC选，利用指数幂的运算法则判断，D选项，由分数指数幂的定义得到D正确.【解答过程】A选项，a>0且a≠1，故a−2B选项，a>0且a≠1，故a6C选项，a6D选项，a>0且a≠1，故a−故选：D.3．（2023·山东·模拟预测）若a−1−a1=4A．8 B．16 C．2 D．18【解题思路】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可.【解答过程】解：因为a−1所以a−2故选：D．4．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（

A．fx=eC．fx=e【解题思路】利用fx在23,+∞上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用【解答过程】对于B，当x>23时，fx=ex−对于C，fx=ex+e−x对于D,当x>1时，fx=2xx−1=2+利用排除法可以得到，fx故选：A.5．（2023·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数fx=ax+b⋅a−xA．13或3 B．12或2 C．3【解题思路】根据奇偶性求得b，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可．【解答过程】因为fx是奇函数，所以f−x=−f即a−x+b⋅ax+经检验b=−1符合题意，所以fx当a>1时，0<1则函数y=ax在−1,1上单调递增，y=a所以fx=a所以，f(x)max=f(1)=a−解得a=3或a=−13(舍去)，所以当0<a<1时，1a则函数y=ax在−1,1上单调递减，y=a所以fx=a所以，f(x)max=f(−1)=解得a=13或a=−3(舍去)，所以综上，a=1故选：A．6．（2023·吉林·一模）已知a=0.310.1，b=0.310.2，A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【解题思路】根据指对幂函数的单调性以及中间值进行比较即可.【解答过程】由y=0.31x单调递减可知：0.310.1由y=x0.1单调递增可知：0.32所以c>a>b.故选：D.7．（2023·湖北武汉·二模）阅读下段文字：“已知2为无理数，若(2)2为有理数，则存在无理数a=b=2，使得ab为有理数；若(2)2为无理数，则取无理数A．(2)2是有理数 C．存在无理数a，b，使得ab为有理数 D．对任意无理数a，b，都有a【解题思路】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.【解答过程】这段文字中，没有证明(2)2这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得ab这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b，都成立的问题，D错误.故选：C.8．（2023·全国·模拟预测）已知函数f(x)=2023ax2+bx+1(a≠0)的图象关于直线x=2对称，且函数A．{x∣0<x≤4} B．{x∣x≥4或x<0}C．{x∣0≤x≤4} D．{x∣x≥4或x≤0}【解题思路】先通过f(2−x)=f(2+x)求出a,b的关系，再根据函数f(x)的最小值为1可求出a,b，代入fx，直接解不等f(x)≥2023【解答过程】因为函数f(x)=2023ax所以f(2−x)=f(2+x)，即2023a即a(2−x)2+即(4a+b)x=0恒成立，所以b+4a=0，即b=−4a，所以f(x)=2023又因为函数fx所以a>0且f(2)=1，即20231−4a所以1−4a=0，即a=1所以f(x)=202314即202314(x−2)解得x≥4或x≤0，故选：D．二、多选题9．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下列各式中一定成立的有（

）A．nm7=C．4x3+【解题思路】根据指数幂的运算性质逐项分析可得答案.【解答过程】对于A，nm对于B，12−3对于C，当x=1,y=2时，413+所以4x对于D，39故选：BD.10．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数fx=2A．函数fxB．函数fx值域为C．函数fx的图象关于0,1D．函数fx的图象关于1,1【解题思路】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义，f2−x与f【解答过程】fx函数y=2−2t，t=2又内层函数t=2x−1+1在R上单调递增，外层函数y=2−所以根据复合函数单调性的法则可知，函数fx因为2x−1+1>1，所以0<22x−1+1<2f2−x=22−x21−x+1故选：ABD.11．（2024·湖南·模拟预测）已知函数fx是定义域为R的偶函数，gx是定义域为R的奇函数，且fx+gx=2ex.函数A．fx=ex+eC．m=3 D．m=−3.3或13【解题思路】根据函数的奇偶性可得出关于fx,gx的方程组，即可得fx,gx的解析式，从而得选项A；结合函数的单调性，可判断选项B；根据【解答过程】A，因为fx为偶函数，所以f−x=fx，又因为fx+gx=2e由①②得：fx=eB，因为函数y=ex,y=−故gx=ex−C、D，因为f2x所以Fx又fx=ex+e−x设ℎt=t当m>2时，函数ℎt在2,m上为减函数，在m,+则ℎ(t)min=ℎm=−当m≤2时，ℎt在2,+∞上单调递增，ℎ(t)综上m=3，所以选项C正确，D错误.故选：AC.三、填空题12．（2024·上海宝山·二模）将a2a（其中a>0）化为有理数指数幂的形式为a【解题思路】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可【解答过程】a故答案为：a513．（2024·上海·三模）设t∈R，若在区间1,2上，关于x的不等式2x>1x+t【解题思路】根据x+t≠0在1,2上恒成立，故t=−x∈−∞,−2∪−1,+∞，分t∈−∞,−2时，满足要求，当t∈−1,+∞【解答过程】由题意得2x>1x+t在1,故t=−x∈−当t∈−∞,−2时，x+t<0，而2当t∈−1,+∞时，x+t>0，2x令gx=1其中gx=1故gx故t≥−1综上，t的取值范围是−∞故答案为：−∞14．（2023·四川成都·模拟预测）设fx是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，fx=ex，则不等式f【解题思路】根据偶函数的性质求出函数在x<0时的解析式，即可得到fx=ex，则不等式fx【解答过程】因为fx是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f设x<0，则−x>0，所以f−x=e−x，又f−x所以fx=e所以不等式fx≥f2x−1，即e即x2≥4x−1即不等式fx≥f故答案为：23四、解答题15．（2023·山东·模拟预测）计算：(1)(−π(2)5【解题思路】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果；（2）由根式与分数指数幂的互化，计算化简即可得出答案.【解答过程】（1）原式=1+=1+1−10+9=1（2）由根式与分数指数幂互化运算可得，5a16．（2024·山东济宁·模拟预测）（1）计算：94（2）已知a12+【解题思路】（1）利用指数的运算法则计算即可.（2）根据完全平方式计算即可求出.【解答过程】解：（1）9=3=1（2）a12a217．（2024·上海黄浦·二模）设a∈R，函数f(x)=(1)求a的值，使得y=f(x)为奇函数；(2)若f(2)=a，求满足f(x)>a的实数x的取值范围.【解题思路】（1）由奇函数的性质可得f(−1)=−f(1)，代入解方程即可得出答案；（2）由f(2)=a，可得a=2，则2x【解答过程】（1）由fx为奇函数，可知f(−1)=−f(1)即−(1+2a)=−(2+a)，解得a=1，当a=1时，f(x)=2x+1故a=1时，y