浙江省杭州市（含周边）重点中学2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

绝密★考试结束前2023学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题命题：萧山中学王建国、沈建刚审校：临平中学（余高）盛立忠缙云中学潜艳蕾考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效4.考试结束后，只需上交答题卷。第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在中，三个内角A，B，C成等差数列，则（）A. B. C. D.12.已知，，则（）A. B. C. D.3.直线关于轴对称的直线的方程为（）A. B.C. D.4.降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位，它可以直观地表示降雨的多少，目前，测定降雨量常用的仪器有雨量筒和量杯.测量时，将雨量筒中的雨水倒在量杯中，根据杯上的刻度就可知道当天的降雨量.某兴趣小组同学为测量降水量，自制了一种圆台形的雨量器（如图）.某次降水，这种容器收集到的雨水高度为150mm，则该次降水的降雨量最接近（）A.60mm B.65mm C.70mm D.75mm5.的展开式中的常数项是（）A.7 B.7 C.28 D.286.若函数有两个零点，则（）A. B. C. D.或7.将双曲线绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比例函数的图象（其渐近线分别为轴和轴），所以我们也称反比例函数的图象为双曲线.同样“对勾函数”也能由双曲线的图象绕原点旋转得到，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为（）A. B.4 C. D.8.记由0，1，2，3，4五个数字组成的五位数为.则满足“对任意，必存在，使”的五位数的个数为（）A.120 B.160 C.164 D.172二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.下列命题是真命题的是（）A.对向量，，若，则或B.对复数，，若，则或C.对向量，，若，则D.对复数，，若，则10.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，且，，下列结论正确的是（）A. B.C.数列无最大值 D.是数列中的最大值11.设抛物线焦点为，，是抛物线上两点，下列选项中是“直线经过焦点”的必要不充分条件的是（）A. B.C. D.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数在区间上的最大值为____________.13.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，若，，，则点到平面的距离为____________.14.已知数列满足，，则____________，___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本题满分13分）如图，在平面四边形中，，，为的平分线，且.（I）求线段的长；（Ⅱ）求的面积.16.（本题满分15分）已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.17.（本题满分15分）如图，四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面是矩形，且.（I）若点是的中点，（i）求证：平面；（ii）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使二面角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.18.（本题满分17分）已知抛物线：，点为抛物线外一点（如图），过点D作的两条切线，切点分别为A，B.（I）求证：直线的方程为；（Ⅱ）若在直线上，以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程.19.（本题满分17分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.设从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，经过次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为.（I）写出的分布列并计算；（Ⅱ）某人重复进行了100次操作，记，，求该数列的前100项和的最大值；（Ⅲ）定性分析当交换次数趋向于无穷时，趋向的值.（简要说明你的理由）

2023学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678CABBADDC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，其中第9题每选对1个得3分，第10、11题每选对1个得2分.91011BCABDACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.13.14.0，2023（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）解：（Ⅰ）在中，由，得，有正弦定理或余弦定理得（Ⅱ）因为为的平分线，所以，在直角中，得，所以.16.（本题满分15分）解：（Ⅰ）当时，，，所以，，曲线在处的切线方程为（Ⅱ）要使恒成立，则需成立.，当时，，所以在递增，而，不合题意；当时，恒成立，符合题意；当时，令得，则在递减，在递增，所以，解得综上所述，.分17.（本题满分15分）（Ⅰ）（ⅰ）连交于点O，连，因为G、O分别为，中点，所以平面（ⅱ）以中点H为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，取平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则.（Ⅱ）若存在满足条件，设，则，，，设平面的一个法向量为，由，，取，得，取平面的一个法向量，由题意得，所以当时满足条件.18.（本题满分17分）解：（Ⅰ）设，，由得，所以在处的切线方程为，同理在处的切线方程为.两条切线都过，所以，，显然A，B两点都在直线上，所以直线的方程为.（Ⅱ）若在直线上，则直线的方程为，即直线过定点，不妨设直线的方程.由，可得.于是，.设为线段的中点，则，由于，而，与向量平行，∴，解得或.当时，，所求圆的方程为；当时，，所求圆的方程为.19.（本题满分17分）解：（Ⅰ）的取值为1，2，3，又，，，