2020-2021学年辽宁省沈阳市五校高一6月联考数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages33页2020-2021学年辽宁省沈阳市五校高一6月联考数学试题一、单选题1．（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用诱导公式化简求值.【详解】.故选：B【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．设i为虚数单位，则复数的虚部为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先对复数化简，再求其虚部即可【详解】解：，所以复数的虚部为.故选：B.3．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为cm2，则原平面图形的面积为()A．4cm2 B．cm2 C．8cm2 D．cm2【答案】C【详解】分析：由题意结合斜二测画法的法则整理计算即可求得原图形的面积.详解：设斜二测画法中梯形的上底为长度，下底长度为，，则梯形的面积为：，则，原平面图形是一个梯形，且上底为长度，下底长度为，高为，其面积为：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查斜二测画法，梯形的面积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．若圆的半径为4，a、b、c为圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为()A．2 B．8 C． D．【答案】C【详解】试题分析：由正弦定理可知，∴，∴．【解析】正弦定理的运用．5．已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，根据其表面积为，得到，再由它的侧面展开图是一个半圆，得到，联立求得半径和高，利用体积公式求解.【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，因为其表面积为，所以，即，又因为它的侧面展开图是一个半圆，所以，即，所以，所以此圆锥的体积为.故选：A【点睛】本题主要考查圆锥的表面积和体积的计算以及侧面展开图问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6．如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80°【答案】D【分析】题目考察简单的方位问题，要求灯塔A在灯塔B的方位，则在B处建立方位线，如图中的两条虚线所示，则求出即可【详解】∵，∴，∵，∴，∴，∴灯塔A在灯塔B的南偏西故选：D7．直三棱柱，，，，分别为2，3，4，则它的外接球表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合直三棱柱的特点，底面为直角三角形，则侧面的对角线为外接球的直径，即可求出球的半径，得到表面积.【详解】根据题意可知，直三棱柱底面为直角三角形，斜边为BC，则侧面的对角线为外接球的直径，，则半径为，外接球表面积为.故选：B8．已知，将的图象向右平移了个单位，再向上平移1个单位，得到的图象，若对任意实数，都有成立，则A． B．1 C． D．0【答案】B【详解】化简，将的图象向右平移了个单位，再向上平移1个单位，得到，所以，又对任意实数，都有成立，则关于对称，所以为平衡位置处，所以1.二、多选题9．在中，角，，的对边分别为，，，向量，，若，且，则（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】首先根据向量数量积的坐标表示，化简得，再根据正弦定理，化简变形，求角.【详解】由条件可知，，即，，所以，因为，根据正弦定理可知，，即，因为，所以，，即，所以，.故选：ACD10．已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．函数的图象关于直线对称D．若实数使得方程在上恰好有三个实数解，则一定有【答案】ACD【分析】首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．【详解】,故函数的最小正周期为,故正确;当时,故错误;当时,故正确;当实数时,使得方程在上恰好有三个实数解则一定有,故正确.故选:.【点睛】本题考查正弦型函数的周期性、奇偶性和对称性，难度一般.11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（）A．B．C．D．在向量上的投影为【答案】AB【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．【详解】图2中的正八边形，其中，对于；故正确．对于，故正确．对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．对于在向量上的投影，，故错误．故选：．【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出下列命题，其中正确的命题为（）A．若，则；B．若，则满足条件的有两个；C．若，则是钝角三角形；D．存在角A，B，C，使得成立；【答案】ABC【分析】A.利用正弦定理判断该选项正确；B.由于，因此满足条件的有两个，所以该选项正确；C.可以证明，是钝角三角形，所以该选项正确；D.可以证明，所以该选项不正确.【详解】A.若，，由正弦定理可得：，则，所以该选项正确；B.若，，，则，因此满足条件的有两个，所以该选项正确；C.若，则，，，，是钝角三角形，所以该选项正确；D.由于当时，，，所以该选项不正确.故选：ABC【点睛】关键点睛：解答本题的关键是灵活利用和角的正切公式，只有灵活运用该公式才能简洁高效地判断后面两个选项的真假.三、填空题13．若向量与的夹角为，则__________.【答案】【分析】先将平方，根据向量的夹角和模长计算出结果，再通过开根号求解出的值.【详解】因为，所以，故答案为：.【点睛】思路点睛：已知求解的步骤：（1）先计算，结合计算出结果；（2）将的结果开根号即为的值.14．已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，其侧面积恰等于两底面积之和，则该正四棱台的高为___________．【答案】.【分析】利用棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，即可求出．【详解】设正四棱台的高、斜高分别为h，x．所以，解得．再根据棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，可得，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查正四棱台的结构特征的应用，属于基础题．15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为________．【答案】32【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．【详解】如图所示，则△ABC的面积为，即ac=2a+2c，得，得，当且仅当，即3c=a时取等号；∴的最小值为32.故答案为：32.【点睛】本题考查三角形中的几何计算，属于中等题.四、双空题16．在我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现在一堑堵，，，则线段的长度为______；点在棱上运动，则的周长的最小值为______．【答案】3【分析】利用勾股定理可求的长度，把侧面展开，利用侧面展开图可求的周长的最小值.【详解】由堑堵的定义可知，所以，所以．，所以最小时，的周长最小，将面与面展开在一个平面内，如图：连接，与的交点即为，则此时最小，此时，所以，所以周长的最小值为．故答案为：.五、解答题17．设复数问当实数取何值时：(1)是纯虚数；(2)对应的点在复平面的第四象限.【答案】(1)；(2)【分析】(1)根据纯虚数的定义,得到等式和不等式,这样可以求出实数的值；(2)根据复平面第四象限点的坐标特征,列出不等式组,解不等式组即可求出实数的取值范围.【详解】(1)因为复数纯虚数,所以；(2)因为对应的点在复平面的第四象限,所以【点睛】本题考查了纯虚数的定义,考查了根据复数对应点在复平面的位置求参数问题,考查了数学运算能力.18．如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求（1）截去的三棱锥的表面积；（2）剩余的几何体的体积.【答案】（1）；（2）【分析】（1）三棱锥中是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，计算四个三角形面积之和即可求解.（2）正方体的体积减去三棱锥的体积即得剩余的几何体的体积.【详解】（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，所以截去的三棱锥的表面积（2）正方体的体积为，三棱锥的体积为，所以剩余的几何体的体积为.19．在△中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求边的长：（Ⅲ）求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）根据正弦定理化简求出正切即可求解；（Ⅱ）由余弦定理直接计算即可；（Ⅲ）由二倍角的正余弦公式及两角差的余弦公式求解即可.【详解】因为，所以由正弦定理得：，即，又所以（Ⅱ）由余弦定理得：，所以（Ⅲ）由余弦定理得：，所以，所以所以20．在四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求四边形的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中，先由余弦定理解得，在中，由正弦定理得解得；（2）设，因为，解得，从而利用和差角公式求得，在中，由正弦定理解得，利用面积公式分别求出和，即可求得四边形的面积.【详解】（1）在中，，，，由余弦定理得，解得.在中，由正弦定理得，即，解得.（2）设，因为，所以，所以.因为，所以，因为，所以，在中，由正弦定理得，解得.所以，，∴四边形的面积为.21．在锐角三角形中，，，分别是角，，的对边，，且．（1）求的大小；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）4．【分析】（1）根据正弦的和角公式化简得，再由正弦定理可求得答案．（2）由正弦定理得，再根据角的范围和三角函数的性质可求得的最大值．【详解】解：（1）因为，所以，由正弦定理得，因为，所以，因为为锐角，所以．（2）由正弦定理得，，，，因为所以，，所以，故的最大值4．【点睛】方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.（4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.22．已知向量，，设函数.（1）求函数的最大值；（2）已知在锐角中，角，，所对的边分别是，，，且满足，的外接圆半径为，求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算,求得函数的解析式,再由降幂公式及辅助角公式化简,即可求得的最大值;（2）根据,代入后结合正弦和角公式及正弦定理展开化简,即可求得角.结合正弦定理,将边转化为角的表达式,结合三角形面积公式,即可