2020-2021学年山西省高一下学期期末数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年山西省高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接化简即可【详解】解：因为，所以.故选：B2．将圆锥的高缩短到原来的，底面半径扩大到原来的倍，则圆锥的体积（）A．缩小到原来的一半 B．缩小到原来的C．不变 D．扩大到原来的倍【答案】D【分析】由圆锥体积公式分别求解出原来的体积和变化后的体积，由此可得结果.【详解】设圆锥原来的高和底面半径分别为和，圆锥原来体积为，变化后为，，，即圆锥的体积扩大到原来的倍.故选：D.3．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”.下而函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】对于BCD，可以考察其单调性，即可否定；对于A,利用三角函数的性质，不难确定可以构造不同的定义域，其值域是相同的.【详解】，，分别是定义域内R,R和(0,+∞)上的都单调递增函数，规定定义域内的不同子集为构造函数的定义域，值域也必然不同，故都不是能够用来构造“同族函数”的函数；可构造同族函数，例如，和，.故选:A4．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为，，，则密码能被译出的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求解出密码不能译出的概率，由对立事件概率公式可求得结果.【详解】甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为，，，此密码不能译出的概率为，此密码能被译出的概率.故选：D.5．数据，，，的平均数为4，标准差为2，则数据，，，的方差和平均数分别为（）A．36，14 B．14，36 C．12，19 D．4，12【答案】A【分析】根据平均数与方差的线性运算性质计算即得.【详解】数据，，…，的平均数为4，标准差为2，所以数据，，…，的方差为4，平均数为4.根据方差和平均数的性质可得，，…，的方差为，平均数为.故选:A.6．设为实数，已知向量，.若，则向量与的夹角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据得到，求得值，确定，再计算与的数量积及模长，即求得两向量夹角的余弦值.【详解】由题意可知，由，可得，即，解得，所以，所以，所以，又，所以.故选：A.7．若，，，则事件与的关系是（）A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．无法判断【答案】B【分析】利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可【详解】解：因为，所以，又，所以事件与事件不对立，又因为，所以有，所以事件与相互独立但不一定互斥.故选：B8．如图是函数(，)的部分图象，则（）A．函数的最小正周期为B．直线是函数图象的一条对称轴C．点是函数图象的一个对称中心D．函数为奇函数【答案】C【分析】由图象先求得由相邻的最高点与零点的横坐标的差为四分之一周期，求得周期，得到角速度ω的值，由最高点的横坐标求得φ的值，然后逐项判定即得.【详解】由题意可知，根据图像得到，，，则选项A错误；，又，解得，，则，，即，，所以直线不是函数图象的一条对称轴，则选项B错误；，所以点是函数图象的一个对称中心，选项C正确；不是奇函数，所以选项D错误.故选：C.9．若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则下列取值范围中的每个x都能使不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据奇函数性质判断函数的单调性和值的正负分布，得到草图，结合平移得到函数的大致草图，再结合余弦函数图象逐一判断四个选项是否恒成立即可.【详解】由题意可知，奇函数在上单调递减，且，则在上单调递减，且，，所以可画出大致草图，而可看作的图象向左平移个单位，所以可在同一坐标系中作出草图和余弦函数的图象，当时，满足，即，A不正确；当时，满足，即，当时，满足，即，即当时，满足恒成立，即B正确；当时，满足，即，C不正确；当时，满足，即，D不正确.故选：B.10．如图，在直三棱柱中，，，是的中一点，点在上，记，若平面，则实数的值为（）A． B． C． D．1【答案】D【分析】易得平面，得到，作交于点，得到平面，通过计算确定的位置即可得到答案.【详解】∵，，∴平面，故，作交于点，此时平面，在矩形中，，所以四边形是正方形，所以，所以，又为的中点，所以为的中点，即，所以.故选：D.11．如图所示，在正方体中，点，，，分别为棱，，，上的中点，下列判断正确的是（）A．直线平面 B．直线面C．平面平面 D．平面平面【答案】D【分析】根据平面的基本性质做出截面，如图所示，然后根据线面平行的定义否定AB,根据面面平行的定义否定C,利用面面平行的判定定理证得D.【详解】过点，，的截面如图所示(，，均为中点)，所以直线与其相交于点，故A项错误；直线与直线在平面必定相交，故B项错误；直线与直线相交，故平面与平面不平行，C项错误；易得直线直线，直线直线，又∵,所以平面平面.故选:D.12．矩形中，，，是矩形内(不含边框)的动点，，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量的加法公式，可得，再根据数量积公式化简可得，结合三角函数的性质，即可求出结果.【详解】记，则，，，，所以当，时，取最小值.故选：C.二、填空题13．已知函数，则_______.【答案】【分析】根据分段函数的解析式，先求得,再求即为所求.【详解】,.故答案为:.14．已知在中，点满足，点在线段(不含端点，)上移动，若，则______.【答案】3【分析】,利用向量的线性运算求得关于的表达式，利用平面向量基本定理中的分解唯一性得到关于的表达式，进而得到答案.【详解】如图，由题意得存在实数，使得.又，所以，又∵，且不共线，故由平面向量的分解的唯一性得所以.故答案为：3.15．一组数据共有7个整数，，2，2，2，10，5，4，且，若这组数据的平均数、中位数、众数中最大与最小数之和是该三数中间数字的两倍，则第三四分位数是______.【答案】5【分析】根据平均数，中位数，众数的概念和已知条件，列式求解，注意分类讨论，求得m的值，进而得到已知得7个数，从小到大排列后，利用四舍五入法求得第三四分位数.【详解】平均数，众数=2，当时，中位数为4，则有舍掉；当时，中位数为，则有.该7个数从小到大排列是2，2，2，3，4，5，10，因为数据个数为7，而且，所以这组数据的第三四分位数为5.16．如图，在正三棱锥中，底面边长为，侧面均为等腰直角三角形，现该三棱锥的表面上有一动点，且，则动点在三棱锥表面所形成的轨迹曲线的长度为______.【答案】【分析】先找出动点在三棱锥各个面的轨迹分别为分别求出各段弧对应的圆心角，利用弧长公式即可求解.【详解】如图，轨迹为曲线，因为在正三棱锥中，底面边长为，侧面均为等腰直角三角形，所以，在三角形ABH中，因为，，，所以，.所以，所以.同理可求：，又，，所以.则，，所以点的轨迹长度为.故答案为：.【点睛】立体几何中的动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，有两种处理方法：(1)很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义法)；(2)要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式．三、解答题17．在中，角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求角；（2）若，的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理可得，化简后可求出角；（2）由的面积为，可求得，而，则，再利用余弦定理可求出【详解】（1）由正弦定理可得，因为，所以，所以，因为，所以.（2）由（1）得，因为，所以，因为，所以，由余弦定理得，，所以.18．某药厂测试一种新药的疗效，随机选择1200名志愿者服用此药，结果如下：治疗效果病情好转疗效不明显病情恶化人数800200200（1）若另一个人服用此药，请估计该病人病情恶化的概率；（2）现拟采用分层抽样的方法从服用此药的1200名志愿者中抽取6人组成样本，并从这抽出的6人中任意选取3人参加药品发布会，求抽取的3人病情都未恶化的概率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由表中的数据直接求服用药出现病情恶化的频率，然后用频率来估计概率；（2）先利用分层抽样求出得部分抽取的人数，然后利用列举法求概率即可【详解】（1）由统计表可知在1200名志愿者中，服用药出现病情恶化的频率为，所以估计另一个人服用此药病情恶化的概率为.（2）采用分层抽样的方法，从病情好转的志愿者中抽4人，从疗效不明显及病情恶化的志愿者中各取1人组成6个人的样本.将6人中病情恶化的1人用符号A代替，其余5人分别用1，2，3，4，5代替，则从6人中任意抽取3人的基本事件表示如下：(A，1，2)，(A，1，3)，(A，1，4)，(A，1，5)，(A，2，3)，(A，2，4)，(A，2，5)，(A，3，4)，(A，3，5)，(A，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，共20个基本事件.其中没有抽到病情恶化的志愿者的基本事件为：(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，(1，2，3)，(1，2.4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，共10个基本事件，因此，抽取的3人中没有病情恶化的志愿者的概率为.19．已知向量，，.（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；（2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）单调增区间为，；；（2）.【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算,并利用两角和差的三角函数公式化简得到函数的解析式，有三角函数的性质求得周期，单调增区间；（2）将不等式分离参数，根据不等式有解的意义得到；然后根据角的范围，利用三角函数的性质求得函数的最小值，进而求得的的取值范围.【详解】（1）因为所以函数的最小正周期；因为函数的单调增区间为，，所以，，解得，，所以函数的单调增区间为，；（2）不等式有解，即；因为，所以，又，故当，即时，取得最小值，且最小值为，所以.20．如图，在四棱锥中，底面，，，，，是的中点.（1）求二面角的大小；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由线面垂直的判定可证得平面，从而得到，可知所求二面角的平面角为，由长度关系可得结果；（2）由线面垂直性质和等腰三角形三线合一性质可证得，，由线面垂直关系的判定可证得平面，由线面垂直性质可得结论.【详解】（1）底面，平面，，，又，，平面，平面，平面，，又，为二面角的平面角，，，为等边三角形，，，又，，二面角的大小为；（2）平面，平面，，是的中点，，.又，平面，平面，又平面，.21．雪豹处于高原生态食物链的顶端，亦被人们称为“高海拔生态系统健康与否的气压计”.而由于非法捕猎等多种人为因素，雪豹的数量正急剧减少，现已成为濒危物种.在中国，雪豹的数量甚至少于大熊猫.某动物研究机构使用红外线触发相机拍摄雪豹的照片，已知红外线触发相机在它控制的区域内拍摄到雪豹的概率为0.2.（1）假定有5个红外线触发相机控制某个区域，求雪豹进入这个区域后未被拍摄到的概率；（2）要使雪豹一旦进人这个区域后有0.9以上的概率被拍摄到，需至少布置几个红外线触发相机().【答案】（1）；（2）11个.【分析】（1）先利用对立事件概率公式求得任意一个摄像机没有拍到雪豹的概率，然后利用独立事件同时发生的概率乘法公式求得都没有拍到雪豹的概率；（2）求得布置个红外线触发相机没有拍摄到雪豹的概率为，得到拍摄到雪豹的概率为，令，利用对数求解此不等式，利用收尾法即得答案.【详解】（1）雪豹被拍摄到的概率，即至少有1个红外线触发相机拍摄到雪豹的概率.设雪豹被第个红外线触发相机拍摄到的事件为，那么5个红外线触发相机都未拍摄到雪豹的事件为.∵事件相互独立，∴雪豹未被拍摄到的概率为,当有5个红外线触发相机控制某个区域时，雪豹进入这个区域后未被拍摄到的概率为.（2）由（1）若布置个红外线触发相机没有拍摄到雪豹的概率为，则拍摄到雪豹的概率为，要使雪豹一旦进人这个区域后有0.9以上的概率被拍摄到，则，∴，两边取常用对数，得，∵，∴.∴至少需要布置11个红外线触发相机才能有0.9以上的概率拍摄到雪豹.22．如图，已知四棱锥，为等边三角形，直线，，两两垂直，且，为