2020-2021学年山西省晋中市高一上学期期末数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年山西省晋中市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为，即，所以，所以，因为所以故选：C2．设，，，则，，的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用指数函数和对数函数的性质分别比较，，与中间量0，1的大小，从而可比较出，，的大小关系【详解】解：因为在上单调递增，且，所以，即，因为在上单调递增，且，所以，即，因为在上单调递减，且，所以，即，所以，故选：A3．已知，，且，则ab的最大值为（）A． B．4 C． D．2【答案】D【分析】由基本不等式可构造关于的不等式，解不等式求得结果.【详解】，（当且仅当时取等号），解得：，即的最大值为故选【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题，属于基础题.4．已知，则（）A． B．4 C． D．2【答案】C【分析】利用二倍角公式化简即得解.【详解】由题得.故选：C.5．函数的定义域是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，列出不等式组，即可得出答案.【详解】由题意知，解得故选：B【点睛】本题主要考查了求具体函数的定义域，属于基础题.6．函数的大致图象是A． B．C． D．【答案】C【分析】去掉绝对值将函数化为分段函数的形式后可得其图象的大体形状．【详解】由题意得，所以其图象的大体形状如选项C所示．故选C．【点睛】解答本题的关键是去掉函数中的绝对值，将函数化为基本函数后再求解，属于基础题．7．如图点是角的终边与单位圆的交点，则点一定在下列哪个函数图象上（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角函数的定义，得到，进而得到点，即可求解.【详解】由题意，点是角的终边与单位圆的交点，可得，又由点，即点，所以点一定在函数图象上.故选：B.8．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受高斯白噪声扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽､信道内所传信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比按照香农公式，在不改变的情况下，将信噪比从1999提升至原来的10倍，则大约变为原来的几倍（）(参考数据：，)A．2.5 B．1.3 C．10 D．5【答案】B【分析】根据题意先表示出，所对应的，然后求解的值即可【详解】解：由题意得，，所以故选：B二、多选题9．下列说法正确的是（）A．函数是上的偶函数B．函数的一个周期为C．函数在区间内有零点D．函数在区间上单调递增【答案】ACD【分析】根据函数奇偶性的定义，可判定A正确；根据反例，可判定B不正确；利用对数函数和一次函数的单调性看判断函数的单调性，结合零点的存在定理，可判定C、D正确.【详解】对于A中，函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数为上的偶函数，所以A正确；对于B中，函数，可得，，所以，所以B不正确；对于C中，函数，因为在是单调递增函数，所以函数在是单调递增函数，又由，所以，所以函数在区间内有只有一个零点，所以C、D正确；故选：ACD10．下列不等式成立的是（）A．若a＜b＜0，则a2＞b2 B．若ab＝4，则a＋b≥4C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b＞0，m＞0，则【答案】AD【分析】由不等式的性质对各个选项进行推理、验证可得正确答案.【详解】解：对于A，若，根据不等式的性质则，故A正确；对于B，当，时，，显然B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，，因为，，所以，，所以所以，即成立，故D正确．故选AD．【点睛】本题主要考查不等式的性质及应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.11．将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数的图象，对于函数有以下四个判断，其中正确的是（）A．函数的解析式为B．函数图象关于直线对称C．函数在区间上单调递增D．若函数在区间上的最小值为，则【答案】BD【分析】A,由题得的图象，所以该选项错误；B,的对称轴方程为.当时，，所以该选项正确；C，函数在区间上单调递减，所以该选项错误；D,函数在区间上的最小值为,所以.所以该选项正确.【详解】A,将函数的图象向左平移个单位得到，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数的图象，所以该选项错误；B,，令.当时，，所以该选项正确；C，当时，，所以函数在区间上单调递减，所以该选项错误；D,当时，，函数在区间上的最小值为,所以.所以该选项正确.故选：BD12．设，关于的方程，给出下列四个叙述，其中正确的是（）A．存在实数，使得方程恰有1个实根B．任意实数，方程至少有1个实根C．存在实数，使得方程恰有3个不同的实根D．存在实数，使得方程恰有4个不同的实根【答案】AC【分析】作出的图象，令，得出，判断一元二次方程根的分布，数形结合即可求解.【详解】的图象如下所示：A，令，则，其中，当时，，，即，由图象可知，有一解，故A正确；B，当时，，方程无解，故B错误；C，当时，，又，，不妨设，于是，，由图可知时有两解，时有一解，共有三解，故C正确；D，由C项可知，D错误.故选：AC三、填空题13．72°化为弧度制为__________.【答案】【分析】根据为弧度计算即可.【详解】由题意得，.故答案为：【点睛】本题主要考查了角度与弧度制的互化,属于基础题.14．若f（10x）＝x，则f（5）＝_________．【答案】lg5【详解】试题分析：令10x＝t，则，∴，∴f（5）＝lg5【解析】本题考查函数解析式的求法及求值点评：此类问题常常用换元法求出函数的解析式，然后代入值求解，属基础题15．已知点，，在二次函数的图象上，且，则实数的取值范围为___________.【答案】.【分析】根据二次函数图象与性质，结合题意，得到，即可求解.【详解】如图所示，二次函数表示开口向上的抛物线，且对称轴为，所以函数在区间上单调递增，在区间单调递减，因为点，，在函数的图象上，且，可得，即，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.16．已知，函数在区向上单调递增，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】根据余弦函数的单调递增区间求得的取值范围，这个取值范围包含区间，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】由，且，解得，所以，解得：，，又，由，得，由于，故，所以.故答案为：.四、解答题17．设全集为，集合，.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）解不等式确定集合，根据集合运算的定义计算；（Ⅱ）由得，根据集合包含关系可得的不等关系，从而得取值范围．【详解】（Ⅰ）或，∴.又，∴，∴.（Ⅱ）选择①作为已知条件.（选择②、③的解法同①）∵，∴，又由得，当时，，解得；当时，或，∴或，∴或.综上，可得的取值范围为.【点睛】本题考查集合的运算，考查集合的包含关系，属于基础题．18．（1）求值：（2）求值：（3）化简：【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用指数的运算性质即可求解.（2）利用对数的运算性质即可求解.（3）利用三角函数的诱导公式即可求解.【详解】（1）原式.（2）原式.（3）原式19．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足90万箱时，；当产量不小于90万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【答案】（1）；（2）90万箱.【分析】（1）根据当产量不足90万箱时，；当产量不小于90万箱时，，分和两种情况，利用销售收入减固定成本再减另投入成本，建立分段函数模型.（2）当时，利用二次函数的性质求得最大值；当时，利用基本不等式求得最大值，然后从中取最大的即可.【详解】（1）当时，；当时，，∴，（2）当时，，∴当时，取最大值，最大值为1600万元；当时，，当且仅当，即时，取得最大值，最大值为1800万元．综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元．【点睛】本题主要考查函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）首先将函数解析式变形为，再根据指数函数的性质解不等式即可；（2）依题意有解，令，则在上有解，参变分离得到，根据二次函数的性质求出的取值范围；【详解】解：（1）当时因为，即，因为恒成立，所以，即，解得，即原不等式的解集为（2）因为有零点，即有解，令，故在上有解，即在上有解，因为，在上的值域为所以21．已知定义在上的函数，定义在上的函数.（1）当时，若与的值域相同，求的值；（2）若，讨论的单调性.【答案】（1）；（2）答案见解析；【分析】（1）首先求出与的值域，根据值域相同得到方程，令，根据函数的单调性及特殊点的函数值，求出参数的值；（2）对二次函数的对称轴及与的函数值的大小分类讨论，得到函数的单调区间；【详解】解：（1）因为，所以，所以因为，所以，所以，即因为与的值域相同，所以，令，因为与在上单调递增，所以函数在上单调递增，又，所以；（2）因为，所以，又，，当时，此时函数在上单调递减，在上单调递增；当时，且，所以函数在上单调递减，在和上单调递增；当时，且，所以函数在上单调递减，在上单调递增；22．如图，矩形中，，，点，分别在线段，(含端点)上，为的中点，，设.（1）求角的取值范围；（2）求出的周长关于角的函数解析式，并求的周长的最小值及此时的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意，当点位于点时，角取最大值，得到，当点位于点时，取得最大值，角取最小值，求得，即可求解.（2）在直角中，求得，在直角中，求得，在中，由勾股定理求得，得到，利用换元法和三角函数的性质，结合函数的单调性，即可求解.【详解】（1）由题意，当点位于点时，角取最大值，此时，因为，所以，当点位于点时，取得最大值，角取最小值，由对称性知此时，所以，所以角的取值范围是.（2）在直角中，且，所以，在直角中，且，所以，在中，由勾