数学自主练习：直接证明

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1.要证明+＜可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）A.综合法B。分析法C。反证法D.归纳法思路解析：要证明＜成立，用分析法最合适.答案：B2。a＞0，b＞0,则下列等式中不成立的是（）A.a+b+≥B。(a+b）（+)≥4C.≥a+bD。。思路解析：利用基本不等式即可.对于A：a+b+≥+≥,当且仅当a=b时取等号，所以成立.对于B：（a+b）（+)≥·2=4，当且仅当a=b时取等号，所以成立.对于C：≥（a+b）·=a+b，当且仅当a=b时取等号,所以C成立。对于D：，所以D错误.3。设x＞0,y＞0,A=，B=，则A与B的大小关系为（）A.A＞BB。A≥BC.A＜BD。A≤B思路解析：∵x＞0,y＞0，∴B==A,即B＞A。答案：C4。若a＞0，b＞0,则有（）A.＞2b—aB。＜2b-aC。≥2b—aD。≤2b—a。思路解析:b2—2ab+a2≥0b2≥a(2b-a）≥2b-a.答案：C5。若p=，q=（m、n、b、c、d均为正数)，则p、q的大小关系为(）A。p≥qB.p≤qC。p＞qD.不确定思路解析：q=≥=p.答案:B6.若x、y∈R,且2x2+y2=6x,则x2+y2+2x的最大值为()A。14B。15C思路解析:由y2=6x-2x2≥0得0≤x≤3,从而x2+y2+2x=-（x—4）2+16.∴当x=3时，最大值为15.答案:B7。已知a＞b＞c,n∈N*，且+≥恒成立,则n的最大值为（）A.2B。3C思路解析:∴nmax=4答案：C8.已知：函数f(x)=tanx，x∈（0，）,若x1，x2∈(0，）且x1≠x2。证明：［f(x1)+f（x2)］＞f（)证明:欲证［f(x1)+f（x2）］＞f即证：(tanx1+tanx2）＞tan只需证：,即证∵x1+x2∈（0，π)，∴sin（x1+x2）＞0，1+cos(x1+x2）＞0，cosx1·cosx2＞0,∴只需证1+cos（x1+x2)＞2cos（x1+x2）＞2cosx1·cosx2,即证:1+cos(x1+x2)＞cos(x1+x2）+cos(x1-x2）,即证:1＞cos(x1—x2）。∵x1,x2∈(0，)且x1≠x2，∴x1-x2∈（-,0）∪（0,）.∴0＜cos（x1-x2）＜1，即1＞cos(x1—x2)成立.故原等式成立。9。已知a、b、c表示△ABC的边长，m＞0,求证：。证明:构造函数f（x)=，x＞0。设x1,x2∈(0，+∞),且x1＜x2。且f(x2）-f（x1)==。∵x1，x2∈（0,+∞),x2＞x1,∴x2—x1＞0,m+x2＞0，m+x1＞0,∴f（x2)-f(x1）＞0,即f(x2)＞f（x1）∴f（x)=在（0,+∞)上是增函数.在△ABC中，a+b＞c，则＞成立。∴有，∵,∴成立。我综合我发展10.设a与b为正数并且满足a+b=1,a2+b2≥k,则k的最大值为（）A.B。C.D。1思路解析：∵a2+b2≥(a+b）2=（当且仅当a=b时取等号）.∴Kmax=.答案：C11。已知函数f（x）=(）x,a、b∈R+，A=f()，B=f（)，C=f（)，则A、B、C的大小关系为（)A。A≤B≤CB.A≤C≤BC.B≤C≤AD.C≤B≤A思路解析:≥≥，又函数f（x)=（）x，在(-∞，+∞)上是单调减函数.∴f(）≤f（)≤.答案:A12。（精典回放）函数f(x）=3x，对于任意x1、x2,都有(）A.f（x1x2)=f(x1）f（x2）B.f(x1x2）=f(x1)+f（x2)。C。f(x1+x2)=f（x1）f(x2)D.f(x1+x2）=f(x1）+f(x2)思路解析:∵f(x1+x2）==f(x1）·f（x2)答案:C13.(精典回放）设f（n）=（n∈N*）,则f（n+1)-f(n)=()A。B。C.+D.—思路解析：∵f（n+1）=∴f（n+1）-f(n）==答案:D14.(精典回放)已知函数f（x）=,g（x）=(1）证明f（x)是奇函数；（2）分别计算f(4)-5f(2)g（2),f（9）-5f(3)g（3）的值，由此概括出涉及函数f(x）和g(x）的对于所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.证明：（1）函数f（x)的定义域(-∞,0)∪（0,+∞）关于原点对称,又f(-x）=.==—f（x)∴f(x）为奇函数.（2)f（4)—5f（2）g(2)=0f（9)—5f由此归纳猜想：f（x2）—5f（x）g（x）=0(x∈R,x≠0).∵f（x2)-5f==015.（2006年天津高考卷，文21)已知数列{xn｝满足x1=x2=1，并且(λ为非零参数，a=2，3,4，…）.（1）若x1、x3、x5成等比数列，求参数λ的值;（2）设0＜λ＜1，常数k∈N*,且k≥3.证明：(μ∈N＊)。(1)解:由已知x1=x2=1,且x3=λ，x4=λ3,x5=λ6。若x1,x3，x5成等比数列，则=x1·x5。即λ2=