安全系统工程课件：事故树分析（四）-行列法及最小径集的求法

行列法及最小径集的求法本课重难点及教学目标一、用行列法求最小割集二、最小径集的求法三、判别割（径）集数目的方法四、min割集和min径集在FTA分析中的作用课程小结课程复习思考题下次课预习要点本课重难点及教学目标本课的重点及难点用行列法求最小割集的方法、最小径集的求法、判别割（径）集数目的方法以及最小割集和最小径集在事故树分析中的作用。教学目标掌握用行列法求最小割集的方法、最小径集的求法、判别割（径）集数目的方法以及最小割集和最小径集在事故树分析中的作用。一、用行列法求最小割集

行列法：又称下行法，这种方法是1972年由福塞尔（Fussel）提出的，所以又称福塞尔法。该算法的基本原理：是从顶上事件开始，由上往下进行，“与门”仅增加割集的容量（即割集内所包含的基本事件的个数），而不增加割集的数量；“或门”则增加割集的数量，而不增加割集的容量。一、用行列法求最小割集每一步均按照上述的原则，由上而下排列，依次把上一层的事件代换为下一层的事件。代换时，把“与门”连接的输入事件按行横向排列，把“或门”连接的输入事件按列纵向排列，这样逐层向下，直到所有逻辑门都置换成基本事件为止。得到的全部事件积的和，即是布尔割集，再经过布尔代数进行化简，便得到所求的最小割集。一、用行列法求最小割集富塞尔的基本原理：与门使最小割集容量增大；或门使最小割集数量增加。

【例2-19】为了说明这种计算方法，现以图2-30所示的从脚手架上坠落伤亡事故事故树为例，采用行列法求其最小割集。解：其求解步骤如下：一、用行列法求最小割集二、最小径集的求法对偶树法根据对偶原理，事故树顶上事件发生，就是其对偶树（成功树）顶上事件不发生。因此，求最小径集的方法为：二、最小径集的求法（1）求最小径集是利用它与最小割集的对偶性，首先作出与事故树对偶的成功树。

方法：就是将原来事故树中的“或门”换成“与门”，“与门”换成“或门”，各类事件发生换成不发生，即将全部事件符号加上“′”，变成事件补的形式，这样便可得到与原事故树对偶的成功树。二、最小径集的求法（2）然后，利用前述求取最小割集的方法求出成功树的最小割集并经对偶变换后就得到事故树的最小径集。图2-31给出了两种常用转换方法。二、最小径集的求法

为什么要像这样转换呢？因为，对于“与门”连接输入事件和输出事件的情况，只要有一个事件不发生，输出事件就可以不发生，故在成功树中换用“或门”连接输入事件和输出事件；而对于“或门”连接的输入事件和输出事件的情况，则必须所有输入事件均不发生时，输出事件才不发生，故在成功树中换用“与门”连接输入事件和输出事件。二、最小径集的求法

图2-32所示即为与图2-30的事故树对偶的成功树。二、最小径集的求法例如采用行列法求如图2－30所示的事故树的最小径集的求解过程如下所示。最小径集（成功树）。二、最小径集的求法

这样便得到成功树的四个最小割集，经过对偶变换后就是事故树的4个最小径集，其合取标准形式为：

每一个逻辑和就是一个最小径集，则得到事故树的4个最小径集为：{x1，x2，x3，x4}，{x5，x6}，{x7}，{x8}

二、最小径集的求法同样，也可以用最小径集来表示事故树，如图2-33所示。其中P1、P2、P3、P4分别表示4个最小径集。三、判别割（径）集数目的方法从以上例题可以看出，同一事故树中最小割集和最小径集的的数目往往是不相等的。就一个具体的系统而言，如果在事故树中的与门多、或门少时，则最小割集的数目较少，分析时从最小割集入手较为简便；反之，若或门多与门少时，则最小径集数目较少，分析时从最小径集入手较为简便。四、判别割（径）集数目的方法若遇到很复杂的系统，往往很难根据逻辑门的数目来判定割(径)集的数目。在求最小割集的行列法中曾指出，与门仅增加割集的容量(即基本事件的个数)，而不增加割集的数量，或门则增加割集的数量，而不增加割集的容量。根据这一原理，下面介绍一种用“加乘法”求割(径)集数目的方法。

四、判别割（径）集数目的方法该法给每个基本事件赋值为1，直接利用“加乘法”求割(径)集数目。但要注意，求割集数目和径集数目，要分别在事故树和成功树上进行。四、判别割（径）集数目的方法

【例2-21】如图2-34所示，首先根据事故树画出其成功树，再给各基本事件赋予“1”，然后根据输入事件与输出事件之间的逻辑门确定“加”或“乘”，若遇到或门就用“加”，遇到与门则用“乘”。四、判别割（径）集数目的方法从上例可看出，割集数目比径集数目多，此时用径集分析要比用割集分析简单。如果估算出某事故树的割、径集数目相差不多，一般从分析割集入手较好。这是因为最小割集的意义是导致事故发生的各种途径，得出的结果简明、直观。另外，在做定量分析时，用最小割集分析，还可采用较多的近似公式，而最小径集则不能。四、判别割（径）集数目的方法

必须注意，用上述方法得到的是割、径集数目，不是最小割、径集的数目，而是最小割、径集的上限。只有当事故树中没有重复的基本事件时，得到的割、径集的数目才是最小割、径集数目。五、Min割集和Min径集在FTA分析中的作用1、最小割集在事故树分析中的作用归纳起来有四个方面:（1）表示系统的危险性。最小割集的定义明确指出，每一个最小割集都表示顶事件发生的一种可能，事故树中有几个最小割集，顶事件发生就有几种可能。从这个意义上讲，最小割集越多，说明系统的危险性越大。五、Min割集和Min径集在FTA分析中的作用（2）表示顶事件发生的原因组合。事故树顶事件发生，必然是某个最小割集中基本事件同时发生的结果。一旦发生事故，就可以方便地知道所有可能发生事故的途径，并可以逐步排除非本次事故的最小割集，而较快地查出本次事故的最小割集，这就是导致本次事故的基本事件的组合。显而易见，掌握了最小割集，对于掌握事故的发生规律，调查事故发生的原因有很大的帮助。五、Min割集和Min径集在FTA分析中的作用（3）为降低系统的危险性提出控制方向和预防措施。每个最小割集都代表了一种事故模式。由事故树的最小割集可以直观地判断哪种事故模式最危险，哪种次之，哪种可以忽略，以及如何采取措施使事故发生概率下降。（4）利用最小割集可以判定事故树中基本事件的结构重要度和方便地计算顶上事件发生的概率。五、Min割集和Min径集在FTA分析中的作用2、最小径集在事故树分析中的作用

主要表现在以下三个方面:（1）表示系统的安全性。最小径集表明，一个最小径集中所包含的基本事件都不发生，就可防止顶事件发生。可见，每一个最小径集都是保证事故树顶事件不发生的条件，是采取预防措施，防止发生事故的一种途径。从这个意义上来说，最小径集表示了系统的安全性。五、Min割集和Min径集在FTA分析中的作用（2）选取确保系统安全的最佳方案。每一个最小径集都是防止顶事件发生的一个方案，可以根据最小径集中所包含的基本事件个数的多少、技术上的难易程度、耗费的时间以及投入的资金数量，来选择最经济、最有效地控制事故的方案。五、Min割集和Min径集在FTA分析中的作用（3）利用最小径集同样可以判定事故树中基本事件的结构重要度和计算顶事件发生的概率。在事故树分析中，根据具体情况，有时应用最小径集更为方便。

五、Min割集和Min径集在FTA分析中的作用就某个系统而言，如果事故树中与门多，则其最小割集的数量就少，定性分析最好从最小割集入手。反