华师大九年级下数学教案27章圆的认识

27.1.1圆的认识

教学目标1.使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念，

2.让学生深刻认识圆中的基本概念。

教学重点圆中的基本概念的认识。

教学难点对等弧概念的理解。

教学过程

（一）情境导入：圆是如何形成的？

请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。如

右图，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A

随之旋转所形成的图形。

同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。

由以上的画圆与解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么

决定的？

而大小又是由谁决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长

度决定）

（二）问题：

据统计，某个学校的同学上学方式是，有50%的同学步行上学，有20%

的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有30%,请你用扇形统

计图反映这个学校学生的上学方式。

我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，右上图28.1.1

就是反映学校学生上学方式的扇子形统计图。

如图28.1.2,线段OA、OB、0c都是圆的半径，线段AB为直径，.

这个以点。为圆心的圆叫作“圆O”，记为“。。”。

线段AB、BC、AC都是圆O中的弦，曲线BC、BAC都是圆中的

弧，分别记为、，其中像弧这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，

像弧.这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。

NAOB、ZAOC>NBOC就是圆心角。

结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基

本兀素。

三、课堂练习

1、直径是弦吗？弦是直径吗？

2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？

3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？

4、比较右图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，

再用圆规验证你的结论是否正确。

5、说出上右图中的圆心角、优弧、劣弧。

6、直径是圆中最长的弦吗？为什么？

（四）课后小结

小结本节课我们认识了圆中的一些元素，同学应能从具体的图形中对

这些元素加以识别。

课后作业：

教学反思：

27.1.2圆的对称性

教学目标：1.使学生知道圆是中心对称图形与轴对称图形，并能运用

其特有的性质推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，

2.能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的

科学的方法。

教学重点：由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。

教学难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问

题。

教学过程：

（一）情境导入

要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合,

使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。

如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会

完全重合。

由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一

点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条

直线都是圆的对称轴。

（二）实践与探索1

（1）、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。

实验1、将图形28.1.3中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度,

得到图28.L4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现

ZAOB=ZAOB,AB=AB,AB=ABo

实质上，ZAOB确定了扇形AOB的大小，所以，在同一个圆中,

如果圆心角相等，则它所对的弧相等，所对的弦相等。

问题：在同一个圆中，如果弧相等，则所对的圆心角，所对的弦是否

相等呢？

在同一个圆中，如果弦相等，则所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？

（三）应用与拓展思考：如图，在一个半径为6米的圆形花坛里,

准备种植六种不同颜色的花卉，要求每种花卉的种植面积相等，请你

帮助设计种植方案。

（2）如图28.1.5,在。O中，AC=BC,Zl=45°,

求N2的度数。

（3）如图，在。。中，=,NB=70°.求NC度数.

O（4）如图，48是直径，==,ZB（9C=40°,求

/石的度数

（四）课后小结

本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对

称图形，而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质，即（1）同一个

圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等。（2）在同一个圆

中，如果弧相等，则所对的圆心角，所对的弦相等。（3）在同一个

圆中，如果弦相等，则所对的圆心角，所对的弧相等。

课后作业：

教学反思：

27.1.2圆的对称性⑵

教学目标1.知道圆是轴对称图形，并会用它推导出垂径定理。

2.能运用垂径定理解决问题，培养学生善于从实验中获取知

识的科学的方法。

教学重点：知道圆是轴对称图形，并会用它推导出垂径定理

教学难点：能运用垂径定理解决问题

教学过程

（一）实验情境导入

我们知道圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对

称轴，由此我们可以如图28.1.6那样十分简捷地将一个圆2等分、

4等分、8等分.

试一试

如图如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦垂

足为尸，再将纸片沿着直径对折，比较力尸与尸B、与，你能发

现什么结论？

你的结论是：____________________________________________

这就是我们这节课要研究的问题。

（二）应用与拓展

例1、如图，是。。的直径，弦COIN后于M

1、=1cm,=4cm,贝i」=cm,=cm,0O

的周长为cm.

2、若CD=8,AB=10,则OM=

3、若BM=1,CD=8,贝iJOC=

例2、如图已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大/<Z?\

圆的弦AB交小圆于点C、D(1)试说明线段AC与人士g4

BD的大小关系。图4-4-6

(2)若AB=8,CD=4,求圆环的面积。

例3、在直径为10的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图示，如

果油面宽AB=8,则油的最大深度是

(三)课后小结

课后作业：

教学反思：

27.1.3圆周角

教学目标：

1.知道什么样的角是圆周角

2.了解圆周角与圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征

3.能应用圆心角与圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解

决相关问题

4.通过对圆心角与圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识,

进行实验、猜想、论证，从而得到新知。进一步体会分类讨论的思

想。

教学重点：1、了解圆周角与圆心角的关系，直径所对的圆周角的特

征

2、能应用圆心角与圆周角的关系、直径所对的圆周角的特

征解决相关问题

教学难点：对圆心角与圆周角关系的探索，分类思想的应用。

教学过程：

（一）情境导入

如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点

在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另

一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。

如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆

心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种

特殊的角，它的名称叫做圆周角。

（二）实践与探索1:圆周角

究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的解就叫做圆周角，而

图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角。同学们可以通过讨论归

纳如何判断一个角是不是圆周角。（顶点在圆上，两边与圆相交的角

叫做圆周角）练习：试找出图中所有相等的圆周角。

（三）实践与探索2:

圆周角的度数

（一）探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而90。的圆周角所

对的弦是否是直径

如图28.L9,线段AB是。。的直径，点C是。。上任意一点（除

点A、B）,那么，NZCg就是直径力石所对的圆周角.想想看，

NZC石会是怎么样的角？为什么呢?

启发学生用量角器量出ZAGB的度数，而后让同学们再画几个直径AB

所对的圆周角，并测量出它们的度数，通过测量，同学们感性认识

到直径所对的圆周角等于90。（或直角），进而给出严谨的说明。

证明：因为OA=OB=OC,所以△力都是等腰三角形，

所以ZOBC=ZOCB.又ZZOBC

+/ZCB=180°,所以ZACB=ZOCA+ZOCB==

90°.因此，不管点。在。。上何处（除点Z、B）,NZCB总等于

90°,即

半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。反过来也是

成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径

（二）探究同一条弧所对的圆周角与圆心角的关系

1、分别量一量图28.1.10中弧AB所对的两个圆周角的度数比较

一下.再变动点。在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化.

你发现其中有什么规律吗？

（2）分别量出图28.L10中弧48所对的圆周角

C

与圆心角的度数，比较一下，你发现什么？

我们可以发现，圆周角的度数没有变化.并且圆周

图28」」。角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半。

由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周

角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。

为了验证这个猜想，如图28.1.11所示，可将圆对折，使折痕经

过圆心。与圆周角的顶点G这时可能出现三种情况：（1）折痕是

圆周角的一条边，（2）折痕在圆周角的内部，（3）折痕在圆周角

的外部。

（三）应用与拓展

1、在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等吗？为什么？相等

的圆周角所对的弧相等吗，为什么？

2、你能找出右图中相等的圆周角吗？

3、这是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？

你有什么简捷的办

法？

图28.1.12

1、如图，如图28.1.12,40是。。的直径，/4=80°.求

/40。的度数.

在圆中，一条弧所对的圆心角与圆周角分别为（2x+100）°与（5x

-30）°,求这条弧所对的圆心角与圆周角的度数.

（四）课后小结本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对的

圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；由这个结论进一步得到：同

圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心

角的一半；相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角

都相等，都等于90°（直角）。90°（直角）的圆周角所对的弦是

圆的直径等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵

活应用他们解决相关问题。

课后作业：课本43页习题6、7

教学反思:

27.2.1点与圆的位置关系

教学目标：

1.了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的

位置关系

2.掌握不在一条直线上的三点确定一个圆，能画出三角形的外接

圆，求出特殊三角形的外接圆的半径

3.渗透方程思想，分类讨论思想。

教学重点：用数量关系判断点与圆的位置关系，用尺规作三角形的外

接圆，求直角三角形、等边三角形与等腰三角形的半径。

教学难点：运用方程思想求等腰三角形的外接圆半径。

教学过程：

（一）情境导入

同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许

多圆组成的，射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定

的；右图是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕

迹。你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算。（击中最里面的

圆的成绩为10环，依次为9、8、…、1环）

这一现象表达了平面上的点与圆的位置关系，如何判断点与圆的位

置关系呢？这就是本节课研究的课题。

（二）实践与探索1：点与圆的位置关系

我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，若点在圆上,

则这个点到圆心的距离等于半径，若点在圆外，则这个点到圆心的距

离大于半径，若点在圆内，则这个点到圆心的距离小于半径。

如图28.2.1,设OO的半径为r,4点在圆内，8点在圆上，。点在

圆外，那OA<r,OB=r,OC>r.反过来也成立,

即

若点A在O&芮OA<r

若点A在。&壬OA^r

若点A在。G乔OA>r

思考与练习

1、。。的半径厂=55，圆心。到直线的AB距离d=OD=35。在直

线AB上有P、Q、R三点，且有PZ）=4cvn,QD>4cm,RD<4cm。P、

Q、R三点对于。。的位置各是怎么样的？

2、放中，NC=90。，CD±AB,AB=13,4c=5,对C点为圆

心，鲁为半径的圆与点A、B、D的位置关系是怎样的？

（三）实践与探索2:不在一条直线上的三点确定一个圆

问题与思考:平面上有一点A,经过A点的圆有几个？圆心在哪里？

平面上有两点A、B,经过A、B点的圆有几个？圆心在哪里？平面

上有三点A、B、C,经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？。

从以上的图形可以看到，经过平面上一点的圆有无数个，这些

圆的圆心分布在整个平面；经过平面上两点的圆也有无数个，这些圆

的圆心是在线段AB的垂直平分线上。经过A、B、C三点能否画圆

呢？同学们想一想，画圆的要素是什么？（圆心确定圆的位置，半径

决定圆的大小），所以关键的问题是定其加以与半径。

如图28.2.4,如果4、B、。三点不在一条直线上，则经过2、

8两点所画的圆的圆心在线段48的垂直平分线上，而经过A。两

点所画的圆的圆心在线段石。的垂直平分线上，此时，这两条垂直平

分线一定相交，设交点为则04=。'=。。，于是以。为圆心,

。4为半径画圆，便可画出经过Z、B、。三点的圆.

思考：如果A、B、C三点在一条直线上，能画出经过三点的圆吗？

为什么？

即有：不在同一条直线上的三个点确定一个圆

也就是说，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一

个.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.三角形外接圆的

圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角

形.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角

形三个顶点的距离相等。

思考：随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定

可以画一个圆经过这四点？请举例说明。

（四）应用与拓展

例1、如图，已知用AABC中，NC=90。，若AC=5ca,\

BC=12cm,求AABC的外接圆半径。例।

解：略

例2、如图，已知等边三角形ABC中，边长为6cm,求它的外接圆

半径。

解：略

例3、如图，等腰AABC中，AB=AC=13cm,BC=10cm,求AABC夕卜

接圆的半径。

（四）课后小结本节课我们学习了用数量关系判断点与圆的位置关系

与不在同一直线上的三点确定一个圆，求解了特殊三角形直角三角

形、等边三角形、等腰三角形的外接圆半径，在求解等腰三角形外接

圆半径时，运用了方程的思想，希望同学们能够掌握这种方法，领会

其思想。

课后作业：习题1、2、3、4

教学反思：

27.2.2直线与圆的位置关系

教学目标1、使学生掌握直线与圆的位置关系，能用数量来判断直线

与圆的位置关系。

2、进一步体会分类讨论思想。

教学重点用数量关系（圆心到直线的距离）判断直线与圆的位置关

系

教学难点用数量关系（圆心到直线的距离）判断直线与圆的位置关

系

教学过程

（一）情境导入：用移动的观点认识直线与圆的位置关系

1、同学们也许看过海上日出，如右图中，如果我们把太阳看作一个

圆，则太阳在升起的艇中，它与海平面就有右图中的三种位置关

系。

2、请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬

币，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最

少时有几个？最多时有几个？

(二)实验与探究1：

数量关系判断直线与圆的位置关系从以上的两个例子，可以看到,

直线与圆的位置关系只有以下三种，如下图所示：如果一条直线与一

个圆没有公共点，则就说这条直线与这个圆相离，如图28.2.6(1)

所示.如果一条直线与一个圆只有一个公共点，则就说这条直线与

这个圆相切，如图28.2.6(2)所示.此时这条直线叫做圆的切线，

这个公共点叫做切点.如果一条直线与一个圆有两个公共点，则就说

这条直线与这个圆相交，如图28.2.6(3)所示.此时这条直线叫做

圆的割线.

如何用数量来表达圆与直线的位置关系呢？

如上图，设。。的半径为r,圆心。到直线/的

如何用数量来表达圆与直线的位置关系呢？

如上图，设O。的半径为心圆心。到直线/的距离为a从图中可

以看出：

若〃>/•一直线/与。。相离；

若直线/与0。相切；

若d<r直线/与。。相交；

所以，若要判断圆与直线的位置关系，必须对圆心到直线的距离与

圆的半径进行比较大小，由比较的结果得出结论。

（三）应用与拓展

练习1、已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线/的距离是：

（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米.

直线/与圆分别有几个公共点？分别说出直线/与圆的位置关系。

练习2、已知圆的半径等于10厘米，直线与圆只有一个公共点，求

圆心到直线的距离.

练习3、如果。。的直径为10厘米，圆心。到直线的距离为

10厘米，则。。与直线AB有怎样的位置关系？

例1、RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,CM1AB于M,以

C为圆心，CM为半径作。C,则点A、B、C、AB的中点E与OC

的位置关系分别是、、、。

解略

（四）课后小结本节课我们学习了直线与圆的位置关系，当我们判断

直线与圆的位置关系时，应该用数量关系（圆心到直线的距离）来表

达，即上面讲解的圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，从而

断定是哪种关系。

若4>/一直线/与。。相离；

若4=厂口直线/与。。相切；

若直线/与。。相交；

习题5、6、7

课后作业：

教学反思

27.2.3切线（1）

教学目标：1、使学生掌握切线的识别方法，并能初步运用它解决有

关问题；2、通过切线识别方法的学习，培养学生观察、分析、归纳

问题的能力

教学重点：切线的识别方法

教学难点：方法的理解及实际运用

教学过程：

（一）复习情境导入：1、复习、回顾直线与圆的三种位置关系.

2、请学生判断直线与圆的位置关系.

学生判断的过程，提问：你是怎样判断出图中的直线与圆相切的？

根据学生的回答，继续提出问题：如何界定直线与圆是否只有一个

公共点？教师指出，根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的

切线，但有时使用定义识别很不方便，为此我们还要学习识别切线

的其它方法.（板书课题）

（二）实践与探索1:圆的切线的判断方法1、由上面的复习，我们可

以把上节课所学的切线的定义作为识别切线的方法1——定义法：与

圆只有一个公共点的直线是圆的切线.

2、当然，我们还可以由上节课所学的用圆心到直线的距离〃与半径一

之间的关系来判断直线与圆是否相切，即：当d=〃时，直线与圆的位

置关系是相切.以此作为识别切线的方法2——数量关系法：圆心到

直线的距离等于半径的直线是圆的切线.

3、实验：作。。的半径OA,过A作1_LOA可以发现：（1）直线/

经过半径。1的外端点A；（2）直线/垂直于半厂一^

径。A.这样我们就得到了从位置上来判断直线11°；

是圆的切线的方法3——位置关系法：经过半一—

径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切

线.

三、课堂练习

思考:现在,任意给定一个圆,你能不能作出圆的切线？应该如何作？

请学生回顾作图过程，切线/是如何作出来的它满足哪些条件引导学

生总结出：①经过半径外端；②垂直于这条半径.

请学生继续思考：这两个条件缺少一个行不行（学生画出反例图）

（图1）（图2）图（3）

图⑴中直线/经过半径外端，但不与半径垂直；图⑵中直线/与半

径垂直，但不经过半径外端.从以上两个反例可以看出，只满足其

中一个条件的直线不是圆的切线.

最后引导学生分析，方法3实际上是从前一节所讲的“圆心到直线

的距离等于半径时直线与圆相切”这个结论直接得出来的，只是为

了便于应用把它改写成“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线

是圆的切线”这种形式.

（四）应用与拓展：

例1、如图，已知直线AB经过。O上的点A,并且AB=OA,

OBA=45,直线AB是。O的切线吗？为什么？

例2、如图，线段AB经过圆心O,交。。于点A、C,BAD=

B=30,边BD交圆于点D.BD是。。的切线吗？为什么？

分析：欲证BD是。。的切线，由于BD过圆上点D,若连结OD,

则BD过半径OD的外端，因此只需证明BDJ_OD,因OA=OD,

BAD=B,易证BD_LOD.

教师板演，给出解答过程及格式.

课堂练习：课本练习1—4

（四）课后小结识别一条直线是圆的切线，有三种方法：

⑴根据切线定义判定，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

⑵根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的

直线是圆的切线；

⑶根据直线的位置关系来判定，即经过半径的外端且垂直于这条半

径的直线是圆的切线，

说明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线，如果已知直线过圆上

某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径即可（如例

2）.

课后作业：

27.2.4切线（2）

教学目标：通过探究,使学生发现、掌握切线长定理，并初步长定理,

并初步学会应用切线长定理解决问题，同时通过从三角形纸片中剪出

最大圆的实验的过程中发现三角形内切圆的画法，能用内心的性质解

决问题。

教学重点：切线长定理及其应用，三角形的内切圆的画法与内心的性

质。

教学难点：三角形的内心及其半径的确定。

教学过程

（一）复习导入：

请同学们回顾一下，如何判断一条直线是圆的切线？圆的切线具

有什么性质？（经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切

线；圆的切线垂直于经过切点的半径。）

你能说明以下这个问题？如右图所示，PA

是ABAC的平分线，AB是。。的切线，切/丫/i

点E,则AC是。。的切线吗？为什么？

AE

（二）实践与探索问题1、从圆外一点可以

作圆的几条切线？请同学们画一画。

2、请问：这一点与切点的两条线段的长度相等吗？为什么？

3、切线长的定义是什么？通过以上几个问题的解决，使同

学们得出以下的结论：

从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心

的连线

平分两条切线的夹角。

（三）拓展与应用例:右图，PA、PB是，切点分别是A、B,直线EF

也是。。的切线，切点为P,交PA、PB为E、F点，a/

已知PA=12s,ZP=70°,（1）求△尸所的周长；（2）/V7o）

P

FB

求NEOE的度数。

解：（1）连结PA、PB、EF是。O的切线

所以PA=P3,EA=EQ,FQ=FB

所以APEF的周长=OE+EP+PF+FB=PA+PB=24cm

（2）因为PA、PB、EF是。O的切线

所以如，04,PBLOB,EFLOQ

所以ZAOB=180°—NP=110°,ZEOF=；NAOB=55°

（四）课后小结

27.2.5圆与圆的位置关系

教学目标使学生了解圆与圆位置关系的定义，掌握用数量关系来识

别圆与圆的位置关系。

教学重点用数量关系识别圆与圆的位置关系

教学难点用数量关系识别圆与圆的位置关系

教学过程

（一）情境导入：

在现实生活中，圆与圆有不同的位置关系，如下图所示：

圆与圆的位置关系除了以上几种外，还有其他的位置关系吗？我们

如何判断圆与圆的位置关系呢？这些问题待学习完这节课后就可以

得到解决。

（二）实践与探索：

圆与圆的位置关系请同学们在纸上画一个圆，把一枚硬币当作另

一个圆，纸上移动这枚硬币，观察两圆的位置关系与公共点的个数。

如图23.2.14(1)、(2)、(3)

所示，两个圆没有公共点，则就

说两个圆相离，其中(1)又叫做

外离，(2)、(3)又叫做内含。(3)

中两圆的圆心相同，这两个圆还

可以叫做同心圆。如果两个圆只有一个公共点，则就说这两个圆相

切，如图23.2.14(4)、(5)所示.其中(4)又叫做外切，(5)

又叫做内切。如果两个圆有两个公共点，则就说这两个圆相交，如

图23.2.14(6)所示。

(三)实践与探索：用数量关系识别两圆的位置关系思考：如果两圆

的半径分别为3与5,圆心距(两圆圆心的距离)d为9,你能确定

他们的位置关系吗？若圆心距d分别为8、6、4、2、1、0时，它们

的位置关系又如何呢？

利用以上的思考题让同学们画图或想象，概括出两圆的位置关系与圆

心距、两圆的半径具有什么关系。

(1)两圆外离od>R+r；

(2)两圆外切od=R+r；

(3)两圆外离OH-r<d<R+r；

(4)两圆外离od=R-r；

(5)两圆夕卜离oOWd<H—r；

为了使学生对两圆的位置关系用数量关系表达有更深刻的理解以

及更牢的记忆，教师可有以下数轴的形式让学生加以理解。

要判断两圆的位置关系，要牢牢抓住两个特殊点，即外切与内切两

点，当圆心距刚好等于两圆的半径与时，两圆外切，等于两圆的半

径差时，两圆内切。若圆心距处于半径与与半径差之间时，两圆相

交，大于两圆半径与时，两圆外离，小于两圆半径差时

(四)应用与拓展例1、已知。4相切，圆心距为10cm,

其中的半径为4cm,求。B的半径。

分析：两圆相切，有可能两圆外切，也有可能两圆内切，所以

。夕的半径就有两种情况。

解设。8的半径为凡

(1)如果两圆外切，则d=10=4+7?,尺=6.

(2)如果两圆内切，则小=|R—4|=10,7?=-6(舍去)，

7?=14,

所以。石的半径为6cm或14cm

例2、两圆的半径的比为2:3,内切时的圆心距等于85，则这

两圆相交时圆心距的范围是多少？

解：设其中一个圆的半径为2r，则另一个圆的半径为3厂因为内切时

圆心距等于8所以3—2r=8所以r=8当两圆相交时，圆心距的取值

范围是8<"<40(5)(五)课后小结

就好象识别点与圆、直线与圆的位置关系一样，这节课我们同样也

用数量关系来表达圆与圆的位置关系。在识别圆与圆的位置关系时,

关系式比较多，也难于忘记，如果同学们能够掌握教师上课时讲的

用数轴来表达圆与圆的位置关系，理解起来就会更深刻，记忆也会

更容易。

课后作业：习题8、9

教学反思：

27.3.1弧长与扇形的面积

教学目标认识扇形，会计算弧长与扇形的面积，通过弧长与扇形面

积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知的能力。

教学重点弧长与扇形面积公式，准确计算弧长与扇形的面积。

教学难点运用弧长与扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积。

教学过程

（一）情境与探究1：弧长公式

如图23.3.1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100

米，圆心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗（取3.14）我们

容易看出这段铁轨是圆周长的所以铁轨的长度h2x3,00=

44

图2331

157.0（米）.

问题：上面求的是90。的圆心角所对的弧长，若圆心角为〃。，如何计

算它所对的弧长呢？

请同学们计算半径为3ca,圆心角分别为180。、90。、45。、1。、〃。所

对的弧长。

等待同学们计算完毕，与同学们一起总结出弧长公式（这里关键是1。

圆心角所对的弧长是多少，进而求出〃。的圆心角所对的弧长。）

弧长的计算公式为

练习：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°,求此圆弧的长

度。

㈡

情境与探究2:扇形的面积。如图23.3.3,由组成圆心

角的两条半径与圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形

问：右图中扇形有几个？图23.3.3

同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为1。的扇形面

积圆

面积的几分之几？进而求出圆心角〃的扇形面积。

如果设圆心角是"的扇形面积为S,圆的半径为

扇形的面积为

因此扇形面积的计算公式为

时21

Sc=---S=—lr

3切或2

练习：1、如果扇形的圆心角是230°,则这个扇形的面积等于这个扇

形所在圆的面积的

2

2、扇形的面积是它所在圆的面积的这个扇形的圆心角的度数是

3、扇形的面积是S,它的半径是r,这个扇形的弧长是

（三）应用与拓展

例1如图23.3.5,圆心角为60°的扇形的半径为10厘米,

求这个扇形的面积与周长.5-3.14）

例2、右图是某工件形状，圆弧BC的度数为60。，AB=6cm,

点B到点C的距离等于AB,za4c=30。，求工件的面积。

（四）课后小结本节课我们共同探寻了弧长与扇形面积的计算公

式，一方面，要理解公式的由来，另一方面，能够应用它们计算有关

问题，在计算力求准确无误。

课后作业：习题1、2

教学反思：

27.3.2圆锥的侧面积与全面积

教学目标：通过实验使学生知道圆锥的侧面积展开图是扇形，知道

圆锥各部分的名称，能够计算圆锥的侧面积与全面积。

教学重点：圆锥的侧面展开图，计算圆锥的侧面积与全面积。

教学难点：圆锥的侧面展开图，计算圆锥的侧面积与全面积。

教学过程：

（一）情境探究：由具体的模型认识圆锥的侧面展开图，认识圆锥各

个部分的名称:把一个课前准备好的圆锥模型沿着母线剪开，让学生

观察圆锥的侧面展开图，学生容易看出，圆锥的侧面展开图是一个扇

形。如图23.3.6,我们把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的

连线叫做圆锥的母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，如

图中。，而〃就是圆锥的高。

问题：圆锥的母线有几条？

（二）实践与探索：圆锥的侧面积与全面积的计算方法

问题；1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一Z

图23.3.6

个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系?

2、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条

线段相等？

待学生思考后加以阐述。

圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是

其侧面展开图扇形的半径。

圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母

线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的

与。

（三）应用与拓展：

例1、一个圆锥形零件的母线长为处底面的半径为r,求这个圆锥

形零件的侧面积与全面积.

解圆锥的侧面展开后是一个扇形，该扇形的半径为a,扇形

的弧长为24，所以

S侧=2X2冗rXa=nra;

S底

S=nra+兀？.

答：这个圆锥形零件的侧面积为加3,全面积为乃ra+乃r2

（难）例2、已知：在R/AABC中，ZC=90°,AB=13cm,BC=5cm,求

以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。

分析：以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个

圆锥所组成的几何体，因此求全面积就是求两个圆锥的侧

面积。

解：过c点作COL43,垂足为D点因为三角形ABC是

Rt^ABC,Z-C-90°,AB=13cm,BC-5cm,

所以AC=12cmCD=心反？5年若底面周长为

AB

c601204

27----=-------

1313

1120万41120乃c1020万

所以S仝=---------5H--------2=(cm)2

21321313

1020万

答：这个几何体的全面积为(cm)2

13

（四）课后小结本节课我们认识了圆锥的侧面展开图，学

会计算圆锥的侧面积与全面积，在认识圆锥的侧面积展开图时，应知

道圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长。圆锥的母线就是其

侧面展开图扇形的半径，这样在计算侧面积与全面积时才能做到熟

练、准确。

课后作业：习题3、4

教学反思：

圆复习课

教学目标：

1、解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系。

2、握圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征；会利用垂

径定理解题；会判定点与圆的位置关系。

3、深入理解“转化”、“分类讨论”的数学思想，并培养自主探究

积极参与的学习习惯。

教学重点：

1、解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系。

3、握圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征；会利用垂

径定理解题；会判定点与

教学难点：

握圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征；会利用垂径

定理解题；会判定点与

教学过程：

(一)题组探究复习回顾旧知，并知识建构。

先回顾旧知，再抢答。并互相补充知识点，进一步完善知识结构。

相对应的练习题应指导学生说出相应的知识点及思路。

基础练习：

1、观察下图，回答问题：写出

(1)一条直径四条半径

(2)三条弦四个圆周角

(3)三个圆心角一条优弧

2、在。。中，=,/1=45°,求N2的度数.

3、如图，的直径AB垂直于弦CD,AB、CD相交于点E,

ZCOD=100°,则NCOE=/DOE=

4、如图，是。。的圆周角，ZA=40°,则/06。的度数

5、已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线/的距离是

4厘米；(2)5厘米；(3)6厘米.直线/与圆分别有几个公共点？

分别说出直线/与圆的位置关系.

6、如图AB是。O的的直径，弦CD,AB于E,CD=8、

BE=2,则。OR的半径的长是

教师在学生回答的基础上与学生一起梳理知识结构，并板书。

(二)自主探究与合作交流研究圆周角与圆心角的关系，直径所对圆

周角的特征，

垂径定理等知识。

学生审题，自主探究解法后，交流。指名学生代表回答。本题有多

种解法，培养学生的发散思维能力、比较思维能力。

分组解，选小组代表板演。

学生先自主探究，再交流想法。

例1：如图4—4—3,AB是。。的直径，C、D是。。上两

点，ZD=130°，贝ij(1)ZACB=°

(2)ZBAC的度数为。

教法：由学生分析后板演。

例2如图4—4—4,OO的半径为5,弦AB的长为8,M是

弦AB的动点，则线段OM长的最小值是

教法：学生合作交流，共同探讨解法。

(三)应用与拓展

本部分内容作为课堂检测用，时间为15分钟。小组内互批。当时知

道结果，有利于学生的学习。

达标测评：

1、一条弦分一圆为2cm与6cm两部分，若此弦与直径成45°

角，则该弦长为

2、如图4一4一9,AB、CD是。O的直径，DF、BE是弦，

且DF=BE。

求证：ZD=ZB

3、如图4一4—10,在OO中，弦AB=2cm,圆周角/AC

B=30°,求。。的直径。

4、如图4一4一7,直线AB交圆于点A、B两点，点M在圆上，

点P在圆外，且点M,P在AB的同侧，

ZAMB=50°,设AMB=x。，当点P移动时，求x的变化范围。

（四）小结与作业

小结：谈一下你有哪些收获？

作业：复习资料上相关题

（五）板书设计

课题：圆（1）

（基本概念：弧、弦、圆心角、圆周角

r中心对嬴弦、圆心角、圆周

j角的泰

圆对称性

轴对称垂径定理一»

点与圆的位置关系

圆知识点归纳

一、圆的定义。

1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素。

1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。

(1)劣弧：小于半圆周的弧。

(2)优弧：大于半圆周的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质。

1、圆的对称性。

(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

(3)圆是旋转对称图形。

2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

(2)推论：

＞平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

＞平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所