2023高考科学复习解决方案-数学(内参版) 7 .5 正弦定理与余弦定理的应用举例

7.5正弦定理与余弦定理的应用举例

国核心素养概说（教师独具内容）

1.正弦定理、余弦定理是在学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运

用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题

的有力工具.

2.重点提升数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模素养.

念考试要求（教师独具内容）

1.本考点是近年高考的热点，属于中档题目，以选择题、填空题、解答题形

式出现，命题的重点是三角形中基本量的求解.

2.主要考查两个方面：一是利用正、余弦定理求解与距离、高度、角度等有

关的实际应用问题；二是利用正、余弦定理解决图形问题.

您核心知识导图（教师独具内容）

画画!讪而摭处而「不说£施:称市公/:输访而

।用公式n公式等进行一：角形中边角关系的互化

U：•

利用：用函数诱导公式、：用形内角和定理等

rmij知识求函数解析式、角、三角函数值或讨论三

I标n角函数的性质

修5年考频统计（教师独具内容）

5年考情

考点分值题型难度核心素养

考题示例考向关联考点

数学文化、解

正、余弦定理2021全国甲卷•理8正弦定理的实数学运算

在角三角形、5选择题中

的实际应用2021全国乙套•理9际应用数学抽象

相似三角形

多边形或几何

利用正、余弦2021新高号I卷.19

体的平面展开5填空腮中数学运算

定理解决图2020全国I卷，理16三角形内角和

图中正、余弦12解答题难逻辑推理

形问题2018全国1卷•理17

定理的应用

:基础知识过关

O知识梳理

1.仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在回水平线上方的角叫仰角,在西水平线

下方的角叫俯角(如图①).

2.方位角

从指北方向线顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a(如图

②).

3.方向角：相对于某一正方向的水平角.

(1)北偏东a,即由四指北方向西顺时针旋转a到达目标方向(如图③).

(2)北偏西a,即由因指北方向一逆时针旋转a到达目标方向.

(3)南偏西等其他方向角类似.

注：区分两种角

(1)方位角：从指北方向线顺时针转到目标方向线之间的水平夹角.

(2)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90。的水平角.

4.坡角与坡度

(1)坡角：回坡面与水平面所成的二面角(如图④,角。为坡角).

(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度).坡度又称为坡

比.

5.利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤

(1)分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图.

(2)建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的

三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.

(3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解.

(4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.

励课前自我鉴定

1.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)从A处望8处的仰角为a,从B处望A处的俯角为人则a,6的关系为a

+4=180。.()

兀

(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为［0,引•()

(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关

系.()

(4)方位角大小的范围是［0,2兀)，方向角大小的范围一般是0,)

答案(1)X(2)X(3)V(4)V

2.如图，在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30。，

60°,则塔高为()

3(r

400-400V5

A.-mB.-m

「20附r200

C.--mD.m

答案A

解析如图，设山顶为A,塔底为C,塔顶为。，过点A作。的垂线，交

CD的延长线于点8,则易得AB=tan607,BD=A3tan30。=tan6(^-tan30°=忑乂为-

=^y^(m),所以CQ=BC-80=200-^^=^^(m).故选A.

3.如图所示，设A,8两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选

定一点C,测出AC的距离为50m,AACB=45°,/CA8=105。后，就可以计算

出A,8两点的距离为（）

A.50^/2m5O\/3m

C.25啦m

答案A

ACAB50AB

解析在△ABC中，ZABC=30°,由正弦定理得标心=而苻，即7=近,

22

所以48=50\尼m.故选A.

4.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的

救生艇在洪水中漂行，此时，风向是南偏西30。，风速是20km/h,水的流向是正

东，流速是20km/h,若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东

,速度大小为km/h.

答案60°2M

解析如图，N408=60。，由余弦定理知。。2=2（）2+2（）2一800cos120。=

1200,故OC=2M，/COy=30。+30。=60。.

R

0

真题赏析

1.（2021•全国甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最

新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是

三角高程测量法的一个示意图，现有A,B,C三点，且A,B,C在同一水平面

上的投影A',"，C'满足NA'CB'=45°,/A'B'C'=60。.由C点测

得B点的仰角为15。，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45。，

贝IJA,。两点到水平面A'B'C'的高度差-CC约为他F.732）（）

A.346

C.446D.473

答案B

解析过C作84的垂线交于点"，过8作A4'的垂线交44'于点

N,设"C=CM=m,A'B'=3N=〃，在△4'B'C中，因为NA'CB'

45°,/A'B'C=60°,所以NC'A'B'=75°,

”、，m〃.人八…,,m100”、，n100

所以sin75°=sin45°.在△OB"中，sin75°=sinl5°'所以sin45°=sinl5°，解付

〃=谬丁《273.所以A,C两点到水平面A'B'C'的高度差A4'-CC'约为

273+100=373.故选B.

2.（2021.全国乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,

其中第一题是测量海岛的高.如图，点旦H,G在水平线AC上，DE和尸G是

两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，

GC和E”都称为“表目距”，GC与E”的差称为“表目距的差”，则海岛的高

AB=()

表高X表距

人表目距的差卡表图

表高X表距

表目距的差一表局

c表高*表距

+表距

表目距的差

表高X表距

,表目距的差一表距

答案A

DEEHFGGC

解析因为DE//A8所以而=丽.因为FGIIAB,所以前=前又DE=FG,

所以EH布G=C/，即黄EH指=春+二GC、+“，解得人后E二H方EG会又AH=AE+EH，

ACL/lA匕+匕tlArS+JCCJ+CrCCrC—匕口

b…DEAHDE(AE+EH)DE-EG

+OE.又。E为表高，EG为表距，GC

所以AB=EH=EHGC-EH

表高X表距_

为表目距的差，所以AB=表目距的差+表高.故选A.

3.(2020•全国I卷)如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，AC=],AB=

AD=®AB1AC,ABIAD,/CAE=30°,贝lJcosNPC8=.

〃伊)

E(P)

F(P)

答案1

-

4

2

2

=2,

+AC

]AB

C=y

得B

股定理

由勾

=\,

,AC

=S>

,AB

1AC

-：AB

解析

AE

AC

=®

=AD

1,AE

C=

中，A

CE

.在LA

=#

BD

BF=

,；.

=yf6

BD

同理得

2

=

X^-

lX小

-2X

l+3

0。=

cos3

ACAE

?-2

+AE

=AC

得CO

弦定理

,由余

=30°

s/

得co

定理

余弦

\,由

F=

,C

BF=#

2,

BC=

中，

BCF

.在△

E=1

F=C

1,.,.C

2

2

2

1

-6

1+4

F

-B

BC

CF+

-

=

FCB

4-

X2=

2X1

C=

FB

2C

.已知

b,c

为a,

分别

对边

C的

B,

角A,

C的内

△AB

卷)记

考I

•新高

2021

4.(

nC.

=asi

ABC

DsinZ

上，B

AC

。在边

c,点

)2=a

-

D=b

明：B

⑴证

C

/AB

cos

C,求

=2O

AO

(2)若

，

C中

△AB

：在

1)证明

解(

ac.

b=

彳导BD

理，

弦定

由正

=b.

即BD

按,

以