第11章 三角形全章复习与测试（教师版）-七升八数学暑假衔接（人教版）

第11章三角形全章复习与测试【知识梳理】一、三角形的有关概念和性质三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边。推论：三角形任意两边的之差小于第三边。要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．三角形的分类按“角”分类：按“边”分类：三角形的重要线段：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.三角形的内角和与外角和：三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.二、多边形1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：凸多边形凸多边形凹多边形要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．4、多边形内角和n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；5、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【考点剖析】一．三角形（共2小题）1．（2023春•文山市期末）等腰三角形有一个角是80°，则这个等腰三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【分析】等腰三角形的一个内角是30°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分情况讨论．【解答】解：分两种情况：当80°的角是底角时，则顶角度数为180°﹣80°×2＝20°；∴三角形是锐角三角形，当80°的角是顶角时，则顶角为80°．∴三角形是锐角三角形，故选：A．【点评】本题考查了三角形，等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．2．（2022秋•婺城区期末）小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是∠B＝60°（答案不唯一）．【分析】根据等边三角形的判定定理填空即可．【解答】解：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故答案为：∠B＝60°（答案不唯一）．【点评】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的定义及等边三角形与等腰三角形的关系．二．三角形的角平分线、中线和高（共5小题）3．（2022秋•磁县期末）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．故选：B．【点评】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．4．（2023•西湖区校级模拟）如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（）A．AB＝AC B．BD＝CD C．BD＝AD D．AC＝AD【分析】根据三角形的中线的定义即可判断．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，故选：B．【点评】本题考查三角形的中线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．5．（2023春•伊川县期末）如图，在△ABC中，AB边上的高是（）​A．AD B．BE C．CF D．BF【分析】根据三角形的高解答即可．【解答】解：因为点C到AB边的垂线段是CF，所以AB边上的高是CF，故选：C．【点评】此题考查三角形的高，关键是根据从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答．6．（2022秋•南阳期末）已知△ABC（如图），按下列要求画图：（1）△ABC的中线AD；（2）△ABD的角平分线DM；（3）△ACD的高线CN；（4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周长）且AB＝4，则AC＝7．【分析】（1）取BC的中点D，然后连接AD即可；（2）作∠ADB的平分线交AB于M点；（3）过C点作CN⊥AD于N点；（4）利用三角形中线的定义得到BD＝CD，然后利用三角形周长的定义得到AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，所以AC﹣AB＝3，从而可计算出AC．【解答】解：（1）如图，AD为所作；（2）如图，DM为所作；（3）如图，CN为所作；（4）∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD，∵C△ADC﹣C△ADB＝3，∴AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，∴AC﹣AB＝3，∵AB＝4，∴AC＝AB+3＝4+3＝7．故答案为：7．【点评】本题考查三角形的中线，高线，角平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的角平分线、中线和高．7．（2023春•高新区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．（1）若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数（2）若∠C﹣∠B＝30°，则∠DAE＝15°．（3）若∠C﹣∠B＝α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．【分析】（1）根据角平分线的定义和互余进行计算；（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠DAE的度数等于∠B与∠C差的一半解答即可；（3）根据（2）中所得解答即可．【解答】解：（1）由已知可得，∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，∴∠CAD＝20°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝35°﹣20°＝15°；（2）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣（∠B+∠C），∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，而∠ADE＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝（90°﹣∠B）﹣[90°﹣（∠B+∠C）]＝（∠C﹣∠B），∵∠C﹣∠B＝30°，∴∠DAE＝×30°＝15°，故答案为：15°；（3）∵∠C﹣∠B＝α，∴∠DAE＝×α＝．【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质解答．三．三角形的稳定性（共1小题）8．（2023•十堰模拟）如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是（）A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．【解答】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故选：D．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．四．三角形三边关系（共3小题）9．（2023春•普宁市期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A．4，6，10 B．2，5，8 C．3，4，5 D．5，7，13【分析】根据三角形三边关系可进行求解．【解答】解：A、4+6＝10，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形，不符合题意；B、2+5＜8，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形，不符合题意；C、3+4＞5，符合三角形三边关系，故可构成三角形，符合题意；D、5+7＜13，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．10．（2023春•太康县期末）在△ABC中，AB＝8，AC＝1．（1）若BC是整数，求BC的长；（2）已知AD是△ABC的中线，若△ACD的周长为10，求三角形ABD的周长．【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可；（2）根据三角形的中线的定义得到BD＝CD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：（1）由题意得：AB﹣AC＜BC＜AC+AB，∴7＜BC＜9，∵BC是整数，∴BC＝8；（2）∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD∵△ACD的周长为10，∴AC+AD+CD＝10，∵AC＝1，∴AD+CD＝9，∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+AD+CD＝8+9＝17．【点评】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．11．（2023春•临沂期中）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4．（1）求BC边的长的取值范围？（2）若AD是△ABC的中线，求AD取值范围？【分析】（1）根据三角形三边的关系求解即可；（2）延长AD至E，使AD＝DE，连接BE，证明△ADC≌△EDB，得到AC＝BE，由三角形三边关系得到1＜AE＜7，则．【解答】解：（1）由三角形的三边关系可知：AC﹣AB＜BC＜AC+AB，∵AB＝3，AC＝4，∴1＜BC＜7；（2）延长AD至E，使AD＝DE，连接BE，在△ABE中，∵BD＝DC，∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝BE，由三角形的三边关系：BE﹣AB＜AE＜BE+AB，∴1＜AE＜7，∴．【点评】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．五．三角形内角和定理（共7小题）12．（2023春•莱州市期中）已知△ABC的三个内角的大小关系为∠A+∠B＝∠C，则这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定【分析】根据∠A、∠B、∠C之间的关系结合三角形内角和定理即可得出∠C＝90°，进而可得结论．【解答】解：∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形，故选：B．【点评】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出∠C的度数是解题的关键．13．（2023•南岗区模拟）△ABC中，∠BAC＝80°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，若∠DAE＝80°，则∠BAD为120度．【分析】根据角平分线的定义求出∠EAB的度数，最后根据直角三角形两锐角互余列式进行计算即可得解．【解答】解：∵∠BAC＝80°，AE平分∠BAC．∴∠EAB＝∠BAC＝×80°＝40°，∵∠DAE＝80°，∵∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝80°+40°＝120°，故答案为：120．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记图形的性质与定理是解题的关键．14．（2023春•松江区期末）如图，已知点D，E，F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DE∥BC，∠1+∠2＝180°，∠3＝40°，求：∠B的度数．【分析】根据同角的补角相等可得∠1＝∠DGE，由平行线判定可得AB∥EG，则可得∠4的度数，再由两直线平行，同位角相等可得∠B的度数．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠DGE＝180°，∴∠1＝∠DGE，∴AB∥EG，∴∠3＝∠4＝40°，∵DE∥BC，∴∠B＝∠4＝40°．【点评】此题主要是考查了平行线的判定及性质，能够熟练运用平行线的判定及性质定理是解答此题的关键．15．（2023春•金安区期中）如图所示，已知FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD＝150°，∠B＝∠C，求∠EDF的大小．【分析】利用垂线的定义，可得出∠CDF＝∠BDF＝90°，∠AED＝∠BED＝90°，利用邻补角互补，可求出∠CFD的度数，在△CDF中，可求出∠C的度数，结合∠B＝∠C，可得出∠B的度数，在△BDE中，利用三角形内角和定理，可求出∠BDE的度数，再将其代入∠EDF＝∠BDF﹣∠BDE中，即可求出∠EDF的大小．【解答】解：∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∴∠CDF＝∠BDF＝90°，∠AED＝∠BED＝90°．∵∠AFD+∠CFD＝180°，∠AFD＝150°，∴∠CFD＝180°﹣∠AFD＝180°﹣150°＝30°．在△CDF中，∠CDF＝90°，∠CFD＝30°，∴∠C＝180°﹣∠CDF﹣∠CFD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠B＝60°．在△BDE中，∠B＝60°，∠BED＝90°，∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴∠EDF＝∠BDF﹣∠BDE＝90°﹣30°＝60°．【点评】本题考查了三角形内角和定理、垂线以及邻补角，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．16．（2023•武山县一模）如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝60°，求∠B和∠F的度数．【分析】先利用角平分线的性质和三角形的内角和定理求出∠B，再利用外角和内角的关系求出∠CDF，最后利用三角形的内角和定理求出∠F．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠1＝40°，∴∠BAC＝2∠1＝80°．∵∠C＝60°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣60°＝40°．∴∠EDF＝∠B+∠1＝40°+40°＝80°．∵EF⊥BC，∴∠DEF＝90°．∴在Rt△EDF中，∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣80°＝10°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是180°”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”、“直角三角形的两个锐角互余”是解决本题的关键．17．（2023春•衡山县期中）在△ABC中，已知∠A＝∠B＝∠C，试判断ABC的形状．【分析】设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，再根据三角形内角和定理求出x的值，进而可判断出△ABC的形状．【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，∴∠C＝3x＝90°，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．18．（2022秋•沂水县期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．【分析】由图可知∠1是△ADF的外角，根据三角形外角的性质可得∠A+∠AFD＝∠1；∠AFD是△EFA'的外角，同理可得∠2+∠A'＝∠AFD，则∠A+∠2+∠A'＝∠1，由折叠可知∠A＝∠A'，将∠1、∠2的度数带入，即可求出∠A的度数．【解答】解：如图所示：∵∠1是△ADF的外角，∴∠A+∠AFD＝∠1；又∵∠AFD是△EFA'的外角，∴∠2+∠A'＝∠AFD，∴∠A+∠2+∠A'＝∠1，由折叠可知∠A＝∠A'，且∠1＝80°，∠2＝24°，∴∠A+24°+∠A＝80°，即：2∠A＝56°，解得：∠A＝28°．【点评】本题考查了折叠的性质、外角的性质等知识点，正确找到相关三角形的外角是解决这道题的关键．六．三角形的外角性质（共3小题）19．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若∠B＝36°，∠E＝24°，则∠BAC＝84°．【分析】利用三角形的外角性质可求出∠ECD的度数，结合角平分线的定义可求出∠ACD的度数，再利用三角形的外角性质即可求出∠BAC的度数．【解答】解：∵∠B＝36°，∠E＝24°，∴∠ECD＝∠B+∠E＝36°+24°＝60°．∵CE为∠ACD的平分线，∴∠ACD＝2∠ECD＝120°．又∵∠ACD＝∠B+∠BAC，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣36°＝84°．故答案为：84．【点评】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．20．（2023春•普陀区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边BC、AC上，且∠B＝∠GDC，F在DG的延长线上，E在GC上，如果∠AGF＝∠DAG+∠3，说明∠1＝∠3的理由．解：因为∠B＝∠GDC（已知），所以AB∥GD（同位角相等，两直线平行），所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），因为∠AGF＝∠2+∠DAG，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），因为∠AGF＝∠DAG+∠3（已知），所以∠2＝∠3（等式性质）．所以∠1＝∠3（等量代换）．【分析】先证明AB∥GD，得∠1＝∠2，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠AGF＝∠2+∠DAG，再根据∠AGF＝∠DAG+∠3，可得∠2＝∠3，所以∠1＝∠3．【解答】解：因为∠B＝∠GDC（已知），所以AB∥GD（同位角相等，两直线平行），所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），因为∠AGF＝∠2+∠DAG，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），因为∠AGF＝∠DAG+∠3（已知），所以∠2＝∠3（等式性质），所以∠1＝∠3（等量代换）．故答案为：同位角相等，两直线平行；∠2；两直线平行，内错角相等；∠DAG；∠3．【点评】本题考查了三角形的外角性质，平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的外角性质，平行线的判定与性质定理是解题的关键．21．（2023•平谷区二模）下面是证明三角形内角和定理推论1的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，△ABC，点D是BC延长线上一点．求证：∠ACD＝∠A+∠B．方法一：利用三角形的内角和定理进行证明证明：方法二：构造平行线进行证明证明：【分析】分别利用三角形内角和定理与平行线的性质即可证明．【解答】证明：方法一：∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）．又∵∠ACB+∠ACD＝180°，∴∠ACB＝180°﹣∠ACD．∴180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣∠ACD，∴∠ACD＝∠A+∠B．方法二：过点C作CE∥AB．∴∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B，∴∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝∠A+∠B．【点评】本题考查三角形内角和定理与平行线的性质，比较简单，要牢牢掌握该知识点，并能灵活运用．七．直角三角形的性质（共2小题）22．（2023春•汉寿县期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（）A．145° B．125° C．65° D．55°【分析】根据直角三角形中两锐角互余可直接求得．【解答】解：一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是90°﹣35°＝55°，故选：D．【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟记直角三角形两锐角互余的性质是解本题的关键．23．（2023春•玄武区期末）请把下面的证明过程补充完整．已知：如图，AD是△ABC的高，点E在AC上，G在AB上，∠2+∠C＝90°，∠1＝∠2．求证：GD∥AC．证明：∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC（三角形高线的定义），∴∠ADC＝90°（垂直的意义①），∴∠3+∠C＝90°（直角三角形两个锐角互余），又∵∠2+∠C＝90°（已知），∴∠2＝∠3②（同角的余角相等③），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠3（等量代换④），∴GD∥AC（内错角相等，两直线平行⑤）．【分析】根据题意推出角度关系，利用等量代换得到∠1＝∠3，从而因为内错角相等得到GD∥AC．【解答】证明：∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC（三角形高线的定义），∴∠ADC＝90°（垂直的意义），∴∠3+∠C＝90°（直角三角形两个锐角互余），又∵∠2+∠C＝90°（已知），∴∠2＝∠3（同角的余角相等），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠3（等量代换），∴GD∥AC（内错角相等，两直线平行）．故答案为：垂直的意义；∠2＝∠3；同角的余角互补；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点评】本题以证明题为背景考查了平行线的判定，考查了学生对基础知识的掌握．解题的关键是明确垂直的意义，同角的余角互补等基础知识．八．多边形（共2小题）24．（2023•宛城区校级模拟）下列图形中具有稳定性的是（）A．平行四边形 B．长方形 C．正方形 D．三角形【分析】根据三角形具有稳定性解答．【解答】解：长方形，正方形，三角形，平行四边形中只有三角形具有稳定性．故选：D．【点评】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握在所有的图形里，只有三角形具有稳定性，也是三角形的特性．25．（2022秋•夏津县期中）如图，五边形ABCDE是正五边形，则x为（）A．30° B．35° C．36° D．45°【分析】根据正多边形的每个内角相等以及多边形的内角和公式可得∠E＝∠CDE＝108°，再根据正多边形的各边相等可得△ADE是等腰三角形，据此可得∠1的度数，再根据角的和差关系求解即可．【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形，所以∠E＝∠CDE＝＝108°，AE＝DE，所以，所以x＝∠CDE﹣∠1﹣∠3＝36°．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形，熟记多边形的内角和公式是解答本题的关键．九．多边形内角与外角（共5小题）26．（2022秋•重庆期末）一个多边形的每个内角都等于140°，则这个多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）进行求解即可．【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝140°•n，解得n＝9，故多边形是九边形．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理．解题时注意：n边形的内角和为：180°•（n﹣2）．27．（2023•临淄区二模）如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的度数为（）A．72° B．36° C．90° D．以上都不对【分析】延长AB交l2于F，由平行线的性质，得到∠BFD＝∠2，求出正五边形的外角的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．【解答】解：延长AB交l2于F，∵l1∥l2，∴∠BFD＝∠2，∵正五边形ABCDE的每个外角相等，∴∠FBC＝360°÷5＝72°，∵∠1＝∠BFD+∠FBC，∴∠1﹣∠BFD＝∠FBC＝72°，∴∠1﹣∠2＝72°．故选：A．【点评】本题考查平行线的性质，多边形，三角形的外角，关键是作辅助线应用三角形外角的性质．28．（2023春•新乡期末）如果一个正多边形的每个外角都为45°．（1）求这个正多边形的边数；（2）若截去一个角（截线不经过多边形的顶点），求截完角后所形成的另一个多边形的内角和．【分析】（1）利用正多边形的性质和多边形的外角和计算即可；（2）由题意确定截完角后所形成多边形的边数，然后利用多边形的内角和公式计算即可．【解答】解：（1）由题意可得：360°÷45°＝8，即这个正多边形的边数为8；（2）∵将正多边形截去一个角（截线不经过多边形的顶点），∴截完角后所形成的多边形为九边形，则其内角和为：（9﹣2）×180°＝1260°．【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，正多边形的性质，（2）中根据题意确定截完角后所形成多边形的边数是解题的关键．29．（2022秋•合肥期末）按要求完成下列各小题．（1）一个多边形的内角和比它的外角和多900°，求这个多边形的边数．（2）如图，若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式叠放在一起，求∠EAF的度数．【分析】（1）本题首先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比360°多900°，由此列出方程即可解出边数；（2）根据多边形的内角和可得∠ABC和∠ABF的度数．【解答】解：（1）解：设边数为n，根据题意，得（n﹣2）×180°＝360°+900°，所以（n﹣2）×180°＝1260°，所以n﹣2＝7，所以n＝9．答：这个多边形的边数是9．（2）正五边形内角和为540°，∴其每个内角为540°÷5＝108°．∵长方形每个内角为90°，∴∠F＝90°，∴∠ABC＝108°，∠ABF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣108°＝72°，∴∠BAF＝180°﹣∠F﹣∠ABF＝180°﹣90°﹣72°＝18°，∠EAF＝∠EAB+∠BAF＝108°+18°＝126°．【点评】本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．30．（2022秋•平桥区期末）探索归纳：（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝270°．（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝220°．（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是180°+∠A．（4）如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．【分析】（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；（3）根据（1）（2）可以直接写出结果；（4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解．【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．∴∠1+∠2等于270°．故答案为：270°；（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，故答案是：220°；（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A；故答案为：180°+∠A；（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．【过关检测】一、单选题1．下列具有稳定性的图形是（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】A【分析】根据几何图形中三角形具有稳定性可知A答案正确．【详解】根据三角形具有稳定性，可知A答案符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，在几何图形中只有三角形具有稳定性，而四边形以及四边以上的多边形都不具有稳定性．2．下列长度的三条线段能组成三角形的是(

)A．2cm，3cm，6cm B．3cm，4cm，7cmC．5cm，6cm，8cm D．7cm，8cm，16cm【答案】C【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：A选项：2+3<6，故不能组成三角形；B选项：4+3＝7，故不能组成三角形；C选项：5+6>8，故能组成三角形；D选项：7+8<16，故不能组成三角形；故选C．【点睛】考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．3．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为，则原多边形边数为（

）A． B． C．或 D．或或【答案】D【分析】先求出新多边形的边数，再根据截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多1，少1三种情况进行讨论．【详解】解：设新多边形的边数是n，则（n-2）•180°=2520°，解得n=16，∵截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多1或少1，∴原多边形的边数是15，16，17．故选D．【点睛】本题考查多边形的内角和定理，注意要分情况进行讨论，避免漏解．4．一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1：4，那么这个多边形的边数为（）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】C【详解】试题分析：一个正多边形的外角与它相邻的内角互补，且外角与它相邻的内角之比为1：4；∴外角为，故这个多边形的边数为360°÷36°=10；所以答案选C考点：正多边形的外角和5．在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（

）A．中线 B．高线 C．角平分线 D．某一边的垂直平分线【答案】A【分析】根据三角形的中线、角平分线、高的性质和垂直平分线的性质即可判断．【详解】解：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，故选：A．【点睛】本题考查三角形的中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本概念．6．如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝50°，则∠A的度数是（）A．40° B．50° C．80° D．90°【答案】A【分析】本题根据垂直性质求解∠FED，继而根据两直线平行，同位角相等求解本题．【详解】∵，∴∠DEF=40°．又∵AB∥CD，∴∠A=∠DEF=40°．故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质以及垂直性质，需注意两直线平行，同位角、内错角均相等，同旁内角互补．7．如图，在ABC中，已知点分别为边的中点，若的面积为16，则图中阴影部分的面积为()A．8 B．4 C．2 D．1【答案】B【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则利用点为的中点得到，再利用点为的中点得到，所以，然后利用点为的中点得到．【详解】解：∵点为的中点，∴，∵点为的中点，∴，∴，∵点为的中点，∴．故选：B．【点睛】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线将三角形面积平分是解题的关键．8．小明用长度分别为5，a，9的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a可能是（

）A．4 B．6 C． D．【答案】B【分析】根据三角形三边关系即可得到答案；【详解】解：∵5，a，9的三根木棒首尾相接组成一个三角形，∴，即，故选B．【点睛】本题考查三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边．9．如图是五边形的三个外角，若则=（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出五边形的内角和，结合，即可求出答案.【详解】解：根据题意，五边形的内角和为：，∵，∵，∴；故选：C.【点睛】本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题.10．如图，在△ABC中，∠C＝78°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（）A．282° B．180° C．258° D．360°【答案】C【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．【详解】如图，∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝78°+180°＝258°．故选C．【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．二、填空题11．如图所示，在△ABC中，∠A＝36°，E是BC延长线上一点，∠DBE＝∠ABE，∠DCE＝∠ACE，则∠D的度数为________．【答案】24°/24【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACE=∠A+∠ABE，∠DCE=∠D+∠DBE，然后整理即可得解．【详解】由三角形的外角性质得，∠ACE=∠A+∠ABE，∠DCE=∠D+∠DBE，∵∠DBE=∠ABE，∠DCE=∠ACE，∴∠D+∠DBE=（∠A+∠ABE）=∠A+∠ABE，∴∠D=∠A，∵∠A=36°，∴∠D=×36°=24°．故答案为：24°【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，并表示出∠ACE和∠DCE是解题的关键．12．如图．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12cm，BC=5cm，AC=13cm，若BD是AC边上的高，则BD的长为______cm．【答案】【详解】∵S△ABC=AB•BC=AC•BD，∴12×5=13BD，∴BD=cm．故答案为.13．如图，，平分交于点，，则__°．【答案】30【分析】根据平分得到，之后根据即可得到答案．【详解】解：平分，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解题的关键．14．一个多边形的每个内角都比每个外角大，这个多边形的对角线条数为____________________．【答案】【分析】由题意根据内外角关系求出多边形的边数，再根据根据多边形的对角线公式进行计算即可．【详解】解：设外角为x度，内角则为（x+60）度，由内外角关系可得，解得，即多边形的外角为60°，所以多边形的边数为：（条），多边形的对角线条数为：（条）.故答案为：9.【点睛】本题考查多边形的内角和外角关系以及求多边形的对角线，熟记相关计算公式是解题的关键．15．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2019BC和∠A2019CD的平分线交于点A2020，则∠A2020＝________°．【答案】【分析】根据角平分线的性质可得∠A1CD=∠ACD，∠A1BD=∠ABC，再根据外角的性质可得∠A1=∠A，找出规律即可求出∠A2020．【详解】解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BD=∠ABC，∴∠A1=∠A1CD-∠A1BD=∠ACD∠-∠ABC=∠A，同理可得∠A2=∠A1=()2∠A，∴∠A2020=()2020∠A，∵∠A=m°，∴∠A2020=，故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的性质与图形规律的综合，涉及三角形外角性质，找出∠A1和∠A之间的规律是解题的关键．16．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是_________度．【答案】60【分析】由∠A=80°，∠B=40°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD=∠B+∠A，然后利用角平分线的定义计算即可．【详解】∵∠ACD=∠B+∠A，而∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACD=80°+40°=120°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=60°，故答案为60．17．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.【答案】8【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数．【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是，即该正多边形的边数是8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等．18．如图，点，分别在两边，上运动（不与点重合），在运动的过程中，，平分，的反向延长线与的平分线交于点，在，的运动过程中，的度数为______．

【答案】/22度【分析】根据和是的外角，结合三角形内角和定理可求得，再由是的外角，结合角平分线的性质，从而得到，【详解】解：和是的外角，，，，，，是的外角，，平分，平分，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握并灵活运用知识点是解题的关键．三、解答题19．已知某正多边形的一个内角都比它相邻外角的3倍还多，求这个正多边形一个内角的度数．【答案】这个正多边形一个内角的度数为【分析】设一个内角为，根据题意列出一元一次方程，即可求解．【详解】设一个内角为，根据题意有：，解得，答：这个正多边形一个内角的度数．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和外角的知识以及一元一次方程的应用，明确多边形的内角与其相邻的外角之和为180°是解答本题的关键．20．在△ABC中，BC＝8，AB＝1；(1)若AC是整数，求AC的长；(2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．【答案】(1)8(2)17【分析】（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得7＜AC＜9，根据AC是整数得AC＝8；（2）根据BD是△ABC的中线得AD＝CD，根据△ABD的周长为17和AB＝1得AD+BD＝9，即可求解．【详解】（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∵AC是整数，∴AC＝8；（2）如图所示：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∵△ABD的周长为10，∴AB+AD+BD＝10，∵AB＝1，∴AD+BD＝9，∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+9＝17．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．21．如图，在中，是的角平分线交于点，，交于点，，，求各内角的度数．【答案】，【分析】利用三角形外角的性质得∠ACD=∠BDC-∠A=80°-60°=20°，再根据平行线的性质和三角形内角和定理可得答案．【详解】解：是的角平分线，，又是的外角，，，，，，，，．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握各三角形外角的性质是解题的关键．22．如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD=DE．(1)如果∠BAD=20°，求∠B的度数，求∠C的度数；(2)如果△ABC的周长为13cm，AC=6cm，求△ABE的周长；【答案】(1)∠B＝70°，∠C＝35°；(2)△ABE的周长为7cm；【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求出AB=AE，根据等腰三角形的性质可求∠B＝∠AEB，再根据三角外角的性质求出∠C即可；（2）通过线段的等量代换即可求解．（1）解：∵AD⊥BC，BD=DE，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE，∴∠BAD＝∠EAD＝20°，