2024-2025学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差跟踪训练含解析新人教A版选修2-3

PAGE离散型随机变量的方差[A组学业达标]1．下面说法中正确的是()A．离散型随机变量的均值E(ξ)反映了取值的概率的平均值B．离散型随机变量的方差D(ξ)反映了取值的平均水平C．离散型随机变量的均值E(ξ)反映了取值的平均水平D．离散型随机变量的方差D(ξ)反映了取值的概率的平均值解析：由E(ξ)与D(ξ)的意义知选C.答案：C2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(1,3)，k＝3,6,9.则D(X)等于()A．6 B．9C．3 D．4解析：由题意得E(X)＝3×eq\f(1,3)＋6×eq\f(1,3)＋9×eq\f(1,3)＝6.D(X)＝(3－6)2×eq\f(1,3)＋(6－6)2×eq\f(1,3)＋(9－6)2×eq\f(1,3)＝6.答案：A3．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则()A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45解析：由已知有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝1.6，,np1－p＝1.28，))解得n＝8，p＝0.2.答案：A4．甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中目标的概率为eq\f(2,3)，乙命中目标的概率为eq\f(4,5)，设命中目标的人数为X，则D(X)等于()A.eq\f(86,225) B.eq\f(259,675)C.eq\f(22,15) D.eq\f(15,22)解析：X取0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,15)，P(X＝1)＝eq\f(2,5)，P(X＝2)＝eq\f(8,15)，所以E(X)＝eq\f(22,15)，D(X)＝eq\f(86,225).答案：A5．设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012Peq\f(1－p,2)eq\f(1,2)eq\f(p,2)则当p在(0,1)内增大时，()A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小解析：由分布列可知E(ξ)＝0×eq\f(1－p,2)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(p,2)＝p＋eq\f(1,2)，所以方差D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－p－\f(1,2)))2×eq\f(1－p,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－p－\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－p－\f(1,2)))2×eq\f(p,2)＝－p2＋p＋eq\f(1,4)，所以D(ξ)是关于p的二次函数，开口向下，所以D(ξ)先增大后减小．答案：D6．若D(ξ)＝1，则D(ξ－D(ξ))＝________.解析：D(ξ－D(ξ))＝D(ξ－1)＝D(ξ)＝1.答案：17．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．解析：∵eq\r(Dx)＝8，∴eq\r(D2x－1)＝eq\r(4Dx)＝2eq\r(Dx)＝16.答案：168．已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________，________，________.解析：由题意知，－p1＋p3＝0.1，1．21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89.又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5.答案：0.40.10.59．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，求D(ξ)的值．解析：设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋a＋b＝1，,a＋2b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,5)，,b＝\f(1,5)，))所以D(ξ)＝eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)×0＋eq\f(1,5)×1＝eq\f(2,5).10．甲、乙两人进行定点投篮嬉戏，投篮者若投中，则接着投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲，乙命中的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(3,4).(1)求第三次由乙投篮的概率．(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望及标准差．解析：(1)P＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(13,18).(2)P(ξ＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)；P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(7,18).P(ξ＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,2).故ξ的分布列为：ξ012Peq\f(1,9)eq\f(7,18)eq\f(1,2)E(ξ)＝0×eq\f(1,9)＋1×eq\f(7,18)＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(25,18)，D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(25,18)))2×eq\f(1,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(25,18)))2×eq\f(7,18)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(25,18)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(149,324)，所以eq\r(Dξ)＝eq\f(\r(149),18).[B组实力提升]11．已知随机变量ξ满意P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为()A．0.6和0.7 B．1.7和0.09C．0.3和0.7 D．1.7和0.21解析：E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1－1.7)2×0.3＋(2－1.7)2×0.7＝0.21.答案：D12．若随机变量X的分布列为P(X＝m)＝eq\f(1,3)，P(X＝n)＝a，若E(X)＝2，则D(X)的最小值等于()A．0 B．1C．4 D．2解析：由分布列的性质，得a＋eq\f(1,3)＝1，a＝eq\f(2,3).∵E(X)＝2，∴eq\f(m,3)＋eq\f(2n,3)＝2.∴m＝6－2n.∴D(X)＝eq\f(1,3)×(m－2)2＋eq\f(2,3)×(n－2)2＝eq\f(2,3)×(n－2)2＋eq\f(1,3)×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.∴n＝2时，D(X)取最小值0.答案：A13．已知某随机变量X的分布列如表(p，q∈R)：X1－1Ppq且X的数学期望E(X)＝eq\f(1,2)，那么X的方差D(X)＝________.解析：依据题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＋q＝1，,p－q＝\f(1,2)，))解得p＝eq\f(3,4)，q＝eq\f(1,4)，故X的方差D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2×eq\f(3,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,2)))2×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)14．一家面包房依据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在将来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在将来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X)．解析：(1)设A1表示事务“日销售量不低于100个”，A2表示事务“日销售量低于50个”，B表示事务“在将来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝Ceq\o