《二倍角的正弦、余弦和正切公式》教学设计

3/183.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式(名师：李伟)一、教学目标（一）核心素养通过二倍角公式的学习和应用，使学生体会化归这一基本数学思想在发现和解决问题过程中的作用．在直观想象、数学推理中感受二倍角公式的特点．（二）学习目标1．了解二倍角公式的来由、过程，探求二倍角公式证明的思想方法．2．通过学习二倍角公式的产生过程，深刻理解二倍角公式的本质．3．能熟练地正用、逆用以及变形利用二倍角公式解决一些基本的问题．（三）学习重点1．深刻理解二倍角公式的由来、产生公式的过程．2．认识二倍角公式的本质．（四）学习难点二倍角公式的本质及拓广应用．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第132页至第135页，填空：二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝.(S2α)cos2α＝(C2α)＝＝.tan2α＝.(T2α)．（2）推一推：由二倍角公式进行公式的变形，填空：＝＝；＝；＝；

cos2α＝；sin2α＝．2．预习自测（1）已知，则()A．B.C．D．

答案：A．

解析：【知识点】二倍角公式的正用．【解题过程】∵，∴，，.

∴，

点拨：先算单倍角的三角函数值，再通过倍角公式即可得．（2）=()A．0B.C．1D．答案：B．解析：【知识点】二倍角公式的逆用．【解题过程】∵，∴选B，

点拨：需要观察所求式子的特征，符合二倍角的余弦公式．

（3）若tan(α＋eq\f(π,4))＝3＋2eq\r(2)，则＝________.答案：．解析：【知识点】二倍角公式的正用及其逆用．【解题过程】∵又点拨：先化简所求的式子，再结合已知条件，构造所要求的条件和结构

（4）求值：答案：．

解析：【知识点】二倍角公式的变用．【解题过程】由，则有，那.又，则，所以点拨：注意到，所以先将已知条件化简得到，进而用二倍角公式求.(二)课堂设计1．知识回顾（1）两角和与差的余弦公式cos(α－β)＝.(C(α－β))cos(α＋β)＝.(C(α＋β))（2）两角和与差的正弦公式sin(α＋β)＝.(S(α＋β))sin(α－β)＝.(S(α＋β))（3）两角和与差的正切公式tan(α＋β)＝.tan(α－β)＝.2．问题探究探究一结合实例，得到二倍角公式★●活动①提出问题要在半径为的半圆材料上(如图1)截成一条边在直径上的内接长方形．设，当为多大时，才能使长方形面积最大?易得，那么当为多大时，才能使长方形面积最大？这就需要考虑，这里分别最大都是1，但不能同时取到，所以需要化简．请学生回顾，在哪里见过这种正弦余弦相乘的结构，自然想到和差角的正弦公式．【设计意图】从实际数学问题入手，体会二倍角公式学习的必要性．●活动②知识回忆，公式探索两角和与差的正弦公式sin(α＋β)＝.(S(α＋β))sin(α－β)＝.(S(α＋β))提问1：在已学的和差角的正弦公式中，怎样才能出现刚才的？明显需要把都赋值成，所以即可以得二倍角的正弦公式：.此外，在差角公式中得出来的就是恒等式，无研究意义了．提问2：按照同样的方法，能否推出二倍角的余弦和正切公式？由学生自己动手完成．；提问3：对于，在展开式当中，能否写成其他的形式？用可以替换其中的一个三角函数，所以，从而可以将二倍角的余弦写成只有中的一个即可，为今后的运算带来更大的方便．【设计意图】通过二倍角公式的推导，让学生体会倍角公式是从一般到特殊的替代赋值过程．探究二理解二倍角公式的本质★●活动①理解二倍角的本质提问1：如何理解二倍角中的“倍”的含义？倍是针对两个量之间的关系的，倍角是相对而言的．比如的2倍，的2倍，的2倍，所以这里的二倍角其本质蕴含着换元的思想．提问2：二倍角公式中角的取值范围有什么要求？根据前面学习三角函数的定义，就只有正切有要求，只要有正切作用的角，都不能取●活动②巩固理解，加深认识提问3：这些公式有什么特征？公式从左到右，次数由一次变成二次，而角度由双倍角变为单倍角．也就是次数在增倍，角度在减半，所以都是处在平衡之中的．即从左到右减倍增次．【设计意图】在对公式的特点进行进一步分析，让学生能够体会这其中的换元的思想，以及在恒等式的变形中都会有一个平衡，次数增加必有角度减半，反之亦然．探究三公式的变形及应用★▲●活动①理解提升，公式的拓展变形提问：如何进一步理解倍角和次数的关系，二倍角公式还可以做哪些变形？学生自主探究，相互讨论，合作交流．二倍角公式反应的是将二倍角的三角函数值与单倍角的三角函数值的转化，从而对于二倍角的余弦公式就可以拓广有升幂（降角）公式，降幂（升角）公式．二倍角的正弦拓广就有：，【设计意图】通过学生自主探究，合作交流，加深对公示的理解和记忆，培养学生数学归类梳理意识．●活动②初步实践，解决引入数学问题在刚才的引入的具体数学问题中可变形为，所以当，即时，最大，【设计意图】应用所学的公式解决引入的问题，让学生加深对倍角公式应用的理解．活动③巩固基础，检查反馈例1已知且，求和.【知识点】二倍角公式的正用．【解题过程】∵，，∴.

∴，【思路点拨】先算单倍角的三角函数值，通过被角公式即可算所求．【答案】，．同类训练：已知且，求.答案：．解析：【知识点】二倍角公式的正用．【解题过程】∵，，，∴.

∴点拨：先算单倍角的三角函数值，通过被角公式即可算所求．

例2求值：（1）；（2）；（3）.答案：（1）；（2）2；（3）．解析：【知识点】公式的逆用．【解题过程】（1）原式＝===（2）原式＝.（3）原式＝点拨：通过适当变形，创造适合公式的条件．（1）由，所以，利用二倍角公式求解；（2）由倒数关系，分子、分母同乘以2以后利用倍角公式求解；（3）利用诱导公式及倍角公式求解．同类训练求值：（1）；（2）；答案：（1）；（2）．解析：【知识点】公式的逆用．【解题过程】（1）原式=．（2）点拨：根据所给式子的结构进行二倍角公式的逆用，通过适当变形，创造适合公式的条件．【设计意图】巩固二倍角公式，让学生学会正用和逆用公式，加深对于倍角公式的理解运用，并且让学生体会逆用公式解题是训练学生逆向思维和灵活思维的重要手段．●活动4强化提升、灵活应用例3在中，求．【知识点】公式的综合应用．【解题过程】解法1：在中，由,所以．，又所以.所以解法2：在中，由,所以．又所以，所以【思路点拨】从要求的角可以看出和已知的角是具有2倍关系的，所以创造适合公式的条件．法一：用；法二：用【答案】．同类训练：已知，求答案：．解析：【知识点】二倍角公式的综合应用【解题过程】解法1：由则,所以．则，又所以.所以解法2：由则,所以．又所以，所以解法3：在中，由则,所以．又且所以,其中，所以原式=．点拨：从要求的角可以看出和已知的角是具有2倍关系的，所以创造适合公式的条件．法一：用；法二：用；法三：经计算可得，所以可求．例4．化简下列各式：(1)；(2)；

【知识点】二倍角公式的变用．【解题过程】（1）（2）原式=＝＝＝＝.【思路点拨】各题的解法均为构造法，连续用公式：.产生“连锁反应”起到化简作用．【答案】（1）；（2）．

同类训练化简下列各式：(1)；(2)；

答案：（1）；（2）．解析：【知识点】二倍角公式的变用．【解题过程】（1）（2）原式＝＝＝＝＝.点拨：各题的解法为构造法，连续用公式：.产生“连锁反应”起到化简作用．【设计意图】由浅入深，让学生感受公式的正用，逆用外，以及公式的变用，感悟学以致用．3.课堂总结知识梳理（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝.(S2α)cos2α＝(C2α)＝＝.tan2α＝.(T2α)．（2）由二倍角公式进行公式的变形：1±sin2α＝＝；升幂公式：1＋＝；1－＝；

降幂公式：cos2α＝；sin2α＝．重难点归纳（1）)倍角公式探索是从一般到特殊的替代过程，是高中数学重要的一种思想方法，利用此方法，可以探索出更多的公式如三倍角公式．（2）倍角是相对的，是的倍角，是的倍角，是的倍角等．（3）公式的推广、变形、逆用也是灵活运用，是理解公式的关键所在．（三）课后作业基础型自主突破1．若，，则sin2θ＝（）

A.B.C.D.答案：D．解析：【知识点】二倍角的正弦公式．【解题过程】因为，所以，所以，所以，选D.点拨：利用二倍角公式计算．2．若，，则θ在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D．解析：【知识点】二倍角公式的正用．【解题过程】，，∴θ在第四象限．点拨：计算θ的是三角函数值的符号以确定θ的位置．3．的值是()

A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.－eq\f(\r(3),2)答案：B．解析：【知识点】二倍角公式的逆用．【解题过程】原式＝＝=＝eq\f(1,2).点拨：结合已知，创造适合公式的条件．4．求的值是()

A．0B．1C．－1D.eq\f(\r(2),2)答案：B．解析：【知识点】二倍角的正切公式的正用．【解题过程】原式=.

点拨：先通分即可化为二倍角的正切公式．5．若，则cosα＋sinα的值为()

A．B．C.D.答案：C．解析：【解题过程】由

所以点拨：利用二倍角公式和差角公式打开即得．6．若，则等于()

A.B．C.D．答案：B．解析：【知识点】升幂公式．【解题过程】∵，∴，∴．点拨：用升幂公式化简所求，再结合已知判断符号．

能力型师生共研7．若3sinα＋cosα＝0，则eq\f(1,cos2α＋sin2α)的值为()A.eq\f(10,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(2,3)D.－2答案：A．解析：【知识点】二倍角公式的综合应用．【解题过程】由已知可得3sinα＝－cosα，则tanα＝－eq\f(1,3).则所求．点拨：先化简已知可得tanα，再将所求化成分子分母二次齐次的式子．8．若△ABC的内角A满足sin2A＝eq\f(2,3)，则sinA＋cosA的值为()A.B．－C.eq\f(5,3)D．－eq\f(5,3)答案：A．解析：【知识点】二倍角公式的变形应用．【解题过程】∵sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(2,3)，∴1＋2sinAcosA＝eq\f(5,3)，且必有即sin2A＋2sinAcosA＋cos2A＝eq\f(5,3).∴|sinA＋cosA|＝.又∵A为锐角，∴sinA＋cosA＝，故选A．点拨：已知sinA与cosA的乘积，算sinA与cosA的和差，均需平方以后再开方计算．探究型多维突破9．已知cosα＝eq\f(1,7)，cos(α－β)＝eq\f(13,14)，且0<β<α<eq\f(π,2).(1)求tan2α的值；(2)求β.答案：（1）；（2）β＝eq\f(π,3)．解析：【知识点】二倍角公式的应用．【解题过程】由cosα＝eq\f(1,7)，0<α<eq\f(π,2)，得.∴.于是.(2)∵0<β<α<eq\f(π,2)，∴0<α－β<eq\f(π,2).又∵cos(α－β)＝eq\f(13,14)，∴.则.∴β＝eq\f(π,3).点拨：（1）先求，再用二倍角公式算；（2）算β的三角函数值，由条件需要用构造．10．已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求的值；

(2)求的最大值和最小值．

答案：（1）；（2）最大值6；最小值.解析：【知识点】三角公式的简单综合应用．【解题过程】(1).(2)，x∈R，，当时，取最大值6；当时，取最小值.点拨：（1）特殊角带入计算即可；（2）由所给的式子，对于同一个角，既有二次项，又有一次项，则最终可化成一个二次型函数．自助餐1．已知，则_________.答案：．解析：【知识点】二倍角的余弦公式的正用以及诱导公式．【解题过程】由，所以，则．点拨：先用诱导公式求出单倍角的三角函数值，再用倍角公式计算．2．________.答案：．解析：【知识点】被角公式的变用．【解题过程】．点拨：解法构造法，连续用公式：.产生“连锁反应”起到化简作用．3．函数在区间上的最大值是________．答案：．解析：【知识点】二倍角公式的变形以及三角函数的性质【解题过程】，又x∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，∴2x－eq\f(π,6)∈[eq\f(π,3)，eq\f(5π,6)]，所以的最大值为．点拨：对于齐次式，利用降幂公式将次数化为一次，然后再用辅助角公式化成一个三角函数．4．若，则＝________.答案：eq\f(1,2)．解析：【知识点】三角公式的变形及二倍角公式．【解题过程】法一：．∴sin2θ＝2sinθcosθ＝eq\f(2sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(2tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(2tanθ,4tanθ)＝eq\f(1,2).法二：点拨：先将已知条件化简转化成单倍角的正切，再将所求也变形成的式子．5．已知函