2025届高考数学一轮复习收官模拟新课标Ⅱ卷

高考数学一轮复习收官模拟新课标Ⅱ卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题1．[2024春·高一·河北唐山·期中联考]已知复数,则()A. B. C.3 D.51．答案：D解析：,,故选D.2．下列命题中为真命题的是()A.， B.，C.， D.，2．答案：C解析：，，故是假命题.当时，，故是假命题.，，故是真命题.对于方程，，此方程无解，故是假命题.3．已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则()A. B. C. D.33．答案：A解析：，，且与的夹角为，，，.故选A.4．[2023春·高一·四川宜宾·期末校考]PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述不正确的是()A.从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低B.这10天中PM2.5日均值的平均数是49.3C.这10天的PM2.5日均值的中位数是45D.从这10天的PM2.5日均值监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是4．答案：C解析：由题图可知从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低，故选项A正确；由题图得平均数为，故选项B正确；由题图可知这10天的数据从小到大排列为30，32，33，34，45，49，57，58，73，82，故中位数为，故选项C不正确；由数据可知，这10天中PM2.5日均值在以下的有4天，故空气质量为一级的概率是，故选项D正确.故选C.5．已知动圆过定点，且与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是()A. B. C. D.5．答案：A解析：设动圆圆心为，半径为r，则.因为动圆M与圆内切，所以，所以，即，由椭圆的定义可知，M的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，所以，，，所以动圆圆心M的轨迹方程为.6．[2024秋·高三·山东泰安·开学考试]曲线与交点个数是()A.3 B.4 C.5 D.66．答案：A解析：作出曲线与大致图象,可知,而,由曲线与图象知,曲线与有3个交点.故选：A.7．如图，在矩形ABCD中，，，现将沿着对角线BD翻折成，并且满足，则直线与平面BCD所成最大角的余弦值为()A. B. C. D.7．答案：B解析：如图，设点在底面BCD中的射影为H，则是与平面BCD所成的角，.在翻折过程中，，又，则，即H在AB的垂直平分线MN上.取的中点E，连接，，，，.又，从而平面，，而E是的中点，从而，.又，，由，得，在直角梯形BCHM中，，从而的最小值为，当且仅当时取等号.故选B.8．已知函数的定义域为，当时，.若，则不等式的解集为()A. B. C. D.8．答案：B解析：由，且，得.令，则，所以函数在上单调递减.因为，所以.由的定义域为，得，得，所以不等式可以变形为，即，所以，即，所以.故选B.二、多项选择题9．已知函数的图象的一条对称轴为直线，其中为常数，且，则以下结论正确的是()A.函数的最小正周期为B.C.将函数的图象向左平移个单位长度所得的图象关于原点对称D.函数在区间上有67个零点9．答案：ABD解析：因为直线是图象的一条对称轴，所以，，所以，.又因为，所以，所以.，故A正确；，故B正确；的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，显然不关于原点对称，故C错误；当时，，令，，则，，所以在上有67个零点，故D正确.故选ABD.10．已知抛物线的焦点F到准线l的距离为2，则()A.焦点F的坐标为B.过点恰有2条直线与C有且只有一个公共点C.直线与C相交所得弦长为8D.C与圆交于M，N两点，则10．答案：ACD解析：由题可知抛物线C的方程为.焦点F的坐标为，故A正确.过点可作C的2条切线；直线过点A且与C只有一个交点，所以共3条直线与抛物线有且只有一个公共点，故B错误.设直线与抛物线C交于，，由得，，则，，，故C正确.由得，解得（舍去），所以交点为，所以，故D正确.11．设函数，对于任意给定的实数K，定义函数则下列结论正确的是()A.函数的零点有3个 B.，使得C.若，，则 D.若存在最大值，则11．答案：BCD解析：，则，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.故在R上有最大值，为.令，则，令，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.令，则，即，解得该方程的正根为，且.故作出函数与的大致图象，如图1.当时，恒成立，故，由图1得有2个零点，故A错误.由图1知在上，，故，，又，，所以，使得，故B正确.因为恒成立，所以若，，则，故C正确.当时，，故有最大值，为1；当时，的大致图象如图2所示，有最大值；当时，的大致图象如图3所示，所以无最大值.综上，若存在最大值，则，故D正确.三、填空题12．已知为等差数列，公差为-2，且，则前10项和_________.12．答案：110解析：依题意，有.因为，所以，所以，解得，所以.13．已知，，，则___________.13．答案：解析：，，.又，，，..14．把6张座位编号分别为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每个人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有_________种.（用数字作答）14．答案：144解析：根据题意，可分为两步进行：①先将票分为符合条件的4份，4人分6张票，且每人至少1张，至多2张，则有2个人各1张，2个人各2张，且分得的票必须连号，相当于将1，2，3，4，5，6这6个数字用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号，即在其中的5个空隙中插入3个板子，有种情况，其中出现三连号的有123，4，5，6；1，234，5，6；1，2，345，6；1，2，3，456，共4种情况不满足题意，所以有种情况；②再将分好的4份全排列，对应到4个人，有种情况.由分步乘法计数原理可得共有种不同的分法.四、解答题15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求A；（2）点D在线段BC上，，，求的值.15．答案：（1）（2）解析：（1）由结合正弦定理可得.因为，所以，所以，即.因为，所以，因为，所以.（2）如图，在中，，在中，，，由正弦定理可得，故，即，所以.16．已知函数的导函数为，且.（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）证明：在上仅有一个零点，且.16．答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）由，得，所以，所以，即，所以所求切线方程为，即.（2）由（1）知，则.当时，，，所以，所以函数在上单调递增，当时，，，所以，所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增.又，，所以函数在上存在唯一零点，且，所以，即，所以.由，得，所以，所以，得证.17．[2024届·江苏南通·模拟考试]如图，圆柱上、下底面圆的圆心分别为O，，该圆柱的轴截面为正方形，三棱柱的三条侧棱均为圆柱的母线，且，点P在轴上运动.（1）证明：不论P在何处，总有；（2）当P为的中点时，求平面与平面夹角的余弦值.17．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：连接，，，且连接AO并延长，交BC于点M，交圆柱侧面于点N，如图所示.因为，，所以，所以，所以，所以M为BC中点，所以.又在圆柱中，平面，平面ABC，所以.又，平面，所以平面.因为不论P在何处，总有平面，所以.（2）设，则.在中，，则.所以.如图，以为原点，，所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，其中轴，y轴是在平面内的垂直平分线，则，，，，所以，，，.设平面的法向量为，则有即取，得.设平面的法向量为，则有即取，得.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18．[2024秋·高二·江西宜春·月考校考]“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生.为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自A中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自A中学的人数，求的分布列和数学期望.（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答2道题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.18．答案：（1）分布列见解析，数学期望为（2）解析：（1）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，，，，.所以的分布列为0123P.（2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，设乙答对题数为，则.设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”，则.由，及，得，则.又，所以.设，则，.易知当时，取得最大值.所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为.19．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线与椭圆，A，B分别为的左、右顶点，点P在双曲线上，且位于第一象限.（1）直线OP与椭圆相交于第一象限内的点M，设直线PA，PB，MA，MB的斜率分别为，，，，求的值；（2）直线AP与椭圆相交于点N（异于点A），求的取值范围.19．答案：（1）0（2）解析：（1）方法一：设直线，由得，所以解得.设（，），则所以.由