第四章第三节　导数与函数的极值最值

第三节导数与函数的极值、最值【课程标准】1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.【考情分析】考点考法:高考命题以考查函数的极值、最值的概念,求函数的极值、最值为重点内容,对参数分类讨论,是每年的必考内容,三种题型都可能出现,题目难度较大.核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.函数的极值与导数条件f'(x0)=0在点x=x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0在点x=x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点【微点拨】①函数的极大值和极小值都可能有多个,极大值和极小值的大小关系不确定.②对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.【微点拨】函数的最值是对定义域而言的整体概念,而极值是局部概念,在指定区间上极值可能不止一个,也可能一个也没有,而最值最多有一个,并且有最值的未必有极值;有极值的未必有最值.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号13421.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是()A.对于可导函数f(x),若f'(x0)=0,则x0为极值点B.函数的极大值不一定是最大值,最小值也不一定是极小值C.函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值D.函数f(x)在区间[a,b]上一定存在最值【解析】选AC.A反例f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的极值点.×C反例f(x)=x2在区间(1,2)上的最小值为0.×2.(2022·全国甲卷)当x=1时,函数f(x)=alnx+bx取得最大值2,则f'(2)=(A.1 B.12 C.12 【解析】选B.因为函数fx的定义域为(0,+∞),所以依题可知,f1=2,f'1=0,而f'x=axbx2,所以b=2,ab=0,即a=2,b=2,所以f'x=2x+2x2,因此函数fx在0,1上单调递增,在1,+∞上单调递减,当x=1时取最大值,3.(选择性必修二·P98T6·变形式)已知f(x)=x312x+1,x∈[13,1],则f(x)的最大值为13427,最小值为【解析】f'(x)=3x212=3(x2)(x+2),因为x∈[13,1],所以f'(x故f(x)在[13,1]上单调递减所以f(x)的最大值为f(13)=13427,最小值为f(1)=4.(忽视极值的存在条件)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1处取得极值10,则a=4,b=11.

【解析】f'(x)=3x2+2ax+b,依题意得f(1解得a=4,经验证,当a=3,b=3时,f'(x)=3x26x+3=3(x1)2≥0,故f(x)在R上单调递增,所以a=-3,当a=4,b=11时,符合题意.【核心考点·分类突破】考点一利用导数求函数的极值问题【考情提示】函数极值是导数在研究函数中的一个重要应用,在高考中也是重点考查的内容,主要考查导数与函数单调性、极值或方程、不等式的综合应用,既有选择题、填空题,也有解答题.角度1根据导函数图象判断极值[例1](多选题)(2023·石家庄模拟)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则()A.3是函数y=f(x)的极值点B.1是函数y=f(x)的极小值点C.y=f(x)在区间(3,1)上单调递增D.2是函数y=f(x)的极大值点【解析】选AC.根据导函数的图象可知,当x∈(∞,3)时,f'(x)<0,当x∈(3,1)时,f'(x)≥0,所以函数y=f(x)在(∞,3)上单调递减,在(3,1)上单调递增,可知3是函数y=f(x)的极值点,所以A正确.因为函数y=f(x)在(3,1)上单调递增,可知1不是函数y=f(x)的极小值点,2也不是函数y=f(x)的极大值点,所以B错误,C正确,D错误.角度2已知函数解析式求极值或极值点[例2](1)(2023·西安模拟)已知f(x)=3xex,则f(x)A.在(∞,+∞)上单调递增B.在(∞,1)上单调递减C.有极大值3e,D.有极小值3e,【解析】选C.因为f(x)=3x所以f'(x)=3·ex当x>1时,f'(x)<0,f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,故A错误;当x<1时,f'(x)>0,f(x)在区间(∞,1)上单调递增,故B错误;当x=1时,f(x)=3xex取得极大值3e,无极小值,故C(2)函数f(x)=1x+ln|x|的极值点为1【解析】当x>0时,f(x)=1x+lnx,所以f'(x)=1x2+1x=x-1x2,所以当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取得极小值,故f(x)的极值点为1;当x<0时,f(x)=1x+ln(x),所以f'(x)=1x2+1x=x-1x2<0,所以f(x)单调递减,(3)已知函数f(x)=lnxax(a∈R).①当a=12时,求f(x)的极值②讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.【解析】①当a=12时,f(x)=lnx12x,函数的定义域为(0,+∞)且f'(x)=1令f'(x)=0,得x=2,于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表.x(0,2)2(2,+∞)f'(x)+0f(x)单调递增ln21单调递减故f(x)在定义域上的极大值为f(2)=ln21,无极小值.②由①知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1xa=1当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,则函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点;当a>0时,若x∈(0,1a),则f'(x若x∈(1a,+∞),则f'(x故函数在x=1a处有极大值综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值点,当a>0时,函数y=f(x)有一个极大值点,且为1a角度3已知极值(点)求参数(规范答题)[例3](1)已知函数f(x)=x(xc)2在x=2处有极小值,则c的值为()A.2 B.4 C.6 D.2或6【解析】选A.由题意,f'(x)=(xc)2+2x(xc)=(xc)·(3xc),则f'(2)=(2c)(6c)=0,所以c=2或c=6.若c=2,则f'(x)=(x2)(3x2),当x∈(∞,23)时,f'(x)>0,f(x)单调递增当x∈(23,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,函数f(x)在x=2处有极小值,满足题意;若c=6,则f'(x)=(x6)(3x6),当x∈(∞,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(2,6)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(6,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,函数f(x)在x=2处有极大值,不符合题意.综上,c=2.(2)(2023·南京模拟)已知函数f(x)=x(lnxax)在(0,+∞)上有两个极值,则实数a的取值范围为(0,12)【解析】f'(x)=lnx+12ax,由题意知lnx+12ax=0在(0,+∞)上有两个不相等的实根,则2a=lnx设g(x)=lnx+1x,则g'(x当0<x<1时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)的极大值为g(1)=1,又当x>1时,g(x)>0,当x→+∞时,g(x)→0,当x→0时,g(x)→∞,所以0<2a<1,即0<a<12(3)(12分)(2023·新高考Ⅱ卷)①证明:当0<x<1时,xx2<sinx<x;②已知函数f(x)=cosaxln(1x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.审题导思破题点·柳暗花明①思路:通过构造函数并借助导数得到单调性,进而证明不等式②思路:通过第①问铺设好的不等式,利用导数讨论函数的单调性,进而得到极值规范答题微敲点·水到渠成【解析】①设h(x)=sinxx,则h'(x)=cosx1, …………[1分]当0<x<1时,h'(x)<0,所以当0<x<1时,h(x)单调递减,h(x)<h(0)=0,即sinx<x(0<x<1). …………[2分]

源于教材sinx<x(0<x<1)可参考人教A版《选择性必修第二册》第86页例1(2)及97页练习第1题.设g(x)=sinxx+x2,则g'(x)=cosx1+2x,g″(x)=sinx+2>0, …………[3分]因而当0<x<1时,g'(x)>g'(0)=0,g(x)>g(0)=0,则有sinx>xx2(0<x<1).………[4分]综上,当0<x<1时,xx2<sinx<x.…………[5分]②f(x)=cosaxln(1x2),由1x2>0得函数的定义域是(1,1).由f(x)=f(x),得函数f(x)为偶函数,则f'(x)=asinax+2x1-x2f″(x)=a2cosax+2+2x2f″(0)=2a2.若2a2=0,此时x=0是f(x)的极小值点,不符合题意,则2a2≠0,即a≠±2若f(x)在x=0处取得极大值,那么该函数在x=0处是上凸的,因而f″(0)=2a2<0,敲黑板实际上,这里蕴含着“高观点”函数f(x)在x0处具有二阶导数,且f'(x0)=0,f″(x0)≠0,则f(x)在x0处取得极大值的充分条件为f″(x0)<0.则a<2或a>2. …………[6当a>2时,取0<x<1a<1,则0<从而f'(x)=asinax+2x1-x2<a(axa2x2)+指点迷津利用①的结论进行放缩,转化成不含三角函数的形式,有助于判断零点.易知s(x)=a2+a3x+21-x2而s(0)=2a2<0,s1a=2因而关于x的方程f'(x)=0在0,1a上有唯一解当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈x0,1a时,f'(x)>0,f(由f(x)是偶函数且连续,得当x∈(x0,0)时f(x)单调递增,所以f(x)在x=0处取极大值.…………[9分]拓展思维也可利用f'(x)为奇函数且连续,得x∈(x0,0)时f'(x)>0,进而判断极值点.当a<2时,取1a<x<0,则0<从而f'(x)=asinax+2x1-x2<a(ax)+易知u(x)=a2+21-x2而u(0)=a2+2<0,由a2+21-x2=0,得x=a2-2易错警示注意此时的前提条件a<0,所以x=a2-2a>0要舍去因而f(x)在(a2-2a,0)(则取区间1a,0由f(x)为偶函数,得f(x)在(0,a2-2a)上单调递减,结合函数f(x)连续得f(x)在x=0处取极大值.综上所述,a<2或a>2所以a的取值范围为-∞,-2∪2,+∞.【解题技法】1.由图象判断函数y=f(x)的极值要抓住的两点(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点.(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.2.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f'(x);(3)解方程f'(x)=0,求出函数定义域内的所有根;(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧导数值的符号;(5)求出极值.3.已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.【对点训练】1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(x1)f'(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是()A.函数f(x)有极大值f(3)和f(3)B.函数f(x)有极小值f(3)和f(3)C.函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(3)D.函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(3)【解析】选D.由题图知,当x∈(∞,3)时,y>0,x1<0⇒f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(3,1)时,y<0,x1<0⇒f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,3)时,y>0,x1>0⇒f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(3,+∞)时,y<0,x1>0⇒f'(x)<0,f(x)单调递减.所以函数有极小值f(3)和极大值f(3).2.(2023·长沙模拟)若1是函数f(x)=(x2+ax1)ex1的极值点,则f(x)的极大值为5e3.

【解析】因为f(x)=(x2+ax1)ex可得f'(x)=ex-1[x2+(a+2)x因为1是函数f(x)的极值点,故可得f'(1)=0,即2a+2=0,解得a=1.此时f'(x)=ex1(x2+x2)=ex1(x+2)(x1).由f'(x)>0可得x<2或x>1;由f'(x)<0可得2<x<1,故f(x)的极大值点为2.则f(x)的极大值为f(2)=(4+21)e3=5e3.【加练备选】1.(2023·威海模拟)若函数f(x)=exax22ax有两个极值点,则实数a的取值范围为()A.(12,0) B.(∞,1C.(0,12) D.(1【解析】选D.由f(x)=exax22ax,得f'(x)=ex2ax2a.因为函数f(x)=exax22ax有两个极值点,所以f'(x)=ex2ax2a有两个变号零点,令f'(x)=0,得12a=设g(x)=x+1ex,y=12a;则g'令g'(x)=0,即xex=0,解得当x>0时,g'(x)<0;当x<0时,g'(x)>0,所以g(x)在(∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.分别作出函数g(x)=x+1ex与y=12由图可知,0<12a<1,解得a>所以实数a的取值范围为(12,+∞)2.(2023·岳阳模拟)已知函数f(x)=cosxax2,其中a∈R.(1)当a=2π时,求曲线y=f(x)在x=π2(2)若函数f(x)在(π,π)上恰有两个极小值点x1,x2,求a的取值范围.【解析】(1)当a=2π时,f(x)=cosx+2πx则f'(x)=sinx+4πx所以f(π2)=π2,f'(所以曲线y=f(x)在x=π2处的切线方程为yπ2=xπ2,即(2)因为f(x)=cos(x)a(x)2=cosxax2=f(x),所以f(x)是(π,π)上的偶函数.因为函数f(x)在(π,π)上恰有两个极小值点,所以函数f(x)在(0,π)上恰有一个极小值点.不妨设x1>0,f'(x)=sinx2ax,令g(x)=sinx2ax,则g'(x)=cosx2a.(ⅰ)当a≥0时,f'(x)<0,则f(x)在(0,π)上单调递减,无极小值;(ⅱ)当a≤12时,g'(x则f'(x)在(0,π)上单调递增,所以f'(x)>f'(0)=0.则f'(x)>0,此时f(x)在(0,π)上单调递增,无极小值;(ⅲ)当12<a<0时,存在x0∈使g'(x0)=cosx02a=0,当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,所以f'(x)在(0,x0)上单调递减,当x∈(x0,π)时,g'(x)>0,所以f'(x)在(x0,π)上单调递增.因为f'(0)=0,f'(π)=2aπ>0,由零点存在定理知存在x1∈(x0,π),使得f'(x1)=sinx12ax1=0,当x∈(0,x1)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,x1)上单调递减,当x∈(x1,π)时,f'(x)>0,所以f(x)在(x1,π)上单调递增,所以函数f(x)在(0,π)上恰有一个极小值点x1.所以函数f(x)在(π,π)上恰有两个极小值点.综上所述,a的取值范围为(12,0)考点二利用导数求函数最值问题[例4](1)(2022·全国乙卷)函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间0,2π的最小值、最大值分别为(A.π2,π2 B.3πC.π2,π2+2 D.3π2【解析】选D.f'(x)=sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx,所以在区间(0,π2)和(3π2,2π)上f'(即f(x)单调递增;在区间(π2,3π2)上f'(x)<0,即f(x)又f(0)=f(2π)=2,f(π2)=π2+2,f(3π2)=(3π所以f(x)在区间0,2π上的最小值为3π2,最大值为(2)设函数f(x)=x-2a,x≤0,lnx,x>0,若f(x1)=f(x2)(x1<x2),且A.12 B.C.e2 D.【解析】选B.令f(x1)=f(x2)=t,由图象可得t∈(∞,2a],因为x1<x2,所以x12a=t,lnx2=t,即x1=t+2a,x2=et,则2x2x1=2ett2a,令g(t)=2ett2a,则g(t)在(∞,2a]的最小值为ln2,因为g'(t)=2et1,令g'(t)=0,解得t=ln2,所以g(t)在(∞,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,因为t∈(∞,2a],所以当a≥ln22时,g'(t)≤0,g(t)单调递减,所以g(t)min=g(2a)=2e-2a=ln2,解得a=当a<ln22时,g(t)在(∞,ln2)上单调递减在(ln2,2a)上单调递增,则g(t)min=g(ln2)=1+ln22a=ln2,解得a=12,不符合题意.综上,a=ln【解题技法】求函数f(x)在[a,b]上的最值的方法(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增或单调递减,则f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值.(2)若函数f(x)在区间[a,b]上有极值,则先求出函数在[a,b]上的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成.(3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.【对点训练】1.(2023·苏州模拟)若函数f(x)=13x3+x223在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是(A.[5,0) B.(5,0)C.[3,0) D.(3,0)【解析】选C.由题意,f'(x)=x2+2x=x(x+2),当x<2或x>0时,f'(x)>0;当2<x<0时,f'(x)<0.故f(x)在(∞,2),(0,+∞)上单调递增,在(2,0)上单调递减,所以函数f(x)的极小值为f(0)=23令13x3+x223=23得x3+3x2=0,解得x=0或作其图象如图,结合图象可知-解得a∈[3,0).2.已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数.(1)若a=1时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为3,求a的值.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),当a=1时,f(x)=x+lnx,f'(x)=1+1x=1-xx,令f'(x)=0,得x=1.当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(1)=1.所以当a=1时,函数f(x)在(2)f'(x)=a+1x,x∈(0,e]时,1x∈[1e,+∞).①若a≥1e,则f'(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上单调递增,所以f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不合题意.②若a<1e,令f'(x)>0得a+1x>0,结合x∈(0,e],解得0<x<1a;令f'(x)<0得a+1x<0,结合x∈(0,e],解得1a<x≤e,从而f(x)在(0,1a)上单调递增,在(1a,e]上单调递减,所以f(x)max=f(1a)=1+ln(1a).令1+ln(1a)=3,得ln(1a)=2,即a=e2.因为e2<考点三生活中的优化问题[例5]某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时,该蓄水池的体积最大.【解析】(1)因为蓄水池的侧面的总成本为100×2πrh=200πrh(元),底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.由题意得200πrh+160πr2=12000π,所以h=15r(3004r2从而V(r)=πr2h=π5(300r4r3)由h>0,且r>0,可得0<r<53.故函数V(r)的定义域为(0,53).(2