数学基础知识-函数

国数

I教学要求

1.理解函数的概念.

2.理解函数的三种表示法.

3.理解函数的单调性.

4.理解函数的奇偶性.

5.了解函数的实际应用举例.

II教材分析

本章内容介绍

现实世界中许多量之间有依赖关系，一个量变化时另一个量也随之变化.函数是研究

变量之间确定性依赖关系的数学模型，是数学中最基本的概念之一.

教材的编写从中职学生实际出发，使用与集合相对应的语言刻画函数概念，使学生

认识到函数是描述客观世界中变量间依赖关系的数学模型.列举了大量的实例，使学生建

立起函数的概念，进而强化对函数符号意义的理解.函数的图像是数形结合的基础，要让

学生理解函数的图像的意义.教材充分利用函数图像，让学生通过观察图像获得对函数基

本性质的直观认识，这样处理充分体现了数形结合的思想.

本章在引进函数的概念后，介绍了函数的三种不同表示方法：列表法、解析法和图

像法，使学生对函数这一抽象概念有更深刻的理解和认识.

本章出现了较多的概念和数学符号，内容较为抽象，需从实际问题出发，从实例

入手，从具体问题抽象出数学概念，体现数学与生活实际的密切联系，提升学生的学

习兴趣.

学好本章的关键是：深刻理解函数的概念和函数图像的意义.除此之外，对于刚刚入

-24-

校的中职生，在教学中，要做好与初中知识的衔接.主要注意以下几个方面：

(1)加强概念的教学.引入概念应注意从学生熟悉的事物入手.教师每讲授一个新概

念时，要给学生提供能反映概念本质属性的素材，使学生在获得一定的感性认识的基础

上，通过观察、比较、归纳提高到理性认识，以形成完整的概念.对容易混淆的概念，

适当采用对比的方法，使学生从正误两种例子中加深对概念的理解.

(2)温故而知新.在引进和运用新知识时，尽量复习已学过的知识，使已学过的知识

得到不断的重现而加以巩固；要有意识地应用集合和命题的符号和术语；对于有关条件

和结论，要经常注意提到是不是充分条件或必要条件；注意复习函数的定义域与不等式

的解法等.

(3)注意数形结合.用数形结合的方法分析研究和解决一个问题.对中职学生具有特

殊的重要意义.分析函数性质时作出简图，便于增强学生对函数直观的感知：观察图像

的性态，用分析的方法研究函数的性质，使直观的感知上升到理性的认识.例如，对函

数的单调性和奇偶性，要尽可能地画出简图.

本章教学重点

1.函数的概念.

2.函数的图像和性质.

3.函数的应用.

本章教学难点

1.函数的概念.

2.函数的实际应用.

本章学时安排如下(仅供参考)

3.1函数的概念约2学时

3.2函数的三种表示法约2学时

33函数的性质约4学时

3.4函数的实际应用举例约2学时

本章小结与复习约2学时

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III教学建议和习题答案

3.1函数的概念

1.引入函数的概念通常有两种方法，一种方法是借助映射的定义，另一种方法是通

过实例分析，体会集合与集合间的对应关系，这种关系即为函数.教材采用了后一种方

法，从背景实例入手，在体会两个变量之间依赖关系的基础上，引导学生运用与集合对

应的语言刻画函数的概念，使得函数的引入简单明了.

2.函数的三要素为自变量，因变量和对应关系，三者缺一不可.理解在某个区间上定

义的函数与函数在区间具体点上的取值的区别.两个函数相等，不但要对应关系相同，定

义域也要相同.

3.对于函数定义，我们应注意以下几点：

(1)函数是指自变量到因变量的对应关系.

(2)一个函数包括两个要素：定义域和对应法则，值域被对应法则和定义域所完

全确定.

(3)自变量的一个值唯一对应因变量的一个值.如果一个自变量与两个以上的数对

应，那么这种关系就不叫做函数关系；但几个自变量同时对应一个因变量是符合函数定

义的.

(4)在定义中，我们用了表示函数，其实还可换用其他字母表示，如g、0等.同

样.自变量x也可换用其他字母表示，如八女等.分别以小人上为自变量的三个函数

y=5x,v=5z,s=5k,

如果它们的定义域相同，则它们表示的是同一函数关系：”一个数的5倍”.

(5)我们用字母"，"°”表示函数(对应法则)，力刈表示了在x的值.这种讲法

说成对定义域内每一数a，表示自变量在x=a时的值是一致的.符号力刈又常常用

来表示函数式.

(6)在初中，把因变量看作自变量的函数，现在我们又把函数看成一种法则或关系.前

者虽然把因变量当作函数，但在定义中，仍然使用了对应与映射的观点，这与后者定义的函

数，在本质上已比较接近.由于说惯了“y是x的函数”，引入新定义后，这种说法仍然保

留.“y是x的函数”，“函数产㈤”，“函数迷幻”等说法，都是允许的.

-26-

课堂练习答案

1.(1)是；(2)是；⑶不是；(4)是.

2.(1){x|x>0}；

(2){x|x#-5}；

(3){X|XGR}；

⑷。2)U(2,M).

54

3.7(0)=-2;/(1)=--；八2)=一丁

01°15

=-2;/(x+1)=-x--.

习题3.1答案

1.(1)是；

(2)不是.

2.(1){x|x工5}；

(2){x\x<-3^x>3]；

3

(3){x||<x<7}；

(4){x|-l<x<l}.

3.(1){5,11,17}；(2)[3,+oc).

4.(1)(-oo,-2]U(2,+oo);

(2)〃-5)=T7"(・2)=-8,J3)=1,/(10)=

3.2函数的三种表示法

1.函数的概念包含三个要素：定义域、值域和对应法则.目前中职阶段，值域通常取

为实数集，因此表示一个函数就要指明它的定义域和对应法则.

2.当函数段，的定义域A是有限集时，可以用一张表格来表示函数，第一行写出A

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的各个元素，第二行写出相应的函数值，这种表示函数的方法叫做列表法.

3.当段)的定义域A是无限集或有限集时，通常要寻找一个或几个式子来表示对应

法贝h即用一个或几个等式来表示函数，这一个或几个等式叫做这个函数的解析表达

式，简称为解析式.

4.在用解析法表示定义域为数集的函数时，如果没有标明定义域，那么我们约定：

函数/(幻的定义域是指所有使解析式有意义的实数尤组成的集合，不再每次声明.

此外要注意，在实际问题中，还必须结合问题的实际意义来确定自变量工的取值范围.

5.用平面直角坐标系里的图像表示两个变量之间的函数关系的方法称为图像法.

用图像法表示函数的最大优点是直观，因为函数的图像是数形结合的基础.为此首先

要把什么是函数的图像搞清楚.

教材中给函数的图像下了一个定义：设是定义域为A的一个函数，任取

acA,在平面直角坐标系。孙里，描出坐标为(〃,/(.))的点当〃取遍A的所有元素

时，坐标为的点构成的图像，称为函数的图像.

从这个定义可以得出：

点M(a,Z?)在/*(%)的图像上oawA,且b=f(a).

即，点A/(a,母在f(x)的图像上当且仅当它的横坐标a属于定义域，纵坐标b等于a处的

函数值.

这个结论十分重要，它是利用函数的图像研究函数性质的基础.

课堂练习答案

1.y=15x,{x|xeN,x<100}.

2.

-28-

习题3.2答案

1.列表法表示为:

听数（听）1234

钱数（元）2468

解析法表示为：

y=2x,XG{1,2,3,4}；

图像法表不为：

该函数的值域为{2,4,6,8}.

2.

（1）

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⑶

-8•

-7

-6/x)=x2+2v,xe{-2,-l,0,l,2)

-5

-4

-3»

-2

-1

-6-5-4-3-2-p.J23456%

3.时点和。点均不在/（X）的图像上.

3.3函数的性质

1.函数/*）在区间上是增函数还是减函数，可使用图像法进行判别，它具有直观易

懂的优点，但是要注意：我们不能默认函数/（X）的单调性，去用一条光滑的曲线联结描

出的各点，然后又让学生从这样画出的图像去判断/（X）的单调性，在画基本初等函数在

某个区间上的图像时，往往是要先用定义证明函数的单调性，然后才能用一条光滑曲线

联结描出的各点，得到该函数在某个区间上的图像，之后利用对称性等画出该函数在另

一个区间上的图像，这样对于该函数在另一个区间上的单调性就可以从图像来判断了.

2.对于任意的一次函数丁=奴+。/工0）的单调性，自然应当用定义法去判断.先统

一写出了区）一/（电）的表达式，然后分k>0和k<0两种情形判断了（西）一/（巧）的正负.

教材的例2给出了使用定义法判断一个二次函数在某个区间上的单调性的求解过程.

3.本教材在阐述奇函数和偶函数的定义上有创新.

抓住讨论函数奇偶性的实质是研窕函数图像对称性这一事实，先让学生观察常见的两

个函数的图像的对称性，再填表研究互为相反数的x值对应的函数值的特点.

由此引出了偶函数和奇函数的定义，并且定义也说明了偶函数和奇函数的图像关于

原点对称，起了一箭双雕的作用.

我们这种讲法阐明了为什么要引进奇函数和偶函数的概念，而且简捷地证明了奇函

数和偶函数的图像的对称性.

-30-

4.在教学中应结合图形给学生讲解“点P（〃,A）关十y轴的对称点Q的坐标是

（-〃,份，关于原点的对称点M的坐标是（-a-3”这两个结论.它们在探索了（幻的图像

的对称性时极为有用.

5.判断函数的单调性和奇偶性均有2种方法：图像法和定义法.对于不同的问题应选

择合适的方法进行判断，教材中的“思考时刻”提到了关于奇偶性的图像判断法，这

里，教师应加以说明.

6.教材中“思考时刻”答案：

正比例函数/（1）=依（人手0）是奇函数；反比例函数/（X）=&（&二0）是奇函数.

x

课堂练习3.3.1答案

1.在（YO,-1］上单调递减，在（-1,1］上单调递增，在（1,3］上单调递减，在（3,+o。］上单调

递增.

2.减函数.

3.单调递增.

4.证明；设0＜玉V芍v18,则

/(X)-/(X)=A_A5(X2-^)

12=I>0,

%x2x1-x2

故函数/（X）=9在S,+00）上是减函数.

X

5.证明：^3<x1<x2<4-oo,则

/（不）一/（工2）=一§（七一3）2+§（工2—3尸=（王一工2）［-§（玉+X2）4-2］

又西一工2＜0，内+巧＞6,所以，/（^）-/（%2）＞0,

即八幻二-§（冗一3）2+5在［3,70）上为减函数.

课堂练习3.3.2答案

（1）奇函数;

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(2)非奇非偶函数；

(3)非奇非偶函数；

(4)偶函数.

习题3.3答案

1.(1)图略，在(-8,+0。)上单调递减；

(2)图略，在(YO,0)上单调递增，在(0,~F8)上单调递增；

(3)图略，在(y,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增；

(4)图略，在(YO,+O。)上单调递增.

2.(1)奇函数；

(2)非奇非偶函数；

(3)偶函数；

(4)非奇非偶函数.

3./(-5)=-3.

4./(-1)</(3).

5.证明：令Z-JV—6,则/(x)=2(x—十5可以写成/(Z)-2Z2+5.易知/(z)为偶函

数，且在zKO时为减函数，故原函数/(幻在(-8,6］上为减函数.

3.4函数的实际应用举例

1.对于实际问题，通过观察和收集数据，研究变量之间的依赖关系，建立一个函数

模型，然后利用已知数据，求出函数的解析式.有了解析式，就可以深入研究这个函数的

性质(例如，最大值或最小值等)，也可以利用解析式作出预测.

本节就是想让学生了解如何从实际问题建立函数模型，求出函数的解析式，利用解

析式作预测，以及利用解析式研究函数的最大值或最小值.

2.教材中例1讨论了奥运会早期的撑杆跳高纪录与时间的关系.从1900年，1904

年，1908年这三届奥运会的撑杆跳高纪录来看，每一届比上一届的纪录提高了0.20米，

这是均匀变化，因此试着建立一次函数的模型.用待定系数法求出一次函数的解析式后，

用这个解析式预测1912年奥运会的撑杆跳高纪录是准确的，但是预测1988年奥运会撑

杆跳高却与实际纪录相差太大.我们在教材中指出，用所建立的函数模型，在已知数据邻

-32-

近处作预测，结果是与实际情况比较吻合的；远离已知数据作预测是不可靠的.这个观点

应当让学生知道，这样在用数学知识解决实际问题时才不会出差错.

此外，我们在教材中还指出，光看三届奥运会纪录是远远不够的，需要有足够多届

的奥运会纪录才有可能研究撑杆跳高纪录与时间的关系.这也是告诉学生如何正确运用数

学知识解决实际生活中的问题，不能仅凭少数几次的数据就作出结论.

3.教材中的其他两个例子都是利用一元二次函数的知识解决最大值问题，其步骤

是：首先求出函数的解析式，然后利用配方法求出二次函数在x取何值时达到最大(或

最小)值，并且要检查工所取的值是否在实际问题允许的范围内.

课堂练习答案

当矩形的长和宽都为8cm时，矩形的面积最大，最大面积为64cm4

习题3.4答案

1./(x)=60x,/(5)=3OO.

2./(x)=--x+50.

A

3」=为时达到最大高度，在空中运行/=也着地.

gg

4.当产量x=100时(满足0VxV200),有最大利润，最大利润为9900元.

IV复习题3答案

A组

1.—.

2./(-x)=2x2-x.

3./(l)=31,/(2)=28,/(6)=30.

4.(1)/(1)=4,/(3)=-2；

(2)/(I)=-4,/(2)=-7,/(-2)=-19.

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(1)3"一二}；

(2){j:|x<-5,x