11.3 多边形的内角和

11.3多边形的内角和基础过关练1．从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边分成10个三角形，则这个多边形是（

）边形A．十 B．十一 C．十二 D．十三2．从多边形一条边上的一点（不是顶点）处出发，连接各个顶点得到2021个三角形，则这个多边形的边数为（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．20203．下列说法正确的有（）个．①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接C、D两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④n边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出（n-3）条对角线，这些对角线把这个n边形分成了（n-2）个三角形．A．3 B．2 C．1 D．04．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2000°，则这个内角是（

）．A．160° B．140° C．200° D．20°5．一个正多边形的每个外角都等于40°，则它的内角和是（）A．1000° B．1620° C．1260° D．6．如图，小明从正八边形（各边相等，各内角也相等）草地的一边AB上一点S出发，步行一周回到原处在步行的过程中，小明转过的角度的和是（

）A．0° B．45° C．180° D．360°7．如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG．若∠CFB=57°，则∠AGD=（）A．108° B．36° C．129° D．72°8．若正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为（

）A．12 B．13 C．14 D．159．若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（

）A．10 B．9 C．8 D．610．若一个正多边形的一个外角是72°，则这个正多边形的边数是（

）A．10 B．9 C．8 D．511．若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（

）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形12．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B=230°，则∠1+A．130° B．180° C．230° D．330°13．八边形的外角和是（

）.A． B． C．540° D．360°14．若一个正多边形的每个内角都是120°，则这个正多边形是（

）A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形15．已知一个多边形的内角和与外角和的和为1620°，这个多边形的边数为（

）A．7 B．8 C．9 D．10能力提升练16．下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（

）A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，217．下列图形中，是正多边形的是(

)A．三条边都相等的三角形 B．四个角都是直角的四边C．四边都相等的四边形 D．六条边都相等的六边形18．某个人从多边形一个顶点出发引对角线可以把这个多边形分成八个三角形，这个多边形是（

）边形A．六 B．八 C．十 D．十一19．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上（

）根木条.A．1 B．2 C．3 D．420．如图，将多边形分割成三角形.图①中可分割出2个三角形，图②中可分割出3个三角形，图③中可分割出4个三角形.由此你能推测出n边形可以分割出三角形（

）A．(n−2)个 B．(n−1)个 C．n个 D．无数个21．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=19°，则∠2A． B．51° C．42° D．49°22．如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则（

）A．10° B．12° C．14° D．15°23．多边形的边数由3增加到，其外角度数之和是（

）A．增加 B．保持不变 C．减小 D．变成(n−3)1824．如图，∠A+A．180∘ B．360∘ C．25．如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1A．72° B．84° C．82° D．94°26．如图，伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的_______________．27．如图，求∠A+28．一个多边形的每一个内角都是它对应外角的3倍，这个多边形的边数是__．拓展培优练29．已知：一个多边形所有的内角与它的一个外角的和等于2011°．(1)求这个外角的度数；(2)求它的边数.30．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．(1)如图1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度数；(2)如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请直接写出α，β所满足的数量关系式；(3)如图2，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由．31．探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？(1)已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC＋∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？(2)已知：如图2，△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？(3)已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A＋∠B的数量关系．32．（1）问题发现：小红在数学课上学习了外角的相关知识后，她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，于是，爱思考的小红在想，四边形的外角是否也具有类似的性质呢？如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角．∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是_________________；（2）总结归纳：如果我们把∠1，∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；（3）知识应用：如图②，已知四边形ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度数；（4）拓展提升：如图③，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，求∠P的度数．33．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．(1)如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．(2)如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．(3)如图③，若α＝110°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）34．已知MN//，点B、C在MN上（B在C左侧），A在上，连接AB、AC，∠PAB=60°，，AE平分∠PAC，平分∠ABC，AE、交于点E．(1)求∠AEB(2)若将图1中的线段AC沿向右平移到DC如图2所示位置，DE平分∠ADC，平分∠ABC，DE、交于点E，∠PAB=60°，∠DCB=40°，请你直接写出的度数：(3)若将图1中的线段AC沿向左平移到DC如图3所示位置，其它条件与（2）相同，猜想此时的度数又是多少．（不需要证明）

11.3多边形的内角和基础过关练1．从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边分成10个三角形，则这个多边形是（

）边形A．十 B．十一 C．十二 D．十三【答案】C【分析】从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n−3）条对角线，把n边形分为（n−2）的三角形．【详解】解：由题意可知，n−2＝10，解得n＝12．∴这个多边形的边数为12．故选：C．【点睛】此题主要考查了多边形，关键是掌握从一个n边形的某个顶点出发，可以把n边形分为（n−2）的三角形．2．从多边形一条边上的一点（不是顶点）处出发，连接各个顶点得到2021个三角形，则这个多边形的边数为（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【答案】B【分析】设多边形的边数为n，可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数为n-1，即可求解．【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意得：n-1=2020，解得n=2021，故选：B【点睛】此题考查了规律型：图形的变化，理解多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数=多边形的边数-1是解题的关键．3．下列说法正确的有（）个．①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接C、D两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④n边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出（n-3）条对角线，这些对角线把这个n边形分成了（n-2）个三角形．A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】利用角平分线的定义、两点间距离的定义、线段公理（两点之间线段最短）、以及多边形对角线的求法分析得出即可．【详解】解：①从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线，故原说法错误；②连接C、D两点的线段的长度叫两点之间的距离，故原说法错误；③两点之间线段最短，故原说法错误；④n边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出(n−3)条对角线，这些对角线把这个n边形分成了(n−2)个三角形，此说法正确．所以，正确的说法只有1个，故选：C．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义、两点间距离的定义、线段公理（两点之间线段最短）、以及多边形对角线的求法等知识，正确把握相关定义是解题关键．4．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2000°，则这个内角是（

）．A．160° B．140° C．200° D．20°【答案】A【分析】设多边形的边数是n，没加的内角为x，根据多边形的内角和公式n−2⋅【详解】解：设多边形的边数是n，没加的内角为x，根据题意得：n−2⋅∵2000°÷180°=11...20°，∴n=14，x=160°．故选：A．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式可得多边形的内角和是180°整数倍是解题的关键．5．一个正多边形的每个外角都等于40°，则它的内角和是（）A．1000° B．1620° C．1260° D．【答案】C【分析】先根据多边形的外角和求多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出即可．【详解】解：设这个多边形是n边形，根据多边形的外角和为360°可得，40°×n=360°，解得n=9．所以这个多边形的内角和为（9-2）×180°=1260°．故选C.【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，能正确求出多边形的边数是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于360°，边数为n的多边形的内角和=(n−2)×180°.6．如图，小明从正八边形（各边相等，各内角也相等）草地的一边AB上一点S出发，步行一周回到原处在步行的过程中，小明转过的角度的和是（

）A．0° B．45° C．180° D．360°【答案】D【分析】根据正八边形的内角和求出每个内角，再求出每次转过的角度45°，一共转8次，利用45°×8计算即可.【详解】解：∵ABCDEFGH为正八边形，∴每个内角为（8-2）×180°÷8=135°，小明每转一次转过的角为180°-135°=45°，步行一周回到原处，小明一共转八次所有转过的角度之和为45°×8=360°，故选:D．【点睛】本题考查正八边形的内角和、每个内角、外角与外角和，掌握正多边形相关知识是解题关键．7．如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG．若∠CFB=57°，则∠AGD=（）A．108° B．36° C．129° D．72°【答案】C【分析】过点D作DH∥FB交AB于点H，根据平行线的性质先求出∠CDH=57°，然后求出∠HDG=51°，最后利用平行线的性质求得即可．【详解】解：过点D作DH∥FB交AB于点∵∠CFB=57°∴∠CDH=在正五边形ABCDE中，∠CDE=108°∴∠HDE=∵BF∴∠AGD=180°−故选：C．【点睛】本题考查了正五边形的性质，平行线的判定和性质，构造辅助线是解决本题的关键．8．若正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】D【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【详解】解：外角是180°−156°=24°，360°÷24°=15，∴这个正多边形是正十五边形．故选D．【点睛】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．9．若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（

）A．10 B．9 C．8 D．6【答案】D【分析】根据多边形的外角和等于360°计算即可．【详解】解：360°÷60°＝6，即正多边形的边数是6．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．10．若一个正多边形的一个外角是72°，则这个正多边形的边数是（

）A．10 B．9 C．8 D．5【答案】D【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．【详解】解：这个正多边形的边数：360°÷72°=5．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，解题的关键是熟记正多边形的边数与外角的关系．11．若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（

）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形【答案】A【分析】根据多边形内角和公式n−2×180°【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，n−2×180°=360°n−2=2，∴n=4，故选：A．【点睛】本题考查的知识点多边形的内角和与外角和，熟记多边形内角和公式是解题的关键．12．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B=230°，则∠1+A．130° B．180° C．230° D．330°【答案】C【分析】根据多边形的外角和为360°，以及已知条件，求得∠4+【详解】如图，∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，∠EAB+∴∠4+∠∴∠故选C【点睛】本题考查了多边形的外角和，掌握多边形的外角和是360度是解题的关键．13．八边形的外角和是（

）.A． B． C．540° D．360°【答案】D【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．【详解】解：八边形的外角和是360°．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关．14．若一个正多边形的每个内角都是120°，则这个正多边形是（

）A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形【答案】A【分析】设所求正多边形边数为n，根据内角与外角互为邻补角，可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，由60°•n=360°，求解即可．【详解】解：设所求正多边形边数为n，∵正n边形的每个内角都等于120°，∴正n边形的每个外角都等于180°-120°=60°．又因为多边形的外角和为360°，即60°•n=360°，∴n=6．所以这个正多边形是正六边形．故选：A．【点睛】本题考查了多边形内角和外角和的知识，解答本题的关键在于熟练掌握任何多边形的外角和都是360°．15．已知一个多边形的内角和与外角和的和为1620°，这个多边形的边数为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据多边形的外角和为360°求得这个多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求解即可．【详解】解：由题意可知，多边形的内角和为1620°−360°=1260°，设多边形的边数为n，则(n−2)×180°=1260°，解得，n=9，故选：C【点睛】此题考查了多边形内角和和外角和的性质，解题的关键是掌握多边形内角和公式．能力提升练16．下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（

）A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2【答案】D【分析】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成．【详解】A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误；C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三条线段的和大于最长的线段即可．17．下列图形中，是正多边形的是(

)A．三条边都相等的三角形 B．四个角都是直角的四边C．四边都相等的四边形 D．六条边都相等的六边形【答案】A【分析】根据正多边形的定义即可解答.【详解】选项A，三条边都相等的三角形是等边三角形，它的三个角相等，三条边都相等，是正多边形；选项B、C、D不符合正多边形的定义，都不是正多边形.故选A．【点睛】本题主要考查了正多边形的定义，熟练运用正多边形的定义是解决问题的关键．18．某个人从多边形一个顶点出发引对角线可以把这个多边形分成八个三角形，这个多边形是（

）边形A．六 B．八 C．十 D．十一【答案】C【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，可组成n−2个三角形，依此可得n的值．【详解】根据n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，可组成n−2个三角形，∴n−2＝8，即n＝10．故选：C．【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．19．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上（

）根木条.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】从一个多边形的一个顶点出发，能做（n-3）条对角线，把三角形分成（n-2）个三角形．【详解】解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上3根木条；要使一个n边形木架不变形，至少再钉上（n-3）根木条．故选：C.【点睛】本题考查了多边形以及三角形的稳定性；掌握从一个顶点把多边形分成三角形的对角线条数是n-3．20．如图，将多边形分割成三角形.图①中可分割出2个三角形，图②中可分割出3个三角形，图③中可分割出4个三角形.由此你能推测出n边形可以分割出三角形（

）A．(n−2)个 B．(n−1)个 C．n个 D．无数个【答案】B【分析】（1）三角形分割成了两个三角形；（2）四边形分割成了三个三角形；（3）以此类推，n边形分割成了（n-1）个三角形．【详解】根据图形分析规律（1）三角形分割成了两个三角形；（2）四边形分割成了三个三角形；（3）以此类推，n边形分割成了（n-1）个三角形．即n边形可以分割出(n−1)个三角形故选B.【点睛】本题考查多边形的问题，根据具体数值进行分析找出规律是解题关键.21．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=19°，则∠2A． B．51° C．42° D．49°【答案】A【分析】先求出正六边形的内角和外角，再根据三角形的外角性质以及平行线的性质，即可求解．【详解】解：∵正六边形的每个内角等于120°，每个外角等于60°，∴∠FAD=120°-∠1=101°，∠ADB=60°，∴∠ABD=101°-60°=41°∵光线是平行的，∴∠2=∠ABD=41°，故选A【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质以及正六边形的性质，掌握三角形的外角性质以及平行线的性质是解题的关键．22．如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则（

）A．10° B．12° C．14° D．15°【答案】B【分析】利用正n边形的外角和定理计算即可【详解】如图，延长BA到点O，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAO=3606∵五边形ABGHI是正五边形，∴∠IAO=3605∴∠FAI=∠IAO-∠FAO=12°，故选B．【点睛】本题考查了正多边形的外角和定理，熟练掌握正ｎ边形的外角和定理是解题的关键．23．多边形的边数由3增加到，其外角度数之和是（

）A．增加 B．保持不变 C．减小 D．变成(n−3)18【答案】B【分析】根据多边形的外角和定理即可解决．【详解】解：任何多边形的外角和都是360°．故选：B．【点睛】本题考查了多边形的外角和，多边形的外角和是360度，并不随边数的变化而变化．24．如图，∠A+A．180∘ B．360∘ C．【答案】B【分析】根据三角形外角的性质和多边形外角和定理得出答案即可．【详解】解：由三角形外角的性质可得：等于中间四边形四个外角的和，故∠A+故选：B．【点睛】本题考查了三角形外角的性质和多边形外角和定理，判断出所求角度的和等于中间四边形四个外角的和是解题的关键．25．如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1A．72° B．84° C．82° D．94°【答案】B【分析】根据正多边形内角和公式求出正六边形和正五边形的内角和内角的补角，结合三角形内角和定理即可求解；【详解】解：正六边形的内角为：180°×6−2正五边形的内角为：180°×5−2∴∠故选：B【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形的内角和定理，掌握相关知识并正确求解是解题的关键．26．如图，伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的_______________．【答案】灵活性．【分析】根据四边形的灵活性，可得答案．【详解】我们常见的晾衣服的伸缩晾衣架，是利用了四边形的灵活性，故答案为灵活性．【点睛】此题考查多边形，解题关键在于掌握四边形的灵活性.27．如图，求∠A+【答案】225°##225度【分析】连接AD，BC，根据三角形内角和、四边形内角和求解即可．【详解】解：连接AD，BC，四边形ABCD中，∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°，∵∠DEA＋∠EAD＋∠ADE＝180°，∠DEA＝105°，∴∠EAD＋∠ADE＝180°−105°＝75°，∵∠CFB＋∠FCB＋∠FBC＝180°，∠CFB＝120°，∴∠FCB十∠FBC＝180°−120°＝60°，∴∠DCF＋∠ABF＋∠EAB＋∠EDC＝360°−（∠EAD＋∠ADE）−（∠FCB＋∠FBC）＝360°−75°−60°＝225°，故答案为：225°．【点睛】此题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．28．一个多边形的每一个内角都是它对应外角的3倍，这个多边形的边数是__．【答案】8【分析】假设多边形的边数是n，则每一个内角是180°n−2n，内角所对的外角为，利用，可得：．【详解】解：假设多边形边数为n，则多边形的每一个内角是180°n−2∴内角所对的外角为，∵解得：，故答案为：8．【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，关键是利用多边形内角和公式表示出每一个内角，再表示出内角所对的外角．拓展培优练29．已知：一个多边形所有的内角与它的一个外角的和等于2011°．(1)求这个外角的度数；(2)求它的边数.【答案】(1)这个外角的度数是31°；(2)边数为13【分析】根据多边形的内角和公式，用2011°除以180°，商加上2就是这个多边形的边数，余数是这个多边形的一个外角度数求解即可．（1）解：∵一个多边形的所有内角与它的一个外角的和等于2011°，2011°÷180°=11…31°，∴这个外角的度数是31°；（2）解：∵一个多边形的所有内角与它的一个外角的和等于2011°，2011°÷180°=11…31°，∴这个多边形的边数为：11+2=13．【点睛】此题考查了多边形的内角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．30．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．(1)如图1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度数；(2)如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请直接写出α，β所满足的数量关系式；(3)如图2，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由．【答案】(1)105°(2)β-α=90°(3)BE∥DF，理由见解析【分析】（1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可；（2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可；（3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答．（1）解：∵四边形ABCD的内角和为360°，∴α+β=∠A+∠BCD=360°－（∠ABC+∠ADC），∵∠MBC和∠NDC是四边形ABCD的外角，∴∠MBC=180°－∠ABC，∠NDC=180°－∠ADC，∴∠MBC+∠NDC=180°－∠ABC+180°－∠ADC=360°－（∠ABC+∠ADC），=α+β=105°；（2）解：β-α=90°（或α－β=-90°等均正确）．理由：如图1，连接BD，由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=12∠NDC，∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12（∠MBC+∠NDC）=12（α+β），在△BCD中，∠BDC+∠CBD=180°-∠BCD=180°-β，在△BDG中，∠BGD＝45°，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD=180°，∴12（α+β）+180°-β+45°=180°，∴β-α=90°．故答案为β-（3）解：BE∥DF．理由：如图2，过点C作CP∥BE，则∠EBC=∠BCP，∴∠DCP=∠BCD－∠BCP=β－∠EBC，由（1）知∠MBC+∠NDC=α+β，∵α=β，∴∠MBC+∠NDC=2β，又∵BE、DF分别平分∠MBC和∠NDC，∴∠EBC+∠FDC=12（∠MBC+∠NDC）=β，∴∠FDC=β－∠EBC，又∵∠DCP=β－∠EBC，∴∠FDC=∠DCP，∴CP∥DF，又CP∥BE，∴BE∥DF．【点睛】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，四边形的内角和，三角形内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练．31．探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？(1)已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC＋∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？(2)已知：如图2，△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？(3)已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A＋∠B的数量关系．【答案】(1)∠FDC+∠ECD＝180°+∠A；(2)∠P＝90°+12∠A(3)∠P＝12（∠A+∠B【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠（3）根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．（1）解：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A，理由如下：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC，∵∠A+∠ADC+∠ACD=180°，∴∠FDC+∠ECD＝180°+∠A；（2）解：∠P＝90°+12∠A，理由如下：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC＝12∠ADC，∠PCD＝12∠ACD，∵∠P+∠PCD+∠PDC=180°，∠A+∠ADC+∠ACD=180°，∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣12∠ADC﹣12∠ACD＝180°﹣12（∠ADC+∠ACD）＝180°﹣12（180°﹣（3）解：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC＝12∠ADC，∠PCD＝12∠BCD，∵∠P+∠PDC+∠PCD=180°，∠A+∠B+∠BCD+∠ADC=360°，∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣12∠ADC﹣12∠BCD＝180°﹣12（∠ADC+∠BCD）＝180°﹣12（360°﹣∠A﹣∠B）＝12【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，熟练掌握角平分线的定义及外角性质是解题的关键．32．（1）问题发现：小红在数学课上学习了外角的相关知识后，她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，于是，爱思考的小红在想，四边形的外角是否也具有类似的性质呢？如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角．∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是_________________；（2）总结归纳：如果我们把∠1，∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；（3）知识应用：如图②，已知四边形ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度数；（4）拓展提升：如图③，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，求∠P的度数．【答案】（1）∠1+∠2＝∠A+∠D；（2）四边形的相邻的两个外角的和等于和它不相邻的两个内角的和；（3）65°；（4）30°【分析】（1）根据两个等式，利用等式性质得出∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系；（2）仿照三角形的外角定理求解；（3）根据（1）结论，先确定∠MDA与∠DAN的和，再根据角平分线的性质，可以确定∠EDA与∠DAE的和，从而求∠E的度数；（4）先确定∠CDN与∠CBM之和，再确定∠CDP与∠CBP之和，进而确定∠ADC与∠ABP之和，再根根四边形内角和，从而求∠P的度数．【详解】解：（1）∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，∴∠1+∠2＝∠A+∠D，故答案为：∠1+∠2＝∠A+∠D；（2）结论为：四边形的相邻的两个外角的和等于和它不相邻的两个内角的和；（3）由（1）知：∠MDA+∠DAN＝∠B+∠C＝230°，∵AE，DE分别是∠NAD和∠MDA的平分线，∴2∠EDA+2∠DAE＝230°，∴∠EDA+∠DAE＝115°，∴∠E＝180﹣（∠EDA+∠DAE）＝65°；（4）由（1）得：∠CDN+∠CBM＝∠A+∠C，∵∠A＝∠C＝90°，∴∠CDN+∠CBM＝180°，∵∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，∴∠CDP+∠CBP＝（∠CDN+∠CBM）＝60°，∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠CDN+∠CBM+∠CDN+∠CBM＝180°+60°＝240°，即∠ADP+∠ABP＝240°，∵∠A＝90°，∴∠P＝360°﹣（∠ADP+∠ABP）﹣∠A＝30°．【点睛】本题考查考查了三角形的综合题，阅读题目，理解题意是解题的关键．33．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．(1)如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．(2)如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．(3)如图③，若α＝110°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）【答案】(1)，理由见解析；(2)2∠(3)90∘+m【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行加以证明；（2）利用三角形的外角性质证明即可；（3）分两种情况画图讨论：①当n=3时；②当n=2时．（1）解：EF∥GH，理由如下：在△BEG中，，∵α=90°，，∵∠1+∠2+∠FEG=180°,∠3+∠4+∠EGH=180°,∠1=∠2,∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH=360°，∴∠FEG+∠EGH=180∘（2）解：β=2α−180°．理由如下：在△BEG中，，，∵∠1=∠2,∠1=∠MEB，，，∵∠3=∠4,∠4=∠MGB，，，在△MEG中，∠