高中数学竞赛讲义完美数学高考指导一

高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)/高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)高中数学竞赛讲义（一）──集合与简易逻辑一、基础知识定义1

一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。例如，通常用N，Z，Q，B，分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。定义2

子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。定义3

交集，定义4

并集，定义5

补集，若称为A在I中的补集。定义6

差集，。定义7

集合记作开区间，集合记作闭区间，R记作定理1

集合的性质：对任意集合A，B，C，有：（1）（2）；（3）（4）【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。（1）若，则，且或，所以或，即；反之，，则或，即且或，即且，即（3）若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有定理2

加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。定理3

乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。二、方法与例题1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。例1

设，求证：（1）；（2）；（3）若，则[证明]（1）因为，且，所以（2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以（3）设，则（因为）。2．利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则。例2

设A，B是两个集合，又设集合M满足，求集合M（用A，B表示）。【解】先证，若，因为，所以，所以；再证，若，则1）若，则；2）若，则。所以综上，3．分类讨论思想的应用。例3

，若，求【解】依题设，，再由解得或，因为，所以，所以，所以或2，所以或3。因为，所以，若，则，即，若，则或，解得综上所述，或；或。4．计数原理的应用。例4

集合A，B，C是{1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若，求有序集合对（A，B）的个数；（2）求I的非空真子集的个数。【解】（1）集合I可划分为三个不相交的子集；A\B，B\A，中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。（2）I的子集分三类：空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有个，非空真子集有1022个。5．配对方法。例5给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。【解】将I的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同在这个子集中，因此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C1A与A，并设，则，从而可以在个子集中再添加，与已知矛盾，所以。综上，。6．竞赛常用方法与例问题。定理4

容斥原理；用表示集合A的元素个数，则，需要此结论可以推广到个集合的情况，即定义8

集合的划分：若，且，则这些子集的全集叫I的一个-划分。定理5

最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。定理6

抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。例6

求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。【解】记，，由容斥原理，，所以不能被2，3，5整除的数有个。例7

S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当时，恰有，且S满足题目条件，所以最少含有912个元素。例8

求所有自然数，使得存在实数满足：【解】

当时，；当时，；当时，。下证当时，不存在满足条件。令，则所以必存在某两个下标，使得，所以或，即，所以或，。（ⅰ）若，考虑，有或，即，设，则，导致矛盾，故只有考虑，有或，即，设，则，推出矛盾，设，则，又推出矛盾，所以故当时，不存在满足条件的实数。（ⅱ）若，考虑，有或，即，这时，推出矛盾，故。考虑，有或，即=3，于是，矛盾。因此，所以，这又矛盾，所以只有，所以。故当时，不存在满足条件的实数。例9

设{1，2，3，4，5，6}，{7，8，9，……，n}，在A中取三个数，B中取两个数组成五个元素的集合，求的最小值。【解】设B中每个数在所有中最多重复出现次，则必有。若不然，数出现次（），则在出现的所有中，至少有一个A中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，}，其中，为满足题意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以20个中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以。当时，如下20个集合满足要求：{1，2，3，7，8}，

{1，2，4，12，14}，

{1，2，5，15，16}，

{1，2，6，9，10}，{1，3，4，10，11}，{1，3，5，13，14}，

{1，3，6，12，15}，

{1，4，5，7，9}，{1，4，6，13，16}，{1，5，6，8，11}，

{2，3，4，13，15}，

{2，3，5，9，11}，{2，3，6，14，16}，{2，4，5，8，10}，

{2，4，6，7，11}，

{2，5，6，12，13}，{3，4，5，12，16}，{3，4，6，8，9}，

{3，5，6，7，10}，

{4，5，6，14，15}。例10集合{1，2，…，3n}可以划分成个互不相交的三元集合，其中，求满足条件的最小正整数【解】设其中第个三元集为则1+2+…+所以。当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有，所以，当时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以的最小值为5。三、基础训练题1．给定三元集合，则实数的取值范围是。2．若集合中只有一个元素，则。3．集合的非空真子集有个。4．已知集合，若，则由满足条件的实数组成的集合。5．已知，且，则常数的取值范围是。6．若非空集合S满足，且若，则，那么符合要求的集合S有个。7．集合之间的关系是。8．若集合，其中，且，若，则A中元素之和是。9．集合，且，则满足条件的值构成的集合为。10．集合，则。11．已知S是由实数构成的集合，且满足1））若，则。如果，S中至少含有多少个元素？说明理由。12．已知，又C为单元素集合，求实数的取值范围。四、高考水平训练题1．已知集合，且，则，。

2．，则。3．已知集合，当时，实数的取值范围是。4．若实数为常数，且。5．集合，若，则。6．集合，则中的最小元素是。7．集合，且，则。8．已知集合，且，则的取值范围是。9．设集合，问：是否存在，使得，并证明你的结论。10．集合A和B各含有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C的个数：1）且C中含有3个元素；2）。11．判断以下命题是否正确：设A，B是平面上两个点集，，若对任何，都有，则必有，证明你的结论。五、联赛一试水平训练题1．已知集合，则实数的取值范围是。2．集合的子集B满足：对任意的，则集合B中元素个数的最大值是。3．已知集合，其中，且，若，则实数。4．已知集合，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则。5．集合，集合，则集合M与N的关系是。6．设集合，集合A满足：，且当时，，则A中元素最多有个。7．非空集合，≤则使成立的所有的集合是。8．已知集合A，B，（不必相异）的并集,则满足条件的有序三元组（A，B，C）个数是。9．已知集合，问：当取何值时，为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？10．求集合B和C，使得，并且C的元素乘积等于B的元素和。11．S是Q的子集且满足：若，则恰有一个成立，并且若，则，试确定集合S。12．集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干个五元子集满足：S中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？六、联赛二试水平训练题1．是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列，如果，，则。求证：中必有两个相等。2．求证：集合{1，2，…，1989}可以划分为117个互不相交的子集，使得（1）每个恰有17个元素；（2）每个中各元素之和相同。3．某人写了封信，同时写了个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？4．设是20个两两不同的整数，且整合中有201个不同的元素，求集合中不同元素个数的最小可能值。5．设S是由个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数。6．对于整数，求出最小的整数，使得对于任何正整数，集合的任一个元子集中，均有至少3个两两互质的元素。7．设集合{1，2，…，50}，求最小自然数，使S的任意一个元子集中都存在两个不同的数a和b，满足。8．集合，试作出X的三元子集族&，满足：（1）X的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；（2）。9．设集合，求最小的正整数，使得对A的任意一个14-分划，一定存在某个集合，在中有两个元素a和b满足。高中数学精神讲义（二）──二次函数与命题一、基础知识1．二次函数：当0时，2或f(x)2称为关于x的二次函数，其对称轴为直线，另外配方可得f(x)(0)2(x0)，其中x0，下同。2．二次函数的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0,-∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a<0时，情况相反。3．当a>0时，方程f(x)=0即20…①和不等式2>0…②及2<0…③与函数f(x)的关系如下（记△2-4）。1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x12(x1<x2)，不等式②和不等式③的解集分别是{<x1或x>x2}和{1<x<x2}，二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x)(1)(2).2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x120=,不等式②和不等式③的解集分别是{}和空集，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和(x)图象与x轴无公共点。当a<0时，请读者自己分析。4．二次函数的最值：若a>0，当0时，f(x)取最小值f(x0)=,若a<0，则当0=时，f(x)取最大值f(x0)=.对于给定区间[]上的二次函数f(x)2(a>0)，当x0∈[m,n]时，f(x)在[m,n]上的最小值为f(x0);当x0<m时。f(x)在[m,n]上的最小值为f(m)；当x0>n时，f(x)在[m,n]上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。定义1

能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。注1

“p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。定义2

原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。注2

原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。注3

反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义3

如果命题“若p则q”为真，则记为否则记作.在命题“若p则q”中，如果已知,则p是q的充分条件；如果，则称p是q的必要条件；如果但q不p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不q但，则p称为q的必要非充分条件；若且，则p是q的充要条件。二、方法与例题1．待定系数法。例1

设方程x21=0的两根是α，β，求满足f(α)=β(β)=α(1)=1的二次函数f(x).【解】

设f(x)2(a0),则由已知f(α)=β(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）1]=0，因为方程x21=0中△0，所以αβ，所以(α+β)1=0.又α+β=1,所以1=0.又因为f(1)1，所以1=1，所以2.又(1)，所以f(x)2-(1)2.再由f(α)=β得aα2-(1)α+2=β,所以aα2α+2=α+β=1，所以aα2α+1=0.即a(α2-α+1)+10,即10，所以1,所以f(x)2-22.2．方程的思想。例2

已知f(x)2满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。【解】

因为-4≤f(1)≤-1,所以1≤(1)≤4.又-1≤f(2)=4≤5,f(3)(2)(1),所以×(-1)+≤f(3)≤×5+×4,所以-1≤f(3)≤20.3．利用二次函数的性质。例3

已知二次函数f(x)2(∈R,a0)，若方程f(x)无实根，求证：方程f(f(x))也无实根。【证明】若a>0，因为f(x)无实根，所以二次函数g(x)(x)图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的x∈(x)>0即f(x)>x，从而f(f(x))>f(x)。所以f(f(x))>x，所以方程f(f(x))无实根。注：请读者思考例3的逆命题是否正确。4．利用二次函数表达式解题。例4

设二次函数f(x)2(a>0)，方程f(x)的两根x1,x2满足0<x1<x2<,（Ⅰ）当x∈(0,x1)时，求证：x<f(x)<x1；（Ⅱ）设函数f(x)的图象关于0对称，求证：x0<【证明】因为x1,x2是方程f(x)0的两根，所以f(x)(1)(2)，即f(x)(1)(2).（Ⅰ）当x∈(0,x1)时，1<0,2<0,a>0，所以f(x)>x.其次f(x)1=(1)[a(2)+1](1)[2+]<0，所以f(x)<x1.综上，x<f(x)<x1.（Ⅱ）f(x)(1)(2)2+[1(x12)]1x2,所以x0=,所以，所以5．构造二次函数解题。例5

已知关于x的方程(1)22(2),a>1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。【证明】

方程化为2a2x2+212=0.构造f(x)=2a2x2+212,f(1)=(1)2>0,f(-1)=(1)2>0,f(0)=12<0,即△>0，所以f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。即方程的正根比1小，负根比-1大。6．定义在区间上的二次函数的最值。例6

当x取何值时，函数取最小值？求出这个最小值。【解】1-,令u,则0<u≤1。5u21=5,且当即3时，.例7

设变量x满足x2≤(b<-1)，并且x2的最小值是，求b的值。【解】

由x2≤(b<-1)，得0≤x≤-(1).ⅰ)-≤-(1)，即b≤-2时，x2的最小值为-，所以b2=2，所以（舍去）。ⅱ)->-(1)，即b>-2时，x2在[0，-(1)]上是减函数，所以x2的最小值为11.综上，.7.一元二次不等式问题的解法。例8

已知不等式组

①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。【解】

因为方程x22=0的两根为x1,x2=1,若a≤0，则x1<x2.①的解集为a<x<1，由②得x>1-2a.因为1-2a≥1，所以a≤0,所以不等式组无解。若a>0，ⅰ）当0<a<时，x1<x2,①的解集为a<x<1.因为0<a<x<1<1，所以不等式组无整数解。ⅱ）当时，1，①无解。ⅲ）当a>时，a>1，由②得x>1-2a，所以不等式组的解集为1<x<a.又不等式组的整数解恰有2个，所以(1)>1且(1)≤3，所以1<a≤2，并且当1<a≤2时，不等式组恰有两个整数解0，1。综上，a的取值范围是1<a≤2.8．充分性与必要性。例9

设定数A，B，C使得不等式A()()()()()()≥0

①对一切实数都成立，问A，B，C应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示条件）【解】

充要条件为A，B，C≥0且A222≤2().先证必要性，①可改写为A()2-()()()()2≥0

②若0，则由②对一切∈R成立，则只有，再由①知0，若A0，则因为②恒成立，所以A>0，△=()2()2-4()2≤0恒成立，所以()2-4≤0，即A222≤2()同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。再证充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A222≤2()，1）若0，则由B22≤2得()2≤0，所以，所以△=0，所以②成立，①成立。2）若A>0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。综上，充分性得证。9．常用结论。定理1

若a,b∈R,≤≤.【证明】

因为≤a≤≤b≤，所以-()≤≤,所以≤（注：若m>0，则≤x≤m等价于≤m）.又≤,即≤.综上定理1得证。定理2

若∈R,则a22≥2；若∈,则≥(证略)注

定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。三、基础训练题1．下列四个命题中属于真命题的是，①“若0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“两个全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x20有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。2．由上列各组命题构成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题中，p或q为真，p且q为假，非p为真的是.①p；3是偶数，q：4是奇数；②p:3+2=6:③∈():{a}{};④p:,q:.3.当2|<a时，不等式2-4|<1成立，则正数a的取值范围是.4.不等式2+(1)>0的解是1<x<2，则a,b的值是.5.x1且x2是1的条件，而-2<m<0且0<n<1是关于x的方程x20有两个小于1的正根的条件.6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是.7.若{2+52=0}的子集至多有2个，则m的取值范围是.8.R为全集，{3≥4},,则()∩.9.设a,b是整数，集合{()|()2+3b≤6y}，点（2，1）∈A，但点（1，0）A，（3，2）A则的值是.10．设集合{<4},{2-43>0}，则集合{∈A且∩B}.11.求使不等式2+41≥-2x2对任意实数x恒成立的a的取值范围。12．对任意x∈[0,1],有①②成立，求k的取值范围。四、高考水平训练题1．若不等式<x的解集不空，则实数a的取值范围是.2．使不等式x2+(6)9>0当≤1时恒成立的x的取值范围是.3．若不等式24<0的解集为R，则实数k的取值范围是.4．若集合{7|>10},{5|<k}，且A∩，则k的取值范围是.5．设a1、a2,b1、b2,c1、c2均为非零实数，不等式a1x211>0和a2x222>0解集分别为M和N，那么“”是“”的条件。6．若下列三个方程x2+443=0,x2+(1)2=0,x2+220中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是.7．已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则r是q的条件。8．已知p:|1≤2,q:x2-212≤0(m>0)，若非p是非q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是.9．已知a>0，f(x)2，对任意x∈R有f(2)(2)，若f(1-2x2)<f(1+22)，求x的取值范围。10．已知a,b,c∈R,f(x)2,g(x),当≤1时，(x)|≤1,(1)求证：≤1;(2)求证：当≤1时，(x)|≤2;(3)当a>0且≤1时，g(x)最大值为2，求f(x).11.设实数满足条件：=0，且a≥0>0，求证：方程20有一根x0满足0<x0<1.五、联赛一试水平训练题1．不等式3-2x2-43<0的解集是.2．如果实数x,y满足：，那么的最小值是.3．已知二次函数f(x)2的图象经过点（1，1），（3，5），f(0)>0，当函数的最小值取最大值时，23.4.已知f(x)1-2,x∈[0,1]，方程f(f(f)(x)))有个实根。5．若关于x的方程4x2-40在[-1，1]上至少有一个实根，则m取值范围是.6．若f(x)432对一切x∈R都有f(x)≥x且f(1)=1，则2.7.对一切x∈R，f(x)2(a<b)的值恒为非负实数，则的最小值为.8．函数f(x)2的图象如图，且2.那么b2-44.（填>、=、<）9．若a<b<c<d，求证：对任意实数1,关于x的方程()()()()=0都有两个不等的实根。10．某人解二次方程时作如下练习：他每解完一个方程，如果方程有两个实根，他就给出下一个二次方程：它的常数项等于前一个方程较大的根，x的系数等于较小的根，二次项系数都是1。证明：这种练习不可能无限次继续下去，并求最多能延续的次数。11．已知f(x)2在[0，1]上满足(x)|≤1,试求的最大值。

六、联赛二试水平训练题1．设f(x)2，∈R,a>100，试问满足(x)|≤50的整数x最多有几个？2．设函数f(x)2+83(a<0)，对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得在整个区间[0，l(a)]上，不等式(x)|≤5都成立。求l(a)的最大值及相应a的值。3．设x12,…∈[a,1]，且设,,求2的最大值。4．F(x)2，∈R,且(0)|≤1(1)|≤1(-1)|≤1,则对于≤1，求(x)|的最大值。5．已知f(x)2，若存在实数m，使得(m)|≤(1)|≤,求△2-4b的最大值和最小值。6．设二次函数f(x)2(∈R,a0)满足下列条件：1）当x∈R时，f(4)(2)，且f(x)≥x；2）当x∈(0,2)时，f(x)≤;3）f(x)在R上最小值为0。求最大的m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]就有f()≤x.7.求证：方程32+2()=0(b0)在(0,1)内至少有一个实根。8．设∈,a<A,b<B，若n个正数a1,a2,…位于a与A之间，n个正数b1,b2,…位于b与B之间，求证：9．设为实数，g(x)2,≤1，求使下列条件同时满足的a,b,c的值：（ⅰ）=381;（ⅱ）g(x)444;（ⅲ）g(x)364.高中数学竞赛讲义（三）──函数一、基础知识定义1

映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f:A→B为一个映射。定义2

单射，若f:A→B是一个映射且对任意x,y∈A,,都有f(x)f(y)则称之为单射。定义3

满射，若f:A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)，则称f:A→B是A到B上的满射。定义4

一一映射，若f:A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则1构成的映射，记作1:A→B。定义5

函数，映射f:A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若x∈A,y∈B，且f(x)（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数3-1的定义域为{≥0∈R}.

定义6

反函数，若函数f:A→B（通常记作(x)）是一一映射，则它的逆映射1:A→B叫原函数的反函数，通常写作1(x).这里求反函数的过程是：在解析式(x)中反解x得1(y)，然后将x,y互换得1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数的反函数是1-(x0).定理1

互为反函数的两个函数的图象关于直线对称。定理2

在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。定义7

函数的性质。（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1,x2∈I并且x1<x2，总有f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f()(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f()(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f()(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。定义8

如果实数a<b，则数集{<x<b,x∈R}叫做开区间，记作（），集合{≤x≤∈R}记作闭区间[]，集合{<x≤b}记作半开半闭区间（]，集合{≤x<b}记作半闭半开区间[a,b)，集合{>a}记作开区间（a,+∞），集合{≤a}记作半开半闭区间（-∞].定义9

函数的图象，点集{()(x),x∈D}称为函数(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数(x)的图象与其他函数图象之间的关系(>0)；（1）向右平移a个单位得到()的图象；（2）向左平移a个单位得到()的图象；（3）向下平移b个单位得到(x)的图象；（4）与函数()的图象关于y轴对称；（5）与函数()的图象关于原点成中心对称；（6）与函数1(x)的图象关于直线对称；（7）与函数(x)的图象关于x轴对称。定理3

复合函数[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如,2在（-∞,2）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，所以在（-∞,2）上是增函数。注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。二、方法与例题1．数形结合法。例1

求方程1的正根的个数.【解】分别画出1|和的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。

例2

求函数f(x)=的最大值。【解】

f(x)=，记点P(x,x?2)，A（3，2），B（0，1），则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。因为≤,当且仅当P为延长线与抛物线2的交点时等号成立。所以f(x)2.函数性质的应用。例3

设x,y∈R，且满足，求.【解】

设f(t)3+1997t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若a<b，则f(b)(a)33+1997()=()(b22+1997)>0，所以f(t)递增。由题设f(1)1(1)，所以1=1，所以2.例4

奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1)(12)<0，求a的取值范围。【解】

因为f(x)

是奇函数，所以f(12)(a2-1)，由题设f(1)<f(a2-1)。又f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-1<1<a2-1<1，解得0<a<1。例5

设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z,用表示区间(21,21]，已知当x∈I0时，f(x)2，求f(x)在上的解析式。【解】

设x∈，则21<x≤21，所以f(2k)=(2k)2.又因为f(x)是以2为周期的函数，所以当x∈时，f(x)(2k)=(2k)2.例6

解方程：(31)()+(23)(+1)=0.【解】

令31,23，方程化为m(+1)(+1)=0.

①若0，则由①得0，但m,n不同时为0，所以m0,n0.ⅰ)若m>0，则由①得n<0，设f(t)(+1),则f(t)在（0，+∞）上是增函数。又f(m)()，所以，所以31+23=0，所以ⅱ)若m<0，且n>0。同理有0,但与m<0矛盾。综上，方程有唯一实数解3.配方法。例7

求函数的值域。【解】

[21+2+1]-1=(+1)-1≥-1.当时，y取最小值-，所以函数值域是[-，+∞）。4．换元法。例8

求函数(2)(+1)∈[0,1]的值域。【解】令，因为x∈[0,1]，所以2≤u2=2+2≤4,所以≤u≤2,所以≤≤2，1≤≤2，所以2∈[+2，8]。所以该函数值域为[2+，8]。5．判别式法。例9

求函数的值域。【解】由函数解析式得(1)x2+3(1)44=0.①当y1时，①式是关于x的方程有实根。所以△=9(1)2-16(1)2≥0，解得≤y≤1.又当1时，存在0使解析式成立，所以函数值域为[，7]。6．关于反函数。例10

若函数(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-∞∞)上递增，求证：1(x)在(-∞∞)上也是增函数。【证明】设x1<x2,且y11(x1),y21(x2)，则x1(y1),x2(y2)，若y1≥y2，则因为f(x)在(-∞∞)上递增，所以x1≥x2与假设矛盾，所以y1<y2。即1(x)在(-∞∞)递增。例11

设函数f(x)=，解方程：f(x)1(x).【解】

首先f(x)定义域为（-∞，-）∪[-，+∞）；其次，设x1,x2是定义域内变量，且x1<x2<>0,所以f(x)在（-∞，-）上递增，同理f(x)在[-，+∞）上递增。在方程f(x)1(x)中，记f(x)1(x)，则y≥0，又由1(x)得f(y)，所以x≥0,所以∈[-，+∞）.若，设x<y，则f(x)<f(y)，矛盾。同理若x>y也可得出矛盾。所以.即f(x)，化简得3x5+2x4-41=0,即(1)(3x4+5x3+5x2+51)=0,因为x≥0，所以3x4+5x3+5x2+51>0，所以1.三、基础训练题1．已知{-1,0,1},{-2,-1,0,1,2}，映射f：X→Y满足：对任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得(x)为偶数，这样的映射有个。2．给定{1，2，3}，{-1，0，1}和映射f：X→Y，若f为单射，则f有个；若f为满射，则f有个；满足f[f(x)](x)的映射有个。3．若直线(2)与函数2+2x图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有个交点。4．函数(x)的值域为[]，则函数g(x)(x)+的值域为。5．已知f(x)=，则函数g(x)[f(x)]的值域为。6．已知f(x)，当x≥3时f(x)为增函数，则a的取值范围是。7．设(x)在定义域（，2）内是增函数，则(x2-1)的单调递减区间为。8．若函数(x)存在反函数1(x)，则1(x)的图象与()的图象关于直线对称。9．函数f(x)满足=1-，则f()。10.函数,x∈(1,+∞)的反函数是。11．求下列函数的值域：（1）;(2);(3)2;(4)12.已知定义在R上，对任意x∈R,f(x)(2)，且f(x)是偶函数，又当x∈[2,3]时，f(x)，则当x∈[-2,0]时，求f(x)的解析式。四、高考水平训练题1．已知a∈,f(x)定义域是（0,1]，则g(x)()()(x)的定义域为。2．设0≤a<1时，f(x)=(1)x2-61恒为正值。则f(x)定义域为。3．映射f:{a,b,c,d}→{1，2，3}满足10<f(a)·f(b)·f(c)·f(d)<20，这样的映射f有个。4．设函数(x)(x∈R)的值域为R，且为增函数，若方程f(x)解集为P，f[f(x)]解集为Q，则P，Q的关系为：（填=、、）。5．下列函数是否为奇函数：（1）f(x)=(1)；（2）g(x)2121|;(3)(x)=；（4）6.设函数(x)(x∈R且x0)，对任意非零实数x1,x2满足f(x1x2)(x1)(x2)，又f(x)在（0，+∞）是增函数，则不等式f(x)()≤0的解集为。7．函数f(x)=，其中P，M为R的两个非空子集，又规定f(P)={(x),x∈P},f(M)={(x),x∈M}，给出如下判断：①若P∩，则f(P)∩f(M)=；②若P∩M，则f(P)∩f(M)；③若P∪,则f(P)∪f(M)；④若P∪，则f(P)∪f(M)R.其中正确的判断是。8．函数(1)的反函数是1(1)，并且f(1)=3997，则f(1998)=。9．已知(x)是定义域为[-6，6]的奇函数，且当x∈[0，3]时是一次函数，当x∈[3，6]时是二次函数，又f(6)=2，当x∈[3，6]时，f(x)≤f(5)=3。求f(x)的解析式。10．设a>0，函数f(x)定义域为R，且f()=，求证：f(x)为周期函数。11．设关于x的方程2x22=0的两根为α，β（α<β），已知函数f(x)=,（1）求f(α)、f(β)；（2）求证：f(x)在[α，β]上是增函数；（3）对任意正数x1,x2，求证：<2|α-β|.

五、联赛一试水平训练题1．奇函数f(x)存在函数1(x)，若把(x)的图象向上平移3个单位，然后向右平移2个单位后，再关于直线对称，得到的曲线所对应的函数是.2．若a>0，a1(x)是奇函数，则G(x)(x)是（奇偶性）.3．若，则下列等式中正确的有.①F(-2)2(x)；②F()=；③F(1)(x)；④F(F(x)).4.设函数f：R→R满足f(0)=1，且对任意∈R，都有f(1)(x)f(y)(y)2，则f(x).5．已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意x∈R都有f(5)≥f(x)+5,f(1)≤f(x)+1。若g(x)(x)+1，则g(2002)=.6.函数f(x)=的单调递增区间是.7.函数f(x)=的奇偶性是：奇函数，偶函数（填是，非）。8.函数的值域为.9．设f(x)=,对任意的a∈R，记V(a){f(x)∈[1,3]}{f(x)∈[1,3]}，试求V(a)的最小值。10．解方程组：（在实数范围内）11．设k∈,f:→满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意n∈,有f[f(n)]，求证：对任意n∈,都有n≤f(n)≤六、联赛二试水平训练题1．求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足：（1）对任意x≠0,f(x)·f；（2）对所有的x≠且≠0，有f(x)(y)=1().2.设f(x)对一切x>0有定义，且满足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函数；(ⅱ)任意x>0,f(x)1，试求f(1).3.f:[0,1]→R满足：（1）任意x∈[0,1],f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）当x,y,∈[0,1]时，f(x)(y)≤f()，试求最小常数c，对满足（1），（2），（3）的函数f(x)都有f(x)≤.4.试求f()=6(x22)()-4(x22)-3()+5(x>0,y>0)的最小值。5．对给定的正数∈(0,1)，有>1≥p22，试求f(x)=(1)+在[1]上的最大值。6．已知f:(0,1)→R且f(x)=.当x∈时，试求f(x)的最大值。7．函数f(x)定义在整数集上，且满足f(n)=，求f(100)的值。8．函数(x)定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。（1）求证：方程f(x)恰有一个解；（2）试给出一个具有上述性质的函数。9．设是正有理数的集合，试构造一个函数f:→，满足这样的条件：f((y)),y∈.高中数学竞赛讲义（四）──几个初等函数的性质一、基础知识1．指数函数及其性质：形如(a>0,a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0<a<1时，是减函数，当a>1时，为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。2．分数指数幂：。3．对数函数及其性质：形如(a>0,a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当0<a<1，为减函数，当a>1时，为增函数。4．对数的性质（M>0,N>0）；1）(a>0,a1)；2）a()=aaN；3）a（）=aaN；4）aaM；，5）aaM；6）a;7)a(>0,a,c1).5.函数（a>0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和。（请读者自己用定义证明）6．连续函数的性质：若a<b,f(x)在[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)=0在（）上至少有一个实根。二、方法与例题1．构造函数解题。例1

已知a,b,c∈(-1,1)，求证：1>0.【证明】设f(x)=()1(x∈(-1,1))，则f(x)是关于x的一次函数。所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-1<a<1）.因为f(-1)()1=(1)(1)>0，f(1)(1)(1)>0，所以f(a)>0，即1>0.例2

（柯西不等式）若a1,a2,…是不全为0的实数，b1,b2,…∈R，则（）·（）≥()2，等号当且仅当存在R，使a,1,2,…,n时成立。【证明】

令f(x)=（）x2-2(),因为>0，且对任意x∈R,f(x)≥0，所以△=4()-4（）()≤0.展开得（）()≥()2。等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使a,1,2,…,n。例3

设x,y∈,,c为常数且c∈(0,2]，求的最小值。【解】≥2·2.令，则0<≤,设f(t),0<t≤因为0<c≤2，所以0<≤1，所以f(t)在上单调递减。所以f(t)()，所以u≥2.当时，等号成立.所以u的最小值为2.2．指数和对数的运算技巧。例4

设p,q∈且满足91216()，求的值。【解】

令91216()，则9t,12t,16t，所以9t+12t=16t，即1+记，则12，解得又>0，所以=例5

对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和实数x,y,z,w，若70w，且，求证：.【证明】

由70w取常用对数得70.所以70,70,70，相加得()70，由题设，所以70，所以70.所以70=2×5×7.若1，则因为70，所以0与题设矛盾，所以a>1.又a≤b≤c，且a,b,c为70的正约数，所以只有2,5,7.所以.例6

已知x1,1,a1,c1.且2，求证c2=().【证明】

由题设2，化为以a为底的对数，得，因为>0,1，所以2，所以c2=().注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。3．指数与对数方程的解法。解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。例7

解方程：34x+5x=6x.【解】

方程可化为=1。设f(x)=,则f(x)在(-∞∞)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解3.例8

解方程组：（其中x,y∈）.【解】

两边取对数，则原方程组可化为

①②把①代入②得()236，所以[()2-36]0.由0得1，由()2-36=0(x,y∈)得6，代入①得2，即2，所以y26=0.又y>0，所以2,4.所以方程组的解为.例9

已知a>0,a1，试求使方程()2(x22)有解的k的取值范围。【解】由对数性质知，原方程的解x应满足.①②③若①、②同时成立，则③必成立，故只需解.由①可得2(12)，

④当0时，④无解；当k0时，④的解是，代入②得>k.若k<0，则k2>1，所以k<-1；若k>0，则k2<1，所以0<k<1.综上，当k∈(-∞1)∪(0,1)时，原方程有解。

三、基础训练题1．命题p:“(23)(53)x≥(23)(53)”是命题q:“≥0”的条件。2．如果x1是方程27的根，x2是方程1027的根，则x12.3．已知f(x)是定义在R上的增函数，点A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，1(x)是它的反函数，则不等式1(2x)|<1的解集为。4．若2a<0，则a取值范围是。5．命题p:函数2在[2，+∞）上是增函数；命题q:函数2(2-41)的值域为R，则p是q的条件。6．若0<b<1,a>0且a1，比较大小：(1)(1).7．已知f(x)=23x,x∈[1,3]，则函数[f(x)]2(x2)的值域为。8．若，则与x最接近的整数是。9．函数的单调递增区间是。10．函数f(x)=的值域为。11．设f(x)[1+23x+…+(1)xx·a]，其中n为给定正整数,n≥2,a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1．函数f(x)(x2-1)的定义域是.2．已知不等式x2<0在x∈时恒成立，则m的取值范围是.3．若x∈{22}，则x2,x,1从大到小排列是.4.若f(x)，则使f(a)(b).

5.命题p:函数2在[2，+∞）上是增函数；命题q：函数2(2-41)的值域为R，则p是q的条件.6．若0<b<1,a>0且a1，比较大小：a(1)|a(1)|.7．已知f(x)=23x,x∈[1,3]，则函数[f(x)]2(x2)的值域为.8．若，则与x最接近的整数是.9．函数的单调递增区间是.10．函数f(x)=的值域为.11．设f(x)[1+23x+…+(1)xx·a]，其中n为给定正整数，n≥2∈R。若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1．函数f(x)(x2-1)的定义域是.2．已知不等式x2<0在x∈时恒成立，则m的取值范围是.3．若x∈{22}，则x2,x,1从大到小排列是.4．若f(x)，则使f(a)(b)=成立的a,b的取值范围是.5．已知(1)，设，其中p,q为整数，且(p)=1，则p·q的值为.6．已知x>10,y>10,1000，则()·()的取值范围是.7．若方程()=2(1)只有一个实数解，则实数k的取值范围是.8．函数f(x)=的定义域为R，若关于x的方程f?2(x)(x)0有7个不同的实数解，则b,c应满足的充要条件是.（1）b<0且c>0；（2）b>0且c<0；（3）b<0且0；（4）b≥0且0。9．已知f(x),F(x)()()(t0)，则F(x)是函数（填奇偶性）.10．已知f(x)，若=1，=2，其中<1,<1，则f(a)(b).11．设a∈R，试讨论关于x的方程(1)(3)()的实数解的个数。12．设f(x)，实数a,b满足0<a<b,f(a)(b)=2f，求证：（1）a4+2a2-41=0,b4-4b3+2b2+1=0；（2）3<b<4.13．设a>0且a1,f(x)()(x≥1)，（1）求f(x)的反函数1(x)；（2）若1(n)<(n∈)，求a的取值范围。五、联赛一试水平训练题1．如果2[(2x)]=3[(3x)]=5[(5z)]=0，那么将x,y,z从小到大排列为.2．设对任意实数x0>x1>x2>x3>0，都有1993+1993+1993>1993恒成立，则k的最大值为.3．实数x,y满足4x2-54y2=5，设22，则的值为.4．已知0<b<1,00<α<450，则以下三个数：(α),(α),(α)从小到大排列为.5．用[x]表示不超过x的最大整数，则方程2[]-2=0的实根个数是.6．设[x()-1+1],1[1],[()-1+1]，记a,b,c中的最大数为M，则M的最小值为.7．若f(x)(x∈R)是周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=，则，由小到大排列为.8．不等式+2>0的解集为.9．已知a>1,b>1，且()，求(1)(1).10．（1）试画出由方程所确定的函数(x)图象。（2）若函数与(x)的图象恰有一个公共点，求a的取值范围。11．对于任意n∈(n>1)，试证明：[]+[]+…+[]=[2n]+[3n]+…+[]。六、联赛二试水平训练题1．设x,y,z∈且1，求的最小值。2．当a为何值时，不等式·5(x26)3≥0有且只有一个解（a>1且a1）。3．f(x)是定义在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函数，满足条件；对于任何x,y>1及u,v>0,f()≤[f(x)][f(y)]①都成立，试确定所有这样的函数f(x).4.求所有函数f：R→R，使得(x)(x)=()f()①成立。5．设m≥14是一个整数，函数f：N→N定义如下：f(n)=,求出所有的m,使得f(1995)=1995.6．求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数f:f()(x)(y)(x)·f(y),x,y∈Q.7．是否存在函数f(n)，将自然数集N映为自身，且对每个n>1,f(n)(f(1))(f(1))都成立。8．设p,q是任意自然数，求证：存在这样的f(x)∈Z(x)（表示整系数多项式集合），使对x轴上的某个长为的开区间中的每一个数x,有9．设α，β为实数，求所有f:→R，使得对任意的∈,f(x)f(y)2·f成立。高中数学竞赛讲义（五）──数列一、基础知识定义1

数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，….数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{}的一般形式通常记作a1,a2,a3,…，或a1,a2,a3,…，…。其中a1叫做数列的首项，是关于n的具体表达式，称为数列的通项。定理1

若表示{}的前n项和，则S11,当n>1时，1.定义2

等差数列，如果对任意的正整数n，都有1（常数），则{}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a,b,c成等差数列，即2，则称b为a和c的等差中项，若公差为d,则,.定理2

等差数列的性质：1）通项公式1+(1)d；2）前n项和公式：；3）()d，其中n,m为正整数；4）若，则q；5）对任意正整数p,q，恒有()(a21)；6）若A，B至少有一个不为零，则{}是等差数列的充要条件是2.定义3

等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{}称为等比数列，q叫做公比。定理3

等比数列的性质：1）11；2）前n项和，当q1时，；当1时，1；3）如果a,b,c成等比数列，即b2(b0)，则b叫做a,c的等比中项；4）若，则。定义4

极限，给定数列{}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有<，则称A为n→+∞时数列{}的极限，记作定义5

无穷递缩等比数列，若等比数列{}的公比q满足<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。定理3

第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时成立时能推出p(n)对1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

竞赛常用定理定理4

第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。定理5

对于齐次二阶线性递归数列12，设它的特征方程x2的两个根为α,β:(1)若αβ，则112β1，其中c1,c2由初始条件x1,x2的值确定；(2)若α=β，则(c12)α1，其中c1,c2的值由x1,x2的值确定。二、方法与例题1．不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。例1

试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。【解】1）2-1；2）32n；3）2-2n.例2

已知数列{}满足a112+…2,n≥1，求通项.【解】

因为a1=,又a12=22·a2,所以a2=，a3=,猜想(n≥1).证明；1）当1时，a1=，猜想正确。2）假设当n≤k时猜想成立。当1时，由归纳假设及题设，a1+a1+…1=[(1)2-1]1,，所以(2)1,即(2)1,所以(2)1,所以1=由数学归纳法可得猜想成立，所以例3

设0<a<1，数列{}满足1,1，求证：对任意n∈,有>1.【证明】

证明更强的结论：1<≤1.1)当1时，1<a1=1，①式成立；2)假设时，①式成立，即1<≤1，则当1时，有由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。2．迭代法。数列的通项或前n项和中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成1或1等，这种办法通常称迭代或递推。例4

数列{}满足12=0,n≥3，q0，求证：存在常数c，使得·【证明】·1+(12)2·()(1)]().若=0，则对任意n,0，取0即可.若0，则{+}是首项为，公式为q的等比数列。所以·.取·即可.综上，结论成立。例5

已知a1=0,1=5，求证：都是整数，n∈.【证明】

因为a1=0,a2=1，所以由题设知当n≥1时1>.又由1=5移项、平方得

①当n≥2时，把①式中的n换成1得，即

②因为1<1，所以①式和②式说明1,1是方程x2-101=0的两个不等根。由韦达定理得1+1=10(n≥2).再由a1=0,a2=1及③式可知，当n∈时，都是整数。3．数列求和法。数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。例6

已知(1,2,…)，求S9912+…99.【解】因为100，所以S99=例7

求和：+…+【解】

一般地，，所以

例8

已知数列{}满足a12=1，21,为数列的前n项和，求证：<2。【证明】

由递推公式可知，数列{}前几项为1，1，2，3，5，8，13。因为，

①所以。

②由①-②得，所以。又因为2<且>0,所以,所以，所以<2，得证。4．特征方程法。例9

已知数列{}满足a1=3,a2=6,2=41-4，求.【解】

由特征方程x2=44得x12=2.故设(α+βn)·21，其中，所以α=3，β=0，所以3·21.例10

已知数列{}满足a1=3,a2=6,2=21+3，求通项.【解】

由特征方程x2=23得x1=3,x21,所以α·3β·(-1)n，其中，解得α=，β，所以·3]。5．构造等差或等比数列。例11

正数列a01,…,…满足=21(n≥2)且a01=1，求通项。【解】

由得=1，即令1，则{}是首项为+1=2，公比为2的等比数列，所以1=2n，所以=（21）2，所以·…··a0=注：C1·C2·…·.例12

已知数列{}满足x1=2,1∈,求通项。【解】

考虑函数f(x)=的不动点，由得因为x1=2,1=,可知{}的每项均为正数。又+2≥，所以1≥(n≥1)。又1,

①1,

②由①÷②得。

③又>0，由③可知对任意n∈，>0且,所以是首项为，公比为2的等比数列。所以·，所以，解得·。注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。三、基础训练题1．数列{}满足x1=2,1(1)，其中为{}前n项和，当n≥2时，.2.数列{}满足x1=，1=,则{}的通项.3.数列{}满足x1=1，21(n≥2)，则{}的通项.4.等差数列{}满足3a8=5a13，且a1>0,为前n项之和，则当最大时，.5.等比数列{}前n项之和记为,若S10=10，S30=70，则S40.6.数列{}满足11(n≥2)，x1,x2,12+…+，则S100.7.数列{}中，12+…2-41则12…10.8.若，并且x12+…+8，则x1.9.等差数列{}，{}的前n项和分别为和，若，则.10.若(1)…2·1,则.11．若{}是无穷等比数列，为正整数，且满足a56=48,2a2·2a3+2a2·2a5+2a2·2a6+2a5·2a6=36，求的通项。12．已知数列{}是公差不为零的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列，且b1=1,b2=5,b3=17,求：（1）q的值；（2）数列{}的前n项和。

四、高考水平训练题1．已知函数f(x)=，若数列{}满足a1=，1()(n∈)，则a2006.2．已知数列{}满足a1=1,1+2a2+3a3+…+(1)1(n≥2)，则{}的通项.3.若2+,且{}是递增数列，则实数的取值范围是.4.设正项等比数列{}的首项a1=,前n项和为,且210S30-（210+1）S2010=0，则.5.已知，则a的取值范围是.6．数列{}满足1=3(n∈)，存在个a1值，使{}成等差数列；存在个a1值，使{}成等比数列。7．已知(n∈)，则在数列{}的前50项中，最大项与最小项分别是.8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为.9.设{}是由正数组成的数列，对于所有自然数n,与2的等差中项等于与2的等比中项，则.10.在公比大于1的等比数列中，最多连续有项是在100与1000之间的整数.11．已知数列{}中，0，求证：数列{}成等差数列的充要条件是（n≥2）①恒成立。12．已知数列{}和{}中有1,(n≥2),当a1,b1(p>0,q>0)且1时，（1）求证：>0,>0且1（n∈N）；（2）求证：1=；（3）求数列13．是否存在常数a,b,c，使题设等式1·22+2·32+…·(1)2=(2)对于一切自然数n都成立？证明你的结论。五、联赛一试水平训练题1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有个。2．设数列{}满足x1=1,，则通项.3.设数列{}满足a1=3,>0，且，则通项.4.已知数列a0,a1,a2,…,,…满足关系式(31)·(6)=18，且a0=3，则.5.等比数列23,43,83的公比为.6.各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有项.7.数列{}满足a1=2,a2=6,且=2，则.8.数列{}称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0,{1}构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有项.9．设h∈，数列{}定义为：a0=1,1=。问：对于怎样的h，存在大于0的整数n，使得1？10．设{}k≥1为一非负整数列，且对任意k≥1，满足≥a221，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。11．求证：存在唯一的正整数数列a12,…,使得a1=1,a2>1,1(1-1)=

六、联赛二试水平训练题1．设为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里1,2,….2．设a1,a2,…,表示整数1，2，…，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：①a1=1;②1|≤2,1,2,…1。试问f(2007)能否被3整除？3．设数列{}和{}满足a0=10=0，且求证：(0,1,2,…)是完全平方数。4．无穷正实数数列{}具有以下性质：x0=1，1<(0,1,2,…),（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个n≥1，使≥3.999均成立；（2）寻求这样的一个数列使不等式<4对任一n均成立。5．设x12,…是各项都不大于M的正整数序列且满足12|(3,4,…)①.试问这样的序列最多有多少项？6．设a12=，且当3,4,5,…时，,(ⅰ)求数列{}的通项公式；(ⅱ)求证：是整数的平方。7．整数列u0123,…满足u0=1，且对每个正整数n,11，这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。8．求证：存在无穷有界数列{}，使得对任何不同的m,k，有≥9.已知n个正整数a01,…，和实数q，其中0<q<1，求证：n个实数b01,…，和满足：（1）<(1,2,…)；（2）q<<(1,2,…)；（3）b12+…<(a01+…).高中数学竞赛讲义（六）──三角函数一、基础知识定义1

角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义2

角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α,其中r是圆的半径。定义3

三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（），到原点的距离为r,则正弦函数α=,余弦函数α=,正切函数α=，余切函数α=，正割函数α=,余割函数α=定理1

同角三角函数的基本关系式，倒数关系：αα=，α=；商数关系：α=；乘积关系：α×ααα×αα；平方关系：2α2α=1,2α+12α,2α+12α.定理2

诱导公式（Ⅰ）(α+π)α,(π+α)α,(π+α)α,(π+α)α;（Ⅱ）(-α)α,(-α)α,(-α)α,(-α)α;（Ⅲ）(π-α)α,(π-α)α,(π-α)α,(π-α)α;（Ⅳ）α,α,α（奇变偶不变，符号看象限）。定理3

正弦函数的性质，根据图象可得（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2.奇偶数.有界性：当且仅当2时，y取最大值1，当且仅当3时,y取最小值-1。对称性：直线均为其对称轴，点（k,0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.定理4

余弦函数的性质，根据图象可得(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ,2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π,2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线π均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当2kπ时，y取最大值1；当且仅当2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.定理5正切函数的性质：由图象知奇函数(π+)在开区间(kπ-,kπ+)上为增函数,最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。定理6

两角和与差的基本关系式：(αβ)αβαβ(αβ)αβαβ;(αβ)=定理7

和差化积与积化和差公式:αβ=2αβ=2,αβ=2,αβ2,αβ=[(α+β)(α-β)]αβ=[(α+β)(α-β)],αβ=[(α+β)(α-β)]αβ[(α+β)(α-β)].定理8

倍角公式2α=2αα,2α2α2α=22α-1=1-22α,

2α=定理9

半角公式,定理10

万能公式:,,定理11

辅助角公式：如果a,b是实数且a220，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a,b)的一个角为β，则ββ=，对任意的角α.αα(α+β).定理12

正弦定理：在任意△中有，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边，R为△外接圆半径。定理13

余弦定理：在任意△中有a222-2，其中分别是角A，B，C的对边。定理14

图象之间的关系：的图象经上下平移得的图象；经左右平移得()的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到()的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到的图象（振幅变换）；()(>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到的图象（振幅变换）；()(,>0)(叫作振幅)的图象向右平移个单位得到的图象。定义4

函数的反函数叫反正弦函数，记作(x∈[-1,1])，函数(x∈[0,π])的反函数叫反余弦函数，记作(x∈[-1,1]).函数的反函数叫反正切函数。记作(x∈[-∞,+∞]).(x∈[0,π])的反函数称为反余切函数，记作(x∈[-∞,+∞]).定理15

三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程的解集是{π+(-1),n∈Z}。方程的解集是{2,k∈Z}.如果a∈R，方程的解集是{π,k∈Z}。恒等式：；.定理16

若，则<x<.二、方法与例题1．结合图象解题。例1

求方程的解的个数。【解】在同一坐标系内画出函数与的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。2．三角函数性质的应用。例2

设x∈(0,π),试比较()与()的大小。【解】

若，则≤1且>-1，所以，所以()≤0,又0<≤1,所以()>0，所以()>().若，则因为()()≤<，所以0<<<，所以()>()().综上，当x∈(0,π)时，总有()<().例3

已知α，β为锐角，且x·（α+β-）>0，求证：【证明】

若α+β>，则x>0，由α>-β>0得α<(-β)β,所以0<<1，又α>(-β)β,所以0<<1，所以

若α+β<，则x<0，由0<α<-β<得α>(-β)β>0,所以>1。又0<α<(-β)β，所以>1，所以，得证。注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。3．最小正周期的确定。例4

求函数(2)的最小正周期。【解】

首先，2π是函数的周期（事实上，因为()，所以）；其次，当且仅当π+时，0（因为|2≤2<π）,所以若最小正周期为T0，则T0π,m∈，又(20)2(2π)，所以T0=2π。4．三角最值问题。例5

已知函数，求函数的最大值与最小值。【解法一】

令,则有因为，所以，所以≤1，所以当，即2kπ-(k∈Z)时，0，

当，即2kπ+(k∈Z)时，2.【解法二】

因为,=2（因为()2≤2(a22)），且≤1≤，所以0≤≤2，所以当，即2kπ+(k∈Z)时,2，当，即2kπ-(k∈Z)时,0。例6

设0<<π，求的最大值。【解】因为0<<π，所以，所以>0,>0.所以（1）=2·2=≤=

当且仅当222,即,=2时，(1)取得最大值。例7

若A，B，C为△三个内角，试求的最大值。【解】

因为2,①,

②又因为，③由①，②，③得≤4,所以≤3,当时，（）.注：三角函数的有界性、≤1、≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。5．换元法的使用。例8

求的值域。【解】

设因为所以又因为t2=1+2,所以，所以，所以因为1，所以，所以1.所以函数值域为

例9

已知a0=1,(n∈)，求证：>.【证明】由题设>0，令,∈，则因为，∈，所以，所以又因为a01=1，所以a0=，所以·。又因为当0<x<时，>x，所以注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x∈时，有>x>，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。6．图象变换：(x∈R)与()(A,,>0).由的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到()的图象；也可以由的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到()的图象。例10

例10

已知f(x)()(>0,0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。【解】由f(x)是偶函数，所以f()(x)，所以(+)()，所以0，对任意x∈R成立。又0≤≤π，解得=，因为f(x)图象关于对称，所以=0。取0，得=0，所以所以(k∈Z)，即=(21)(k∈Z).又>0，取0时，此时f(x)(2)在[0，]上是减函数；取1时，=2，此时f(x)(2)在[0，]上是减函数；取