专题22 【五年中考+一年模拟】 几何压轴题-2023年温州中考数学真题模拟题分类汇编（解析版）-中考数学备考复习重点资料归纳

专题22几何压轴题

1.(2022•龙港市模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知8(4,4),C(6,0),以为直径

构造M,交x轴于另一点A,直线=经过点分别交M于点、E,F(点、E

在左侧)，连结AE,BE,AB,CF.

(1)求人的值.

(2)求/E43的度数和CF的长.

(3)点P在ABC上，连结PF.当NCFP与A43E的一个内角相等时，求所有满足条件的

点P的坐标.

【答案】(1)k=-；(2)Z£4B=45°,CF=屈;(3)当NCFP与A4BE的一个内角相

2

等时，满足条件的点P的坐标为(6,4)或(3,1)或(7,1)

【详解】(1)过点加作"/7,47于点N,如图，

BC为M的直径,

:.BA±AC,

3(4,4),

:.AB=4,A(4,0).

:.OA=4.

C(6,0),

:,OC=6,

/.AC=OC-OB=2,

MN1AC,

,\AN=NC=1.

MN//AB,CM=BM,

:.MN=、AB=2,

2

，M(5⑵.

・•直线=经过点M,

2

.・.5%-』=2,

2

解得：攵=L

2

(2)k=~,

2

直线/:y=-x~—.

22

设直线y工与x轴交与点。，如图,

22

令y=0,则L」二o,

'22

x=1>

・♦.0(1,0).

.•.00=1,

:.AD=OA-OD=3,

.\DN=AD+AN=4.

DN4、MN2

MN2CN1

.DN_MN

…~MN~'CN'

ZDNM=ZMNC=90°，

:.ZDMN=ZMCN.

ZWC+ZMCV=90。，

:.ZDMN+ZNMC=90°，

即NDMC=90。，

.,./MBE=90。,

「.ZEAB=-ZBME=45°.

2

ZDMC=90°,

/.ZBA/F=90°,

MF=MC,

••.AMfC为等腰直角三角形，

CF=yf2CM.

CM=JCM+MM=Jr+2?=石,

.\cr=Vio.

(3)①当NCFP=Z4£B时，连接BP,PC,如图,

ZCFP=ZAEB.

：.AB=CP,

BC为〃的直径，

:.ZBAC=ZBPC=9(r.

在RtAABC和RtAPCB中，

\BC=CB

\AB=PC"

・•.RtAABC=RtAPCB(HL),

AC=BP=2,

四边形ACPB为平行四边形,

Z^4C=90°,

・•・平行四边形ACPB为矩形，

.•.PC_Lx轴，PC=AB=4,

0c=6,

尸(6,4)；

②当NCFP=NE43时，

连接石C,过点E作石HLQA丁点H,如图,

2

NCFP=NEAB=45。,

:.ZCFP=ZCFE,

・••点七与点P重合.

BA±OA,

:.ZEAH=ZEAB=45°,

EHVOA,

:.EH=AH，

^,EH=AH=x,则HC=x+2,

CM上EF,

.\CE=CF=y/]O.

EH2+HC2=CE\

x2+(x+2)2=(Vio)2,

解得：x=l或==-3(不合题意，舍去)，

：.EH=AH=\,

:.HC=3,

:.OH=OC-HC=3,

尸(3,1)；

③当/CFP=ZABE时，

连接PC,PB,过点P作轴于点G,如图,

:.AE=PC,

AE=^AH-+EH2=72，

:.PC=42.

NCFP=ZABE,NCBP=NCFP,

:.ZCBP=ZABE.

ZABE+ZABC="BE」/EMC=45°,

2

.-.ZABC+ZCBP=45°,

.-.ZABP=45°.

NPCG为圆内接四边形PC4B的外角，

:.ZPCG=ZABP=45°,

PG_Lx轴，

.•."CG为等腰直角三角形，

：.PG=CG=—PC=\,

2

:.OG=OC+CG=1.

综上，当/CFP与AMS的一个内角相等时,满足条件的点P的坐标为(6,4)或(3,1)或(7,1).

2.(2022•洞头区模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线CD:y=Jtr+与交AABO的外接

圆：M于点E,点C,交x轴于点。，交y轴于点F.点C是BO的中点，连结OC,BC.点

A(6,0),点8(0,8).

(1)求A3的长和8的解析式.

(2)求点E的坐标.

(3)点尸在x轴上，连结砂，即与ABCO的任意一边平行时，求OP的长.

【答案】(1)AB=10,8的解析式为：y=--x+—；(2)E(7,l)；(3)。P=7或也或

332

13

T

.•.3=6,OB=8,

：.ABZO^+OB?=10,

,点C是80的中点，

:.BG=OG=-OB=4,

2

.\GM=-OA=3,

2

.•.CG=CM-GM=5-3=2,

C(-2,4),

把点。(―2,4)代入直线＞=丘+与，得Z=—g,

.•.C£)的解析式为：y=--%+—;

33

(2)连接励7,

，直线C£)交x轴于点。，交y轴于点产，

.•.0(10,0),F(0,—),

3

设点E(a,—a----),

33

.,点石在1M上，

:.EM=5,

M(3,4),

110

3)"?+(4+—tz——)*91=59,

.•.々=7或a=-2(舍去)，

£(7,1)；

(3)设OP=x,

要使EP与MCO的任意•边平行，分以下三种情况:

①EP//OB,

:.ZBOA=ZEPD=90。,M)EP^ADFO,

.EPDP

~OF~~OD'

日n1I。—x

1010

3

..x=7,

.•.QP=7；

②EP//OC,

过点。、石作x轴垂线，分别交无轴于点N、Q,

又/CNO=/EQP=90。,

..ACQVSAEPQ,

,幽="

CN-ON'

③EP//BC,

连接CM交08于点G,后作x轴垂线，交x轴于点。,

:.ZBCE=/CEP,

EQ//OF,

/OFE=/QED,

ZOFE=/CFB,

.・./CFB=NQED，

,ZBCE+ZCFB+ZCBF=180°,/CEP+/PEQ+NQED=180。,

/CBF=/PEQ,

又NCGB=NEQP=90。,

:.NCGBsbPQE,

,CGBG

■,~PQ=~EQ'

:.OP=—,

2

综上所述，OP=7或”或U.

22

3.(2022•温州)如图1,他为半圆O的直径，C为84延长线上一点，C£＞切半圆于点£＞,

BELCD,交8延长线于点E,交半圆于点F,已知8c=5,BE=3,点、P,。分别在

AP5

线段座上(不与端点重合)，且满足生=?.设8Q=x,CP=y.

(1)求半圆。的半径.

(2)求y关于x的函数表达式.

(3)如图2,过点P作PRJLCE于点A,连结PQ,RQ.

①当APQR为直角三角形时，求x的值.

②作点尸关于QR的对称点尸，当点尸落在3c上时，求尘的值.

BF'

图1图2

【答案】（1）—;（2）y=-x+-；（3）①2或义；②更

8447119

【详解】(1)如图1,连接式＞,设半径为r,

E

图1

CD切半圆于点。，

:.OD工CD,

BEtCD,

;.OD//BE,

:MOAbCBE,

.ODCO

r_5—r

••—―,

35

解得r=”,

8

半圆O的半径为”；

8

(2)由⑴得，CA=CB-AB=5-2X—=-

849

AP5n八

,=_，BQ=x，

BQ4

AP=—x,

4

:.CP=AP+AC,

55

V=—x+—；

44

(3)①显然NPRQ<90。，所以分两种情形，

当NRPQ=90。时，则四边形RPQE是矩形，

/.PR=QE,

333

PR=PCxs\nC=-y=-x+-,

544

9

x=-

7

肖NPQR=90。时'过点、P作PH上BE于点H,如图,

则四边形「〃£7?是矩形,

:.PH=RE,EH=PR,

4

C/?=CPcosC=—j=x+l,

；,PH=RE=3-x=EQ,

/EQR=/ERQ=45°,

:.ZPQH=45°=ZQPH,

:.HQ=HP=3-X,

由£W=PR得：(3-x)+(3-x)==x+±,

44

21

x=—

11

综上，x的值为2或包;

711

②如图，连接"，QF',由对称可知。/=QU,

CP=-+-x,

44

.\CR=x+\,

ER=3—x,

BQ=x,

EQ=3-x,

/.ER=EQ,

・•.NF'QR=/EQR=45。,

E

CAPOP7

NBQF=90。,

4

/.QF=QF'=BQ-tanB=4x,

AB是半圆O的直径，

:.ZAFB=90°,

9

/.BF=ABcosB=—,

4

49

/.—x+x=—，

.CF'BC-BF'BC,319

BF'BF'BF'x9

4.(2021•温州)如图，在平面直角坐标系中，M经过原点O,分别交x轴、y轴于点42,0),

8(0,8),连结直线CM分别交＜M于点。，E(点。在左侧)，交x轴于点C(17,0),

连结

(1)求M的半径和直线CM的函数表达式；

(2)求点。，E的坐标；

(3)点P在线段AC上，连结PE.当NA£P与AO3O的一个内角相等时，求所有满足条

件的OP的长.

0\-APCX

【答案】(1)圆的半径为炳，y--X+—：(2)。、E的坐标分别为(-3,5)、(5,3)；

(3)5或10或二

4

【详解】(1)ZAOB=90°,

.•.A3为M的直径，

•点M是45的中点，则点用(1,4),

则圆的半径为AM="(2-以+4?=717,

k=~-

设直线CM的表达式为尸fcr+b,则P"+"=°,解得<4

[k+h=4,17

b=—

故直线CM的表达式为y=-』x+U;

44

117

(2)设点。的坐标为(%,--x+—),

44

由=得：(x-1)2+(--%+—-4)2=(V17)2.

44

解得x=5或-3,

故点D、E的坐标分别为(-3,5)、(5,3)；

(3)过点。作£>"_LOB于点”，则£>〃=3,BH=8-5=3=DH,

由点A、E、B、。的坐标得，AE=7(5-2)2+(0-3)2=372,

同理可得：8。=3夜，08=8,

①当ZAEP=Z.DBO=45°时，

则A4EP为等腰直角三角形，EP±AC,

故点P的坐标为(5,0),

故OP=5；

②=时,

ZEAP=ZDBO,

/.AE4P，

AEAP3>/2APAP50

=一，BanP—!==一=一，解得AP=8,

~BDBO3>/2BO8

故尸0=10;

③NAEP=N8O。时,

ZEAP=ZDBO,

\EAP^\OBD,

AEAP3近AP屹俎,„9

—=——，H即n---=—产，解得4尸=一,

OBBD83724

a17

贝1」尸。=2+己=一

44

综上所述，OP为5或10或

4

5.（2020•温州）如图，在四边形43C£＞中，ZA=ZC=90°,DE,3尸分别平分NADC,

ZABC,并交线段AB,CD于点E,F（点E,8不重合）.在线段5尸上取点M,N（点

M在&V之间），使BM=2FN.当点尸从点。匀速运动到点E时，点Q恰好从点“匀速

运动到点N.记QN=x,PD=y,已知y=-16x+12,当0为8尸中点时，y=y?4.

（1）判断与5尸的位置关系，并说明理由.

（2）求DE,M的长.

（3）若AD=6.

①当DP=DF^\,通过计算比较BE与BQ的大小关系.

②连接PQ,当尸。所在直线经过四边形A8CD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值.

【答案】（1）见解析；（2）DE=\2,BF=16；（3）①见解析；②当乂=10或%=一或、=一

33

时，PQ所在的直线经过四边形A88的一个顶点

【详解】（1）DE与BF的位置关系为:DE//BF,理由如下：

如图1所示：

ZA=ZC=90°,

/.ZADC+ZABC=360°-(ZA+ZC)=180°,

DE、斯分别平分NAZ)。、ZABC,

:.ZADE=-ZADC,ZABF=-ZABC,

22

/.ZAZ)E+ZABF=-xl80o=90o,

2

ZADE+ZAED=90°,

:.ZAED=ZABF,

:.DE//BF；

(2)令x=0,得y=12,

..DE=12,

令y=0,得x=10,

把丁=等代入y=-《x+12,

解得：％=6,即NQ=6,

/.2M=10-6=4,

Q是跖中点，

:,FQ=QB,

BM=2FN,

:.FN+6=4+2FN,

解得：FN=2,

;.BF=FN+MN+MB=\6；

(3)①连接EM并延长交3。于点〃，如图2所示:

FM=2+\0=12=DE,DE//BF,

••・四边形DFME是平行四边形，

.・.DF=EM,EH//CD,

.,.ZMHB=NC=90。,

AD=6，DE=12,zSA=90°，

:,ZDEA=30°,

ZDEA=NFBE=NFBC=30°，

.•.ZAT>£：=60o,

:.ZADE=ZCDE=ZFME=60°，

:.ZDFM=ZDEM=i20°，

.\ZA/EB=l80o-120o-30o=30°,

:.ZMEB=NFBE=30。,

・•.4EHB=180°-30°-30°-30°=90°,DF=EM=BM=4,

:.MH=-BM=2,

2

.•.£//=4+2=6,

由勾股定理得：HB=qBM?-MH。=>/42-22=2粗,

/.BE=sjEH2+HB2=招+(2我2=4后，

当£>P=£>尸时，-3+12=4,

5

解得：x=—,

3

B0=14-X=14-y=y,

■—>4^.

3

BQ>BE；

②(I)当P。经过点。时，如图3所示：

y=0,

则x=10；

(ID当P。经过点C时，如图4所示：

跖=16,ZFCB=90°,ZG?F=30°,

:.CF=-BF=8

2f

二.8=8+4=12,

FQUDP,

.・.bCFQsbCDP,

,FQCF

..----=-----,

DPCD

2+x8

-------=—f

6…12

——x+12

解得：x=—:

3

(III)当尸。经过点A时;如图5所示:

PE//BQ,

.PEAE

"~BQ~~AB'

由勾股定理得：AE=ylDE2-AD2=7122-62=6>/3,

A4=6G+4百=1。6

12-母+12)6G

14-x-106'

解得：x=匕，

3

由图可知，尸。不可能过点8：

综上所述，当x=10或x=¥或x=£时，PQ所在的直线经过四边形MCD的一个顶点.

B

图3

c

图4图5

6.(2019•温州)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-gx+4分别交x轴、y轴于点3,

C,正方形AOCD的顶点。在第二象限内，E是中点，于点F,连接OE.动

点P在AO上从点A向终点。匀速运动，同时，动点。在直线上从某一点0向终点Qz

匀速运动，它们同时到达终点.

(2)设点Q为(见〃)，当277=！1tanNEO/时，求点©的坐标.

m7

(3)根据(2)的条件，当点P运动到AO中点时，点。恰好与点C重合.

①延长A£＞交直线3c于点口，当点。在线段Q2Q3上时，设。3。=$，AP=t,求s关于f的

函数表达式.

②当PQ与&OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长.

【答案】(1)8(8,0),OE=2y/5；(2)Q,(6,l)；⑶①s=延一石(2领)4)；②当PQ

'23

与△(?£•产的一边平行时，4P的长为屿或独

519

【详解】(1)令y=0,则」x+4=0,

,2

.\x=8

8(8,0),

C(0,4),

.*.OC=4,08=8,

在RtABOC中，BC=782+42=4>/5,

乂-E为BC中点、,

；.OE=LBC=2也；

2

后是6c的中点

是OC的中点

:.EM=-OB=4,OE=-BC=2y/5

22

/CDN="EM,/CND=AMNE

「.△CD/VsAMEV，

.CNCD=、

’,而一商一'

：.CN=MN=\,

；.EN=4E+42=47,

SAONE=*N-OF=；ONEM,

由勾股定理得：ElOE*小后T唔十后,

14所

EFV7-7

z.tan/EOF=——=J=

OF12V176

17

7?171

——=—x——=一

m166

n=——m+4，

2

/.zn=6,几=1,

.-.e2（6,i）；

（3）①动点尸、。同时做匀速直线运动，

••.S关于f成一次函数关系，设5=公+。，

■当点尸运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合,

.」=2时，CD=4,。。3=2,

s=Q,C=yl22+42=275,

Q3(T,6),。式6,1),

.」=4时，s=J(6+4)2+(6-1)2=5#),

t=2r=4k=-y/5

将厂和＜厂代入得4=解得一2

s=2V5s-5yl54k+b=5小

b=

鸣一行,

2

s..O,1..0,且|百＞0,

.•.s随/的增大而增大，

当S..0时，—r-V5..O,即/.」，当t=2时，。，与Q重合,

233

点Q在线段。2。3匕

综上，s关于f的函数表达式为：5=—4）；

23

②（i）当尸Q//OE时，如图2,NQPB=NEOB=NOBE,

作Q/7_Lx轴于点“，则PH=BH=；PB,

图2

RtAABQs中，AQ=6,AB=4+8=12,

22

BQ}=V6+12=64，

BQ=6旧-s=6亚-=~t+#)=]屈-当~t,

c°s@"=丝=空=与二6

BQ,BQ6x/55

BH=14-3t,

PB=28-6t,

.「+28-6f=12,?=—；

5

(〃)当PQ//OF时，如图3,过点。作QGLA03于点G,过点尸作P"_LG。于点，,

由△Q3QG^\CBO得：Q,G：QG:Q,Q=1：2：6，

Q3Q=s=-^-t-\[5,

/.e3G=|r-l,GQ=3t-2,

33

•,PH=AG=AQ3-Q3G=6-^t-\)=7-^t,

:.QH=QG-AP=3t-2-t=2t-2f

4HPQ=4CDN,

tanZHPQ=tan/CDN=-,

（访）由图形可知尸Q不可能与£尸平行，

综上’当仁与△。印的一边平行时’"的长为*

7.（2018•温州）如图，己知P为锐角NMAN内部一点，过点P作AM于点B,

PC_L4V于点C,以P8为直径作O,交直线CP于点。，连接小，BD,"交。于

点、E.

（1）求证：ZBPD=ZBAC.

（2）连接£B,ED,当tanNM4N=2,48=2遥时，在点P的整个运动过程中.

①若N应史=45。，求PD的长.

②若&诩为等腰三角形，求所有满足条件的网＞的长.

（3）连接OC,EC,OC交AP于点尸，当tanNM4N=l,OC//BE'时，记AOEP的面积

q

为S、,AC庄的面积为S2,请写出山的值.

S?

【答案】（1）见解析；（2）①2；@BD=2,3或26-2时，Afi。上为等腰三角形；（3）-

3

【详解】(1)PB±AM.PCA.AN,

.・.NABP=NACP=90。，

二ZBAC+ZBPC=180°,

又ZBPD+ZBPC=180。,

:.ABPD=ABAC\

(2)①如图1,

ZAPB=ZBDE=45。,ZABP=90°,

:.BP=AB=2加,

ZBPD=ZBAC,

tan/BPD=tanZBAC,

BDc

，——=2,

DP

：.BP=4SPD,

:.PD=2；

②当BD=BE时,ZBED=ZBDE,

4BPD=ZBPE=ABAC，

tanZBPE=2,

AB=245,

：.BP=y/5,

：.BD=2；

当3E=DE'时，ZEBD=ZEDB,

ZAPB=ZBDE、ADBE=ZAPC,

ZAPB=ZAPC,

AC=AB=2y[5,

过点B作BG±AC于点G,得四边形BGCD是矩形,

AB=2亚、tanZfi4c=2,

;.AG=2,

：.BD=CG=2s/5-2；

当B£)=£)E时，NDEB=NDBE=ZAPC,

ZDEB=ZDPB=ABAC,

:.ZAPC=ZBAC,

T&PD=X,则8£>=2X,

丝=2,

PC

空二=2,

4-x

，X=一，

2

BD=2x=3,

综上所述，当5£)=2、3或2括-2时，ABDE为等腰三角形;

(3)如图3,过点。作O"_L£)C于点H,

tanZBPD=tanZMAN=1,

:.BD=PD,

设BD=PD=2a、PC=2b,

贝=CH=a+2b,

过点3作3。_LAN于点。，

则QC=Q=勿，AQ=BQ=CD=2a+2h,

AC=4a+2Z?,

OC//8E且ZBE尸=90。，

.・.NPFC=90。，

.\ZPAC+ZAPC=ZOCH+ZAPC=90°f

/OCH=APAC,

・・.AAC—AC//。，

OHPC

即O〃AC=C〃，C,

CHAC

a(4a+2b)=2b(a+2b),

：.a=b,

即CP=2a、CH=3a,

则oc=715。,

ACPF^ACOH,

CFCPHnCF2a

CHOC3a\/\0a

则入醇OF=OC-CF=^^-a

5

BE〃OCR-BO=PO,

尸为AP3E的中位线，

；.EF=PF,

.S\_OF_2

,ST"CF-3'

8.（2022•鹿城区校级一模）如图，在矩形中，钻=12,3c=9,点E是射线4）

上一动点，且以每秒3个单位的速度从A出发向右运动，连结8E交AC于点F,作

石加_13。于加，交直线AC于N,设E点运动时间为f秒.

（1）若将线段EV绕点F旋转后恰好落在直线旗上，则「=—.

（2）当点E在线段45上运动时，若FN=5t-3,求f的值.

（3）连结抽，点E在运动过程中，是否存在，的值，使"MV为等腰三角形？若存在，

请求出，的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)3；(2)r=3；(3)见解析

4

【详解】(1)由题意得：AB=CD=12,AD=BC=9,AB^BC,DCLBC,

EMIBC,

：.EM//AB,

AFEN

丽一法

若将线段EN绕点F旋转后恰好落在直线43上，则AF=,

AFEN<.5八八

----=-----=1,即niEN=AZ?=CD,

FNAB

此时EV与DC重合,

:.AE=AD,即3f=9,

，=3,

故答案为：3；

（2）在RtAABC中，由勾股定理得：AC=，AB2+BC2=15,

EMI/CD,

AN_AE

~AC~AD

cAEAC3/xl5匚AExDC3/xl2)

：.AN=----------=---------=5t，EN=-------=-----=4,，

AD9AD9

FNEN4r_t

FAAB~V2~3

FN=—AN=-^—x5t=5t-3,

/+3，+3

/.5r=(5r-3)(r+3),

解得:t=—；

4

(3)存在，当1=2或应叵，使A/MV为等腰三角形.

7

①当噫出3B寸，如图,

在RtAMNC中，NMNC<90°,

在中，ZFNM=1800-ZMNC>90°,即N/WM为钝角,

:.FN=MN,

由(2)得：FN=—,

f+3

■,MN=ME-EN=DC-EN=12-4t,

5/

即工=12-4,

f+3

解得f=2或"-2（舍去），

②当f>3时，如图，延长MF交A3于点H,

ZCM7V=90°,

在AfMN中，NFMN=/FMC+/CMN＞琳,即NR0N为钝角,

:.FM=MN,

AB//EN,

.HBHF_BF_AFAB_\2

"EM-FM-FE~FN-EN_4t'

___12___12_36

即HnBH=—EM=—x12=—，

4r4/t

在RtAHBM中，HM=4BH2+BM'=)2+(3f)2,

MN=EN—EM=4t-12,

化简得：V362+9?4=4r-36,

解得：f=或/=_凶1（舍去），

77

综上所述，当，=2或坦但，使A/旃为等腰三角形.

7

9.（2022•温州一模）如图1,在矩形中，AB=4,BC=6,点、E,尸分别在边AD,

C£）上，&ZABE=ZCBF,延长BE交CD的延长线于点G,4为3G中点，连结CH分

别交3尸，4）于点M,N.

（1）求证：BFLCH.

(2)当尸G=9时.

①求tanNFSG的值.

②在线段C”上取点尸，以上为圆心，£尸为半径作石(如图2),当：石与四边形

某一边所在直线相切时，求所有满足条件的〃尸的长.

45

【详解】（1）证明：.四边形A8C。是矩形,

:.AB//CD9ZBCD=90。，

:.ZABE=NG,

H为3G的中点，

:.CH=GH，

ZG=ZHCG=ZCBF，

・•.ZCFB+ZCBF=NCFB+ZHCG=90°，

CH.LBF；

（2）解：①由（1）得，

NG=/CBF,

ZBCF=ZGCB=90°f

/.RtABCF^RtAGCB，

2

:.CFCG=BCf

设CF=x,则CG=b+AG=9+x,

BC=6,

二.x（9+x）=36,

解得，七=-12（不合题意，舍去），x2=3,

BG=ylCG?+BC?=6石,

同理研=3石，

CH=3y/5,

CM:BM:BC=1:2:后,

»6亚-12后

..CM=-----,BM=-------，

55

9V5

:.HM=CH-CM=—,

5

/LMHM3

tanZ.FBG=-----=一；

BM4

②显然:_E不与直线4V相切，故分三种情况:

I当_七与直线AB相切时，如图：

AB=CD=4,

；.AE=DN=2,

.\EP=AE=EN=2,

若点P与点N重合,HP=HN=BH-BE=3>/5-2y/5=yf5,

若点P不与点N重合，

AHEK=/FBG，

:.HK=-EH=—,

55

KN^KP=—EN=—,

55

:.HP=KH-KP=—,

5

故HP的长为；g,百；

11当（E与直线MV相切时，如图:

:.HP=HK+KP=^—+2

5t

综上所述，当：E与四边形A8MN某一边所在直线相切时，"P的长为手，石，孚，

述+2.

5

10.(2022•平阳县一模)如图，在平面直角坐标系中，点A,5的坐标分别为(3,2),(0,8),

以A5为直径的圆交y轴于点C,D为圆上一点，AC=CD,直线4)交x轴于点E,交y

轴于点连结。4.

(1)求tanNABC的值和直线A8的函数表达式.

(2)求点£>,E的坐标.

(3)动点P,Q分别在线段OE,。4上，连结P。.若PQ=2,当PQ与的一边平

行时，求所有满足条件的OP的长.

一

0|PE、.

【答案】(1)tanZABC=；，岫：V=-2*-t-8；(2)D(-|,y),E(7,0)；(3)02=竿•或

7逐一8百

---或----

55

【详解】(1)如图，连接AC,

四是直径，

.・.ZACB=90。,

AC_Ly轴，

/.AC=xA=3fOC=yA=2,

=

/.BCyR—OC=8—2=6,

/A"AC31

..tanzS43c==-=一,

BC62

A(3,2),B(0,8),

设如：y=履+6,

j2=3A+〃

,,\s=b

[k=-2

一%=8，

/.y=-2x+8,

/.tanZABC=g,:y=-2x+8；

(2)过点。作。M_Ly轴，垂足为点M,连接AC,

01PE、/

AC=CD,

:.ZDBC=ZABC,

tan/DBM=tanZABC=—,

2

/DBC=NDAC,ZACF=90°,

CF1

---=一,

AC2

13MF_1DM_1

:,CF=-AC=-,

22DM"2'~BM~2'

设=则。W=2,BM=4x,

BC=BM+MF+CF=4x+x+-=5x-}--=6,

22

9

x=—

10

9

:.DM=-

5

3922

:.OM=OC+CF+DM=2+-+—=—

2105

922

4CJ_x轴，QE”轴,

・•.AC//OE,

/.占AC=/FEO,

丁”OF1

/FEO=----=一，

OE2

37

OF=2+—=—，

22

/.OE=7,

£（7,0）,

.・.O（-；9一22），风7,0）；

（3）当PQ//BO时，如图，延长尸。交。后于G,过A作AN//PQ交OE于点N,过点A

作AM_Lx轴于点M,

BD//PQ,

:.BD//ANf

ZAZ)B=90°，

：.ZDAN=ZNAE=90°f

:.ZANE=/OFE，

.\ZNAM=ZOEF,

:.AM;OE=NM:OF=AN:EF,

:,NM=1,A7V=6,

..ON=2,

-PQ//AN,

:.OP:ON=PQ;AN,即OP:2=2:b，

.•.AFCASAFOE,

,FAAC3

..==—f

FEEO7

FE2=OF2+OE2,

.-.FE2=(2+|)2+72,

s7后

..FE=-----，

2

加

：.FA=—3x-7-6=-3--,

722

AE=FE-FA=^~=2s/5,

2

PQ//AE,

A£)Q尸SA04上,

OPPQ21

0E~EA~2s[5~4s'

V55

当PQ//A3时，如图，延长84交x轴于点N,

如：y=-2x+8,令y=0,

/.x=4，

..ON=4,

OB=8,

：.BN=JOB、。。?=4V5,

AB=JAC、+8c2=375,

:.AN=BN-AB=y[5,

PQ//BN,

\OPQ^\ONA,

.OP尸。一2

・丽一丽一忑’

...0P.4理

A/55

综上，op=逑或拽或延.

555

11.（2022•乐清市一模）如图，A3是一O的直径，AB=8,点E为弧AC的中点，AC,

BE交于点D,过点A作。的切线交BE的延长线于点尸，AF=6.

（1）求证：AD=AF.

(2)求tanNO/M的值.

（3）若点P为。上一点，连接CP,DP,当CP与AOBD三边中的一条边平行时，求

所有满足条件的AP的长.

（备用图）

【答案】（1）见解析；（2）—；（3）%或史或重西

27525185

【详解】（1）证明：连接E4,

E为弧AC的中点，

:.NEAC=ZABE,

AF与O相切于点A,

/.ZMB=90°,

.•.ZB+ZF=90°,

「.反是；O的直径，

/.ZA£B=90°,

..ZEAC+ZADE=90°

:.ZADE=AF,

:,AD=AF.

(2)解：连结OE交AD于点〃，

ZA£>F=ZF,

4

tanZADF=—,

3

EH4

-----=—,

DH3

设〃石=4式，

则。”=3x,

^DEH^AEAH,

EHHD

---=---,

AHEH

:.EH2=AHHD,

解得AH=3工，

3

...42=(4-4x)2+(y%)2,

18

x=—，

25

OH=—,

25

-OH14

tanNODA=-----=—.

DH27

(3)解：①当CP//8D时，得弧依=弧8。,

.\ZPAE=ZCAB,

.\ZPAB=ZEAC

4

cosZPAB=cosZ.EAC=—

5

432

AP=-x8=—

55

②当CP/MB时，得弧僧=弧3。,

AP=BC,

：.OH=—.H,O分别为AC,/W的中点

25

为AABC的中位线，

••-AP=BC=Hx2=i

③当CP//OZ）时,

过点4作AG_LPC于G,

/.ZACP=Z.ODA,

/.tanZACP=tanZODA,

.AGOH14

~CG~~DH~?J'

设AG=14x,

则CG=27x,AC=5x/37x,

AG=-^AC

5V37

AU24

tanZAPG=tanZAOE=——

OHT

AP=-AG=—x-^=AC

24245历

192

AC=2AH

=x192=112^

24573725185

综上所述，AP的长度为必或型或U2历.

525185

12.(2022•瓯海区一模)如图，在RtAABC中，NABC=90。，。是8c上的一点，且

ZBAD=ZACB,/^，^。于点尸，交3c的平行线于点E.

(1)求证：AD=DE.

(2)若80=巫，CD=V15.

3

①求AC的长.

②过点E作EGJ_A。于点G,在射线AC上取一点M与MEG某一边的两端点，构成以M

为顶点的角等于NACB,求所有满足条件的AM的长.

【答案】(1)见解析；(2)①竺史；②A用=色四或述或述

3333

【详解】(1)证明：AEI/BC,

:.NE=NCDF,ZDAE=ZADB,

ZB=ZCFD=90°,

:.ABAD+ZABD=90°,NACB+NC。尸=90。，

:.ZADB=ZCDF,

：,ZE=ZDAE.

AD=DE；

(2)①BC=BD+CD=^^~,

3

ZB=Zfi,4BAD=ZACB,

:.^BAD^ABCA,

,AB_BD

茄一罚’

/.AB2=BDBC=—x^^-=-xl5,

339

"8=纯

3

：.AC=-JAB2+BC2=旧而¥+g画?=；

②如图i,

当以EG的两个端点与M点组成的ZEMG=ZACB时,

作EH//A8交45的延长线于”，

.ABBDAD

一而一布一丽’

ABA.BC,

:.EH工BC,

.\ZDOE=ZDOH=90°，

ZODH=ZADB,ZABD=ZEDC,

:.ZEDC=ZODH,

:.ZDEH=ZH,

:.DH=DE,

AD=DE,

:.AD=DH,

—=—=1,DE=DH,

OHOD

•,OD=BD=—,OE=OH,

3

OC=CD-OD=^^

3

；.OC=OB=OH=AB=^^~

3

/EGH=90。，

OG=OE=OH=-EH=,

23

:.E、G、H、C在以O为圆心，OC为半径的圆上,

/.ZECG=ZH=ZBAD=ZACB,

.•.点/和点C重合，

..此时AM=AC=3叵，

3

如图2,

图2

当以他的两个端点时，

在AC上截取=

DEVAC,

：.AE=EM,

:.ZEAC=ZAME,

AE//BC,

:.AEAC=ZACB,

:.ZAME=ZACB,

DE=AD=VAS2+BD2=

=2-AEAB2=-DEAF,

27152厉

AEAB~y~X~3~85/3

AF

DE5?3-亍

3

AM=AF=—