2024-2025学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE2.2.2反证法内容标准学科素养1.了解反证法是间接证明的一种基本方法；2.理解反证法的思索过程，会用反证法证明数学问题.加强数学运算严格逻辑推理提高直观想象授课提示：对应学生用书第41页[基础相识]学问点反证法eq\a\vs4\al(预习教材P89－91，思索并完成以下问题)王戎小时候，爱和小挚友在路上玩耍．一天，他们发觉路边的一棵树上结满了李子，小挚友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小挚友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子确定是苦的．”本故事中王戎运用了什么论证思想？提示：运用了反证法思想．学问梳理(1)定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(2)反证法常见的冲突类型反证法的关键是在正确的推理下得出冲突．这个冲突可以是与已知条件冲突，或与假设冲突，或与定义、公理、定理、事实冲突等．思索：1.反证法的思维过程是怎样的？提示：否定结论⇒推演过程中引出冲突⇒否定假设确定结论，即否定——推理——否定(经过正确的推理导致逻辑冲突，从而达到新的否定，即确定原命题)．反证法的证明过程可以用以下框图表示：eq\x(\a\al(确定条件p，,否定结论q))→eq\x(\a\al(导致逻,辑冲突))→eq\x(原命题成立)2．反证法的证明步骤是怎样的？提示：用反证法证明命题时，要从否定结论起先，经过正确的推理导致逻辑冲突，从而达到新的否定(即确定原命题)．这个过程包括下面三个步骤：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出冲突；(3)存真——由冲突结坚决定反设错误，从而确定原结论成立．即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真．[自我检测]1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角解析：“至多有一个”的否定是“至少有两个”．答案：B2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么直线c与b的位置关系为()A．确定是异面直线 B．确定是相交直线C．不行能是平行直线 D．不行能是相交直线解析：假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b是异面直线冲突，故c与b不行能是平行直线．答案：C3．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相冲突，∠A＝∠B＝90°不成立．②所以一个三角形中不能有两个直角．③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确依次的排列为________．解析：反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出冲突，最终否定假设，得到命题是正确的．答案：③①②授课提示：对应学生用书第42页探究一用反证法证明否定性命题[例1]已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.[证明]假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1冲突．故假设不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.方法技巧(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不”“不是”“不行能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较详细，适合运用反证法．(2)用反证法证明数学命题的步骤跟踪探究1.已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列，求证：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列．证明：假设eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差数列，则2eq\r(b)＝eq\r(a)＋eq\r(c)，∴4b＝a＋c＋2eq\r(ac).①∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，②由②得b＝eq\r(ac)，代入①式，得a＋c－2eq\r(ac)＝(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0，∴a＝c，从而a＝b＝c，这与已知a，b，c不成等差数列相冲突，∴假设不成立．故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列．探究二用反证法证明“至多、至少”问题[例2]已知a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.[证明]假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.因为a，b，c∈(0,2)，所以2－a＞0,2－b＞0,2－c＞0.所以eq\f(2－a＋b,2)≥eq\r(2－ab)＞1.同理eq\f(2－b＋c,2)≥eq\r(2－bc)＞1，eq\f(2－c＋a,2)≥eq\r(2－ca)＞1.三式相加，得eq\f(2－a＋b,2)＋eq\f(2－b＋c,2)＋eq\f(2－c＋a,2)＞3，即3＞3，冲突．所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.延长探究已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于eq\f(1,4).证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于eq\f(1,4).∵a，b，c都是小于1的正数，∴1－a,1－b,1－c都是正数．∴eq\f(1－a＋b,2)≥eq\r(1－ab)＞eq\r(\f(1,4))＝eq\f(1,2).同理，eq\f(1－b＋c,2)＞eq\f(1,2)，eq\f(1－c＋a,2)＞eq\f(1,2).三式相加，得eq\f(1－a＋b,2)＋eq\f(1－b＋c,2)＋eq\f(1－c＋a,2)＞eq\f(3,2)，即eq\f(3,2)＞eq\f(3,2)，明显不成立．∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于eq\f(1,4).方法技巧应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，干脆证明不易入手且探讨较困难．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对全部x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对随意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n－1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n＋1个p且q綈p或綈q跟踪探究2.用反证法证明：假如函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根．(不考虑重根)证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实数根，设α，β为它的两个实数根，则f(α)＝f(β)＝0.因为α≠β，不妨设α＜β，又函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)＜f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0冲突，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根．探究三用反证法证明唯一性命题[例3]用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．[证明]由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.又b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A冲突，所以假设错误，原命题成立．方法技巧“唯一性”问题是数学中的常见问题，常见的词语有“唯一”“有且只有一个”“仅有一个”等．这类问题通常既要证明“存在性”，又要证明“唯一性”．证明“存在性”一般比较简洁，多数采纳干脆证明的方法，但“唯一性”的证明须要用反证法，通常可假设“存在两个……”或“至少有两个”等，再经过推理论证，得出冲突.授课提示：对应学生用书第43页[课后小结]用反证法证题要把握三点(1)必需先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的；(2)反证法必需从否定结论进行推理，且必需依据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面动身进行论证，就不是反证法；(3)反证法的关键是在正确的推理下得出冲突，这个冲突可以与已知冲突，或与假设冲突，或与定义、公理、定理、事实冲突，但推导出的冲突必需是明显的．[素养培优]反设错误或不全面致误易错案例：已知x，y∈R，且x2＋y2＝0.求证：x，y全为零．易错分析：在利用反证法证明时，关键是娴熟驾驭常用词语的否定，如“全是”的否定是“不