全国统考2024高考数学一轮复习第二章函数2.6对数与对数函数学案理含解析北师大版

2.6对数与对数函数必备学问预案自诊学问梳理1.对数的概念(1)依据下图的提示填写与对数有关的概念:(2)a的取值范围.

2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则假如a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么①loga(MN)=;

②logaMN=③logaMn=(n∈R).

(2)对数的性质:alogaN=N(a>0,且a≠(3)对数换底公式:logab=logcblogca(a>0,且a≠1;b>3.对数函数的图像与性质函数y=logax(a>0,且a≠1)a>10<a<1图像性质定义域:

值域:R过定点

当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0在(0,+∞)内是

在(0,+∞)内是

4.反函数指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图像关于直线对称.

1.对数的性质(a>0,且a≠1,b>0)(1)loga1=0;考点自诊1.推断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)log2x2=2log2x.()(2)函数y=log2x及y=log133x都是对数函数.((3)当x>1时,若logax>logbx,则a<b.()(4)函数f(x)=lgx-2x+2与g(x)=lg(x-2)-lg(x+2)是同一个函数.(5)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像过定点(1,0),且过点(a,1),1a,-1.(2.(2024陕西西安中学八模,理3)已知x·log32=1,则4x=()A.4 B.6 C.4log33.(2024山东历城二中模拟四,3)已知a=log1516,b=log13π3,c=3-A.b<a<c B.a<c<bC.c<b<a D.b<c<a4.若函数y'=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y'|0<y'≤1},则函数y=loga|x|的图像大致是()5.(2024河北保定一模,理13)若2a=10,b=log510,则1a+1b关键实力学案突破考点对数式的化简与求值【例1】化简下列各式:(1)lg37+lg70-lg3-((2)log34273·log5思索对数运算的一般思路是什么?解题心得对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.对点训练1(1)(2024全国1,文8)设alog34=2,则4-a=()A.116 B.19 C.18(2)(2024山东泰安一模,5)已知定义在R上的函数f(x)的周期为4,当x∈[-2,2)时,f(x)=13x-x-4,则f(-log36)+f(log354)=()A.32 B.32-logC.-12 D.23+log考点对数函数的图像及其应用【例2】(1)函数y=2log4(1-x)的图像大致是()(2)已知当0<x≤12时,4x=logax有解,则实数a的取值范围是.变式发散将本例(2)中的“4x=logax有解”改为“4x<logax”,则实数a的取值范围为.

解题心得应用对数型函数的图像可求解的问题:(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,也常利用数形结合思想;(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解.对点训练2(1)函数f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的图像大致是()(2)函数y=|log2x|-12x的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3考点对数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较含对数的函数值的大小【例3】(1)(2024全国3,文10)设a=log32,b=log53,c=23,则(A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b(2)(2024河北沧州一模,理9)已知a=log0.30.5,b=log30.5,c=log0.50.9,则()A.ab<ac<a+b B.a+b<ab<acC.ac<ab<a+b D.ab<a+b<ac解题心得比较含对数的函数值的大小,首先应确定对应函数的单调性,然后比较含对数的自变量的大小,同底数的可借助函数的单调性;底数不同、真数相同的可以借助函数的图像;底数、真数均不同的可借助中间值(0或1).对点训练3(1)(2024山西太原二模,理3)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则()A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.c<a<b(2)(2024全国3,理12)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则()A.a<b<c B.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b考向2解含对数的函数不等式【例4】(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内递增.若正实数a满意f(log2a)+f(log12a)≤2f(1),则a的取值范围是(A.[1,2] B.0,12 C.12,2 D.(0,2](2)设函数f(x)=log2x,x>0,log12(-A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)解题心得解简洁对数不等式,先统一底数,化为形如logaf(x)>logag(x)(a>0,且a≠1)的不等式,再借助y=logax的单调性求解,当a>1时,logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>0,g(x)>0,f(x对点训练4(1)定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则不等式f(x)<-1的解集是.

(2)不等式log(x-3)(x-1)≥2的解集为.

考向3对数型函数的综合问题【例5】已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0,且a≠1.(1)求f(x)的定义域;(2)推断f(x)的奇偶性,并予以证明;(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值范围.解题心得有关对数型函数的综合问题要留意三点:一是定义域,全部问题都必需在定义域内探讨;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要留意数形结合、分类探讨、转化与化归思想的运用.对点训练5(1)(2024山东潍坊一模,7)已知定义在R上的偶函数f(x)=2|x-m|-1,记a=f(-ln3),b=f(-log25),c=f(2m),则()A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.c<b<a(2)已知函数f(x)=loga(ax2-x+3)在[1,3]上递增,则a的取值范围是.

1.多个对数函数图像比较底数大小的问题,可通过图像与直线y=1交点的横坐标进行判定.2.探讨对数型函数的图像时,一般从最基本的对数函数的图像入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特殊地,要留意底数a>1和0<a<1的两种不同状况.有些困难的问题,借助于函数图像来解决,就变得简洁了,这是数形结合思想的重要体现.3.利用对数函数单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题,其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后依据单调性来解决.1.在运算性质logaMn=nlogaM中,要特殊留意M>0的条件,当n∈N+,且n为偶数时,在无M>0的条件下应为logaMn=nloga|M|.2.解决与对数函数有关的问题时需留意两点:(1)定义域优先的原则.(2)要有分类探讨的意识.2.6对数与对数函数必备学问·预案自诊学问梳理1.(1)指数对数幂真数底数(2)a>0,且a≠12.(1)①logaM+logaN②logaM-logaN③nlogaM3.(0,+∞)(1,0)增函数减函数4.y=logaxy=x考点自诊1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2.D∵x·log32=1,∴x=log23,∴4x=4log23.Da=log1516>log1515=1,b=log13π3<lo4.A函数y'=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y'|0<y'≤1},则0<a<1,由此可知y=loga|x|的图像大致是A.5.1∵2a=10,∴a=log210,又b=log510,∴1a+1b=1log2关键实力·学案突破例1解(1)原式=lg37(lg3)2-=1-|lg3-1|=lg3.(2)原式=log33343·log5[10-(332)23-7log72]=34-1·log55对点训练1(1)B(2)A(1)因为alog34=log34a=2,所以4a=32=9,所以4-a=14a=(2)由题意,f(log354)=f(log354-4)=flog323,∵当x∈[-2,2)时,f(x)=13x-x-4,且-log36∈[-2,2),log323∈[-2,2),∴f(-log36)+f(log354)=13

-log36-(-log36)-4+13

log323-log323-4=3log36+3log332+log36例2(1)C(2)0,22(1)函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),解除A,B;又函数y=2log4(1-x)在定义域内递减,解除D.故选C.(2)构造函数f(x)=4x和g(x)=logax.当a>1时不满意条件,当0<a<1时,画出两个函数在0,12上的大致图像,如图所示.可知,只需两图像在0,12上有交点即可,则f12≥g12,即2≥loga12,则0<a≤22,所以a的取值范围为0,22.变式发散22,1设函数f(x)=4x和g(x)=logax,可知当a>1时不满意条件,当0<a<1时,f12<g12,即2<loga12,则a>22,所以a的取值范围为22,1.对点训练2(1)A(2)C(1)由于函数f(x)=loga|x|+1(0<a<1)是偶函数,故其图像关于y轴对称.当x>0时,f(x)=loga|x|+1(0<a<1)递减;当x<0时,f(x)=loga|x|+1(0<a<1)递增.再由图像过点(1,1),(-1,1),可知应选A.(2)函数y=|log2x|-12x的零点个数即为方程|log2x|=12x的实数根的个数.在同一平面直角坐标系内作出函数y=|log2x|及y=12x的图像(图像略),不难得出两个函数的图像有2个交点,故选C.例3(1)A(2)D(1)∵32a=32log32=log3223=log98<1,∵32b=32log53=log5233=log∴b>23.又c=23,∴a<c<b.(2)∵0=log0.31<log0.30.5<log0.30.3=1,即0<a<1;log30.5<log31=0,即b<0;0=log0.51<log0.50.9<log0.50.5=1,即0<c<1,∴ab<0,0<ac<1,即有ab<ac.∵1a+1b=log0.50.3+log0.53=log0.50.9=c,即0∴ab<a+b<0.综上,ab<a+b<ac.故选D.对点训练3(1)B(2)A(1)∵log51<log52<log55,∴0<a<12,b=log0.50.2=log1215=log25>∵0.51<0.50.2<0.50,∴12<c<1,∴a<c<b,故选B(2)∵43a=43log53=log5334=log12581<1,∵43b=43log85=log8354=log512625>1,∵55<84,∴54b=54log85=log8455<1,∵134<85,∴54c=54log138=log13485>综上,a<b<c.例4(1)C(2)C(1)因为log12a=-log2a,所以f(log2a)+f(log12a)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a),原不等式变为2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).又因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)内递增,所以|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1,解得1(2)由题意可得a>0,log2a>-lo对点训练4(1)(-∞,-2)∪0,12(2){x|4<x≤5}(1)由已知条件可知,当x∈(-∞,0)时,f(x)=-log2(-x).当x∈(0,+∞)时,f(x)<-1,即为log2x<-1,解得0<x<12当x∈(-∞,0)时,f(x)<-1,即为-log2(-x)