2024-2025学年新教材高中数学第十章概率10.2事件的相互独立性同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养评价四十二事务的相互独立性(15分钟30分)1.若P(AB)=QUOTE,P(QUOTE)=QUOTE,P(B)=QUOTE,则事务A与B的关系是 ()A.事务A与B互斥B.事务A与B对立C.事务A与B相互独立D.事务A与B既互斥又独立【解析】选C.因为P(QUOTE)=QUOTE,所以P(A)=QUOTE,又P(B)=QUOTE,P(AB)=QUOTE,所以有P(AB)=P(A)P(B),所以事务A与B相互独立但不肯定互斥.2.如图,在两个圆盘中,指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.题图中左边圆盘指针落在奇数区域的概率为QUOTE=QUOTE,题图中右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为QUOTE,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为QUOTE×QUOTE=QUOTE.【补偿训练】甲、乙两班各有36名同学,甲班有9名三好学生,乙班有6名三好学生,两班各派1名同学参与演讲活动,派出的恰好都是三好学生的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.两班各自派出代表是相互独立事务,设事务A,B分别为甲班、乙班派出的是三好学生,则事务AB为两班派出的都是三好学生,则P(AB)=P(A)P(B)=QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.已知A,B是相互独立事务,若P(A)=0.2,P(AB+QUOTEB+AQUOTE)=0.44,则P(B)等于 ()A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6【解析】选A.因为A,B是相互独立事务,所以QUOTE,B和A,QUOTE均相互独立.因为P(A)=0.2,P(AB+QUOTEB+AQUOTE)=0.44,所以P(A)P(B)+P(QUOTE)P(B)+P(A)P(QUOTE)=0.44,所以0.2P(B)+0.8P(B)+0.2[1-P(B)]=0.44,解得P(B)=0.3.【补偿训练】已知A,B是两个相互独立事务,P(A),P(B)分别表示它们发生的概率,则1-P(A)P(B)是下列哪个事务的概率 ()A.事务A,B同时发生B.事务A,B至少有一个发生C.事务A,B至多有一个发生D.事务A,B都不发生【解析】选C.P(A)P(B)是指A,B同时发生的概率,1-P(A)P(B)是A,B不同时发生的概率,即至多有一个发生的概率.4.已知P(A)=0.3,P(B)=0.5,当事务A,B相互独立时,P(A∪B)=.

【解析】因为A,B相互独立,所以P(AB)=P(A)·P(B),所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)=0.3+0.5-0.3×0.5=0.65.答案:0.655.甲袋中有8个白球、4个红球,乙袋中有6个白球、6个红球,从每袋中任取一球,则取到相同颜色的球的概率是.

【解析】由题意知P=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】荷花池中,有只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳动时,均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在A叶上,则跳三次之后停在A叶上的概率是.

【解析】青蛙跳三次要回到A叶只有两条途径.第一条:按A→B→C→A,P1=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE;其次条:按A→C→B→A,P2=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以跳三次之后停在A叶上的概率为P=P1+P2=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A={一个家庭中既有男孩又有女孩},B={一个家庭中最多有一个女孩}.对下述两种情形,探讨A与B的独立性:(1)家庭中有两个小孩.(2)家庭中有三个小孩.【解析】(1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},它有4个基本领件,由等可能性知概率都为QUOTE.这时A={(男,女),(女,男)},B={(男,男),(男,女),(女,男)},AB={(男,女),(女,男)},于是P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(AB)=QUOTE.由此可知,P(AB)≠P(A)P(B),所以事务A,B不相互独立.(2)有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的全部可能情形为Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(男,女,女),(女,男,男),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}.由等可能性知这8个基本领件的概率均为QUOTE,这时A中含有6个基本领件,B中含有4个基本领件,AB中含有3个基本领件.于是P(A)=QUOTE=QUOTE,P(B)=QUOTE=QUOTE,P(AB)=QUOTE,明显有P(AB)=QUOTE=P(A)P(B)成立.从而事务A与B是相互独立的.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.设两个独立事务A和B都不发生的概率为QUOTE,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事务A发生的概率P(A)是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由P(AQUOTE)=P(BQUOTE),得P(A)P(QUOTE)=P(B)P(QUOTE),即P(A)=P(B),又P(QUOTE)=QUOTE,则P(QUOTE)=P(QUOTE)=QUOTE.所以P(A)=QUOTE.2.从甲袋中摸出一个红球的概率是QUOTE,从乙袋中摸出一个红球的概率是QUOTE,从两袋各摸出一个球,则QUOTE等于()A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰有1个红球的概率【解析】选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事务A,B,则P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,由于A,B相互独立,所以1-P(QUOTE)P(QUOTE)=1-QUOTE×QUOTE=QUOTE.依据互斥事务可知C正确.3.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军,乙队须要再赢两局才能得到冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.设Ai(i=1,2)表示接着竞赛时,甲在第i局获胜,B事务表示甲队获得冠军.方法一:B=A1+QUOTEA2,故P(B)=P(A1)+P(QUOTE)P(A2)=QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.方法二:P(B)=1-P(QUOTE)=1-P(QUOTE)P(QUOTE)=1-QUOTE×QUOTE=QUOTE.4.一个电路如图所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,其闭合的概率都是QUOTE,且是相互独立的,则灯亮的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.设A与B中至少有一个不闭合的事务为T,E与F中至少有一个不闭合的事务为R,则P(T)=P(R)=1-QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以灯亮的概率P=1-P(T)P(R)P(C)P(D)=QUOTE.【补偿训练】某种开关在电路中闭合的概率为p,现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示),若该电路为通路的概率为QUOTE,则p= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为该电路为通路的概率为QUOTE,所以该电路为不通路的概率为1-QUOTE,只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路,所以1-QUOTE=(1-p)4,解得p=QUOTE或p=QUOTE(舍去).二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.分别抛掷两枚质地匀称的硬币,设事务A是“第一枚为正面”,事务B是“其次枚为正面”,事务C是“两枚结果相同”,则下列事务具有相互独立性的是 ()A.A与B B.A与CC.B与C D.都不具有独立性【解题指南】依据事务相互独立的定义推断,只要P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)成马上可.【解析】选ABC.易知P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5,P(AB)=0.25,P(AC)=0.25,P(BC)=0.25.可以验证P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C).所以依据事务相互独立的定义,事务A与B相互独立,事务B与C相互独立,事务A与C相互独立.6.某商场推出二次开奖活动,凡购买肯定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码,可以分别参与两次抽奖方式相同的兑奖活动.假如两次兑奖活动的中奖概率都是0.05,则两次抽奖中 ()A.都抽到某一指定号码的概率为0.05B.都没有抽到某一指定号码的概率为0.95C.恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095D.至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.0975【解析】选CD.记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事务A,“其次次抽奖抽到某一指定号码”为事务B,则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事务AB.由于两次抽奖结果互不影响,因此A与B相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.0025.同理“两次抽奖都没有抽到某一指定号码”的概率P(QUOTE)=P(QUOTE)P(QUOTE)=0.95×0.95=0.9025;“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(AQUOTE)∪(QUOTEB)表示.由于事务AQUOTE与QUOTEB互斥,依据概率加法公式和相互独立事务的定义,所求的概率为P(AQUOTE)+P(QUOTEB)=P(A)P(QUOTE)+P(QUOTE)P(B)=0.05×(1-0.05)+(1-0.05)×0.05=0.095;“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可用(AB)∪(AQUOTE)∪(QUOTEB)表示.由于事务AB,AQUOTE和QUOTEB两两互斥,据概率加法公式和相互独立事务的定义,所求的概率为P(AB)+P(AQUOTE)+P(QUOTEB)=0.0025+0.095=0.0975.三、填空题(每小题5分,共10分)7.事务A,B,C相互独立,假如P(AB)=QUOTE,P(QUOTEC)=QUOTE,P(ABQUOTE)=QUOTE,则P(B)=,P(QUOTEB)=.

【解析】由题意可得QUOTE解得P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE,所以P(QUOTEB)=P(QUOTE)P(B)=QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE8.水平相当的四人打麻将,彼此之间互不影响,也不受上局胜败的影响,甲连和4局的概率为,乙4局均不和的概率为.

【解析】由题意,每局每人和牌的概率为QUOTE,且相互独立,故甲连和4局的概率为QUOTE=QUOTE;每局每人不和牌的概率都是QUOTE,且相互独立,故乙4局均不和的概率为QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.据大地保险公司统计,某地车主购买车损险的概率为0.5,购买第三者人身平安险的概率为0.6,购买两种保险相互独立,各车主间相互独立.(1)求一位车主同时购买车损险与第三者人身平安险保险的概率.(2)求一位车主购买第三者人身平安险但不购买车损险的概率.【解析】记A表示事务“购买车损险”,B表示事务“购买第三者人身平安险”,则由题意,得A与B,A与QUOTE,QUOTE与B,QUOTE与QUOTE都是相互独立事务,且P(A)=0.5,P(B)=0.6.(1)记C表示事务“同时购买两种保险”,则C=AB,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.(2)记D表示事务“购买第三者人身平安险但不购买车损险”,则D=QUOTEB,所以P(D)=P(QUOTEB)=P(QUOTE)P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3.10.A,B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后视察疗效,若在一个试验组中,服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为QUOTE,服用B有效的概率为QUOTE.(1)求一个试验组为甲类组的概率.(2)视察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.【解析】(1)设Ai表示事务“一个试验组中,服用A有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.Bi表示事务“一个试验组中,服用B有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.据题意有:P(A0)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(A1)=2×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(A2)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(B0)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(B1)=2×QUOTE×QUOTE=QUOTE.所求概率为P=P(B0A1)+P(B0AP(B1A2)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)所求概率P′=1-QUOTE=QUOTE.1.同学甲参与某科普学问竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题答对与否相互之间没有影响,