广东省河源市紫金县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含答案解析）

2023-2024学年度第二学期期中综合测评八年级数学本试卷共6页，24小题，满分120分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列图形中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是中心对称图形，故此选项符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．2.下列在数轴上表示的不等式组的解集，正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】把不等式的解集表示在数轴上即可判定．【详解】解：在数轴上表示的不等式组的解集如下，故选：A．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．3.等腰三角形的一个底角是40°，则它的顶角是（）A.100° B.40°或70° C.70° D.40°【答案】A【解析】【分析】已知给出了一个底角为40°，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题．【详解】解：因为其底角为40°，所以其顶角＝180°﹣40°×2＝100°．故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，涉及三角形内角和，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．4.若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A.9 B.7 C.12 D.9或12【答案】C【解析】【分析】此题考查了求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：（1）若2为腰长，5为底边长，由于，则三角形不存在；（2）若5为腰长，则，符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为．故选：C．5.如图，沿直线向右平移得到，已知，，则的长为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到，再根据线段的和差关系进行求解即可．【详解】解：由平移的性质可得，∵，，∴，∴，故选：A．6.如图，有，，三个居民小区，它们的位置可连接成一个三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A.三条中线的交点处 B.三条角平分线的交点处C.三条高线的交点处 D.三条边的垂直平分线的交点处【答案】D【解析】【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；要求到三小区的距离相等，首先思考到小区、小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到小区、小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，又因为三角形三边的垂直平分线相交于一点，所以答案可得．【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则超市应建在三条边的垂直平分线的交点处．故选：D．7.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）A.3，4，7 B.8，10，15 C.6，8，10 D.7，24，26【答案】C【解析】【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【详解】解：A、，不能够成三角形，故本选项不符合题意；B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C8.若，则下列式子错误的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐个判断即可．【详解】解：A．，，故本选项不符合题意；B．，，，故本选项符合题意；C．，，故本选项不符合题意；D．，，故本选项符不符合题意；故选：B．9.如图，已知，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（）A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短．根据角平分线的性质可得，则，再根据角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短，即可进行解答．【详解】解：∵，平分，∴，∵，，∴，过点P作于点，∵平分，，，∴，∴的最小值为．故选：B．10.如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质，可得答案．【详解】解：∵关于x的不等式的解集为，∴，解得，故选：B．点睛】本题主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，解题关键是熟记不等式的性质，正确应用．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11.点关于原点的对称点的坐标为________．【答案】【解析】【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．【详解】点关于原点对称的点的坐标是故答案为：【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．12.如图，等边三角形中，是上的高，，则______．【答案】1【解析】【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三线合一．根据，得出，根据是上的高，得出即可．【详解】解：∵三角形为等边三角形，∴，∵是上的高，∴．故答案为：1．13.如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为（－1，0），（0，）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′，则点B的对应点B′的坐标是___________．【答案】（1，）【解析】【分析】根据平移的性质得出平移后坐标的特点，进而解答即可．【详解】解：因为点A与点O对应，点A（﹣1，0），点O（0，0），所以图形向右平移1个单位长度，所以点B的对应点B'的坐标为（0+1，），即（1，），故答案：．【点睛】此题考查坐标与图形变化，关键是根据平移的性质得出平移后坐标的特点．14.如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则________．【答案】##度【解析】【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得到，则由角之间的关系可得．【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转后得到，∴，∵，∴，故答案为：．15.已知三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案．【详解】解：根据三角形的三边关系可得：，即．故答案为：．16.同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象如图所示，则关于的不等式的解为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数与不等式的关系：一次函数的图象在正比例函数的图象上方且在轴下方部分，可得答案．数形结合是解题的关键．【详解】解：由图象，得关于的不等式的解为为，故答案为：．三、解答题（一）：本大题共3小题，第17题10分，第18、19题各7分，共24分．17.（1）求不等式的正整数解．（2）解不等式组．【答案】（1）1，2，3；（2）无解【解析】【分析】本题主要考查了解不等式和不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1即可；（2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【详解】解：（1）去分母，得，去括号，得，移项、合并同类项，得，系数化为1，得．原不等式的正整数解为1，2，3．（2）解不等式，得，解不等式，得，原不等式组无解．18.某电子商品的进货价为元，出售时标价为元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于，则最多可打几折？【答案】最多可打折【解析】【分析】设该商品打折销售，根据利润售价进价结合利润率不低于，即可得出关于的一元一次不等式，取其最小值即可得出结论．【详解】解：设该电子商品打折销售．依题意，得解得答：最多可打折．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．19.如图，于交的延长线于点．求证：平分．【答案】见解析【解析】【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理的判定，掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质是解题的关键．根据题意可证，可得，根据角平分线的性质即可求证．【详解】证明：∵，，∴，∵，∴，在与中，，∴，∴，∴平分．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．20.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．（1）将先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度后，得到，画出，并直接写出点的坐标；（2）画出绕点按顺时针方向旋转后，得到的，并直接写出点的坐标．【答案】（1）见解析，（2）见解析，【解析】【分析】本题考查作图旋转变换、平移变换（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．【小问1详解】解：如图所示，△即为所求．由图可得，点．【小问2详解】解：如图所示，即为所求．由图可得，点．21.如图，在中，边垂直平分线交边于点D，连接．（1）如图，的周长为，求的长．（2）求，，求的度数．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】本题主要考查了线段垂直平分线上点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关结论是解题的关键．（1）根据是线段的垂直平分线且，则可得出，再根据的周长为可得出的值；（2）由对顶角相等可得，进一步可得的度数；再由和计算出的度数，再根据三角形内角和定理即可计算出的度数.【小问1详解】解：∵垂直平分，∴，，∵，∴，∵的周长为，∴，∴∴；【小问2详解】解：∵，∴，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴.22.如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是直线上的一个动点，连接．（1）求不等式的解；（2）若的面积是面积的，求点的坐标．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、两直线围成的图形面积．（1）将代入，即可求出，再求不等式即可；（2）先求出，从而得出，设点，表示出，根据的面积是面积的，再求解即可．【小问1详解】解：∵是直线上的一点，把，代入，得，解得：，不等式即为解得：不等式的解为；【小问2详解】在中，令，解得，∴，由∴；∴，设点，则：，解得：，∴或．五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．23.如图1，，，，此时，点与点重合．（1）若将图1中的两个全等的和按图2方式摆放，点落在上，所在直线交于点，连接，求证：．（2）若将图1中的绕点按逆时针方向旋转，分别延长，，两直线相交于点，如图3所示，求证：是等边三角形．（3）若将图1中的绕点按顺时针方向旋转，线段和相交于点，连接，如图4所示，求线段的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】本题考查了，等边三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理（1）根据题意，直接根据证明，即可；（2）根据等腰三角的性质得出，进而得出，，即可得证；（3）由，，得出是等边三角形，勾股定理求得，即可求解．【小问1详解】，．在和中，，．【小问2详解】证明：，，．，，．．．是等边三角形．【小问3详解】解：，是等边三角形．，，由勾股定理得．．24.两组邻边分别相等的四边形是筝形．如图，在筝形中，，，，相交于点．（1）求证：垂直平分．（2）如图2过点作，，垂足分别为点，，求证：．（3）如图3，在筝形中，过点A作交于点．若，，求线段的长．（4）若，，则筝形的面积为________．（用含，的代数式表示）【答案】（1）见解析（2）见