2020-2021学年安徽省江南五校高一下学期阶段性大联考数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat6页2020-2021学年安徽省江南五校高一下学期阶段性大联考数学试题一、单选题1．（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由复数的除法运算即可得解.【详解】由题意，．故选：A.2．如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正六边形的性质结合平面向量相等的概念即可得解.【详解】由题意，，.故选：D.3．设向量，，且，则（）A． B． C． D．1【答案】C【分析】由平面向量的加法及共线的坐标表示运算即可得解.【详解】由题意，，因为，所以，解得．故选：C.4．以下命题正确的是（）A．过空间三点有且仅有一个平面 B．平行于同一直线的两个平面互相平行C．平行于同一直线的两条直线互相平行 D．分别在两个平行平面内的两条直线互相平行【答案】C【分析】由平面的性质及线面、面面的位置关系逐项判断即可得解.【详解】对于A，过不在一条直线上的三点有且仅有一个平面，故A错误；对于B，平行于同一直线的两个平面可能相交，故B错误；对于C，平行于同一直线的两条直线互相平行，故C正确；对于D，分别在两个平行平面内的两条直线可能异面，故D错误.故选：C.5．在中，若，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据余弦定理求边，从而求出角，结合变名的诱导公式即可求出的值.【详解】由余弦定理可得，即，又因为，所以，所以．故选：D.6．已知向量，为非零向量，有以下四个命题：甲：；乙：；丙：与的方向相反；丁：．若以上关于向量，的判断的命题只有一个是错误的，则该命题是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】分析可知甲与乙肯定有一个不正确，再分类讨论即可得解.【详解】由题意知，甲与乙肯定有一个不正确，若甲正确，则丙也不正确，不合题意；若甲错误，乙、丙、丁可以同时正确；故甲不正确．故选：A.7．已知向量，的夹角为，，，则（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由平面向量数量积的定义可得，再由即可得解.【详解】由题意，，所以．故选：B.8．已知复数（为虚数单位），则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得的几何意义为与两点间的距离，在单位圆上,进而得|的最大值为3．【详解】的几何意义为与两点间的距离，且在单位圆上，所以||的最大值为3．故选:C【点睛】本题考查复数的几何意义，考查化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于利用几何意义得的意义为与两点间的距离，进而求解.9．长，宽，高分别为6cm，8cm，10cm的长方体水槽置于水平桌面上，该水槽内装在高度为8cm的水，若将一半径为3cm的球放入该水槽中（假设球与水槽的底面相切），则水槽内溢出的水的体积约为（）（）A．16 B．12 C．10 D．2【答案】B【分析】由体积公式计算出原本水量及放入球后剩余水量，作差即可得解.【详解】该长方体的体积为，放入的球的体积，原先长方体内水的体积为，放入球后长方体内剩余的水量为，所以溢出的水量为．故选：B.10．已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离为2，则球的内接正方体的棱长为（）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】先由球的截面的性质可得球的半径，再由正方体外接球的直径即为体对角线的长即可得解.【详解】由题意，的外接圆半径为，设该球的半径为，可得，所以，设该球内接正方体的棱长为，所以，所以．故选：D.11．已知是边长为2的等边三角形，，分别、的两点，，，与交于点，则下列说法不正确的是（）A． B．C． D．在方向上的投影为1【答案】D【分析】由等边三角形的性质结合平面向量数量积的定义可判断A；证明后可判断B；由平面向量的线性运算可判断C；由投影的概念可判断D.【详解】在等边中，为中点，所以，所以，A正确；取中点为，连接，则，且，得，所以，即为中点，，B正确；，因为，所以，C正确；在方向上的投影为，D不正确．故选：D.12．已知正方形的边长为，、分别为、的中点，沿将三角形折起到的位置，则三棱锥体积的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】计算出的面积以及点到平面的距离的最大值，由此可求得三棱锥体积的最大值.【详解】因为三棱锥体积，且的面积为定值，过点在平面内作，垂足为点，则，设直线与平面所成的角为，设点到平面的距离为，则，当时，等号成立，所以，.故选：D.二、填空题13．若复数是纯虚数，则实数___________．【答案】1【分析】由复数的运算法则化简得，再由纯虚数的概念即可得解.【详解】由题意，，所以，得.故答案为：1.14．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处外都能见到5G基站的身影．如图，某同学正西方向山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离）．该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站顶端的仰角为，该同学向南走米后到达处，此时测得基站顶端的仰角为，则山高___________米．【答案】101.5【分析】设，则，，，在中由勾股定理求出得值，即可山高.【详解】由题意可得：，，，，且，，，设，则，，所以在中，，所以得解得：，所以山高等于米．故答案为：101.5.15．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为________；【答案】.【分析】首先根据题意得到，解得，再分别计算侧面积和底面积即可.【详解】设圆锥的半径为，由题知：，解得.所以，.所以表面积.故答案为：【点睛】本题主要考查圆锥的表面积，同时考查了圆锥的侧面展开图，属于简单题.三、双空题16．如图，在平行四边形中，，为的中点，为线段上一点，且满足，则___________；若的面积为，则的最小值为___________．【答案】【分析】设，由平面向量线性运算及基本定理可得，由结合基本不等式可得的最小值.【详解】由题意，设，则，所以，所以，所以；所以，由的面积为，得到，得到，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．故答案为：；.四、解答题17．已知复数的共轭复数为，且满足．（1）求；（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由复数的运算可得，再由共轭复数的概念即可得解；（2）由复数得运算化简得，再由复数对应的点所在的象限即可得解.【详解】（1）因为，所以，所以；（2），因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，解得，所以的取值范围为．18．已知向量，，．（1）若，求角的值；（2）判断三角形可否为直角三角形，并说明理由．【答案】（1）；（2）可为直角三角形，答案见解析．【分析】（1）由平面向量线性运算的坐标表示可得，再由模的坐标表示可得，即可得解；（2）按照、、为直角分类，结合向量垂直的坐标表示及三角恒等变换即可得解.【详解】（1）已知，，所以，因为，所以，得，，又因为，所以；（2）若为直角，则，得，即，，无解；若为直角，则，得，即，，无解；若为直角，则，得，即，，因为，，，故必存在一个值，使得三角形为直角三角形．19．如图，在正四棱锥中，．（1）求正四棱锥的体积；（2）若为三角形的重心，在边上是否存在点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，请说明理由；【答案】（1）；（2）存在；．【分析】（1）由已知条件结合勾股定理求出四棱锥的高，从而可求出正四棱锥的体积；（2）连接延长交于点，连接，由线面平行的性质可得，由为三角形的重心，可求得结果【详解】（1）由，可得，因为为正四棱锥，所以，因为，所以，所以，所以该正四棱锥的高为，所以正四棱锥的体积；（2）存在这样的点，使得平面，如图，连接延长交于点，连接，因为平面，所以，因为为三角形的重心，所以．所以；所以．20．从以下三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．①，②，③．问题：在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，__________．注；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案不唯一，具体见解析【分析】由正弦定理结合三角恒等变换可得，若选择①：由正弦定理得，再由余弦定理解方程即可得解；若选择②：由面积公式可得，再由余弦定理解方程即可得解；若选择③：由诱导公式可得，求得A后即可得解.【详解】因为，所以，由正弦定理得，又因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，，所以；若选择①：，由正弦定理得，由余弦定理，得，解得，所以；若选择②：因为，所以，得，又由余弦定理，可得，得，从而得或．若选择③：因为，且，所以，即，因为，所以，此时，这与三角形的内角和等于相矛盾，所以这样的三角形不存在．21．如图，在边长为2的正方体中，点为的中点，为的中点．（1）证明：平面；（2）若为侧面内一点，且平面，求的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）取的中点，连接，，由平面几何的知识可得四边形为平行四边形，进而可得，再由线面平行的判定即可得证；（2）取中点，连接，，由平面几何的知识结合面面平行的判定可得平面平面，进而可得点必在线段上，运算即可得解.【详解】（1）如图，取的中点，连接，，因为为的中点，为的中点，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）如图，取中点，连接，，由（1）知，，在正方形中，为中点，为中点，所以，因为平面，平面，所以平面，平面，因为，所以平面平面，所以点必在线段上，所以的最小值即为点A到线段的距离，在中，，，所以点A到的距离，所以的最小值为．22．如图，四边形中，已知对角线，且满足，．（1）求证：；（2）若△为锐角三角形，设四边形面积为，求证