2024-2025学年山东省高三（上）第一次联考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年山东省高三(上)第一次联考数学试卷(10月份)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合M={-3,-1,1,3,5},N={x\x2+x-6>0},则MnN=()

A.{-3}B.{3,5}C.{-3,3}D.{-3,3,5}

2.已知函数/'(%)=ex-则()

A./(l)=-|B./(2)=e2—eC.f(l)=-fD.f(2)=e2-e

3.已知函数/O)=(x-2)%neN*,则，=1”是“f(x)是增函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知函数f(%)=-tan(cox-9)(3>0,0<cp<TT)的部分图象如图所示，则

3隼=()

.57r

A-T

B片

Jc-3

5.若对任意的％,yER,函数f(%)满足电刃=/(%)+/(y),则/(4)=()

A.6B.4C.2D.0

6.某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润s(单位：百万元)与新设备运行的

时间t(单位：年，tEN*)满足s=-2j=潸当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大

时，新设备运行的时间t=()

A.6B.7C.8D.9

7.如图，在△ABC中，NB4C=120。，AB=2,AC=1,。是8C边上靠近B点的三等分点，E是8C边上的

动点，则荏•方的取值范围为()

…,争

5-消］

8.已知函数/(%)=%3+3%+1,若关于％的方程/(sin%)+f(m+cosx)=2有实数解，则m的取值范围为

()

A.[-1,山B.[-1,1]C.[0,1]D.[-月山

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列结论正确的是()

A.“三式>0,仇为—%<0”的否定为“V%>0,Inx—%>0v

B.在△ABC中，若贝UsinA>sin(/+8)

C.若tan(6+7)=-3,贝！Jtxm。=2

D.若a=则a2+4b2>4

b

10.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用

有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无

理”的时代.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集E与F,且满足EUF=Q,ECF=

0,E中的每个元素都小于F中的每个元素，称(E,F)为戴德金分割,下列结论正确的是()

A.E={xeQ|x<l},F={x&Q\x>1}是一个戴德金分割

B.存在一个戴德金分割(MF),使得E有一个最大元素，F没有最小元素

C.存在一个戴德金分割(E,F),使得E有一个最大元素，F有一个最小元素

D.存在一个戴德金分割(E,F),使得E没有最大元素，F也没有最小元素

11.已知a=2“%瓯6=In与，c=则()

A.c>aB.a>bC.c>bD.b>a

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知非零向量2石满足|砧=73|b|,(ia-K)-a=0,贝皈与另的夹角为.

13.若a6(0,"且cos2a=cos(a—9),则戊=____.

Z4

.已知正实数匕满足则一2的最大值为____.

14a,2a+3b=2,—a4+2日b+…4

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知向量五=(苧siMx,cosx),b=(y/~2,y/~3sinx),函数/(x)=a-K+1.

(1)求f(x)的单调递减区间；

(2)若/(久)在区间［-巳山］上的最大值为3,求小的最小值.

16.(本小题15分)

记AABC的内角a,B,C所对的边分别为a,b,c,已知讥8+cosB=七3.

c

(I)求c；

(2)若CD是△ABC的中线，且CD=C，AABC的面积为2，W,求A4BC的周长.

17.(本小题15分)

已知函数/(%)=e2x—(2a+3)ez+3ax.

(1)当a=3时，求曲线y=/(%)在(0,/(0))处的切线方程；

(2)求函数y=/(x)的极大值.

18.(本小题17分)

在△4BC中，设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

(1)若6=a+2,c=a+4,是否存在正整数a,使得，WeN*,且△ABC为钝角三角形？若存在，求出

a；若不存在，说明理由.

(2)若a=b=c=4,。为BC的中点，E,F分别在线段AB,2C上，且NEDF=90。，zCDF=0(0°<9<

90°),求△DEF面积S的最小值及此时对应的8的值.

19.(本小题17分)

当一个函数值域内任意一个函数值y都有且只有一个自变量x与之对应时，可以把这个函数的函数值y作为

一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量x作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数.例

如，由y=3x,xeR,得x=(yeR,通常用x表示自变量，则写成y=|,xeR,我们称y=3x,xER

与丫=QeR互为反函数.已知函数/(x)与g(x)互为反函数，若4,B两点在曲线y=/(%)上，C,。两点在

曲线y=g(x)上，以4B,C,。四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线y=x垂

直，则我们称这个矩形为f(x)与g(x)的“关联矩形”.

(1)若函数f(x)=y/~x,且点2(：,乃)在曲线y=/(x)±.

(i)求曲线y=/(%)在点力处的切线方程；

(ii)求以点4为一个顶点的“关联矩形”的面积.

(2)若函数"且/(%)与g(©的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S.证明：S>

2(，7—今2.(参考数据：-1-Zn2<0)

参考答案

l.D

2.5

3.2

4.C

5.D

6.B

7.C

8.D

9.ACD

10.BD

U.ACD

121

13比

14—

26

15.解：(1)因为N=(字sin2;c,cosx),6=(yf2,y/~3sinx'),

2

所以方•b=sinx+y/^sinxcosx=i-；s2久十代_$皿2%-+1,

又f(x)=a-K+|,则/(x)=sin(2x一仁)+2,

令a+2kn<2x—+2kn,k&Z,

可得？+kn<x<等+ku,keZ,

3o

所以/(©的单调递减区间为g+fc7T,y+kTi],kez-,

(2)由一、W久Wm,可得W2xW2m-%

因为〃久)在区间上的最大值为3,

所以sin(2%—7)+2<3,即sin(2%

OO

由y=s讥％的值域可知，2根一入25，解得m23，

"oZ3

故租的最小值为去

16.解：(1)由+cosB=及正弦定理，

可得V5siTiBsiTiC+cosBsinC=sin(B+C)+sinB,

即讥C+cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC+sinB,

即讥C=sinBcosC+sinB,

因为sinBW0,所以，=cosC+1,

BP2V_3sin|cos|-=2cos2p

cc

o

-7rcos->

22-2

所以tan]=j，又(e(0弓)，

则与w，即

(2)因为△力BC的面积为2宿，

所以2abs讥C=gabx苧=2-/3，解得ab=8,

因为CD是A4BC的中线，豆CD=6

所以2万=方+无，

两边平方得4|CD\2=\CA\2+\CB\2+2CA-CB,

即28=b2+a2+Zabcos^,

化简得28=(a+b)2-ab,解得a+b=6,

由余弦定理得c?=a2+b2—2abeos^=(a+b)2—3ab=36-24=12,

解得c=2V3,

所以△ABC的周长为6+2，百.

17.解：(1)当a=3时，/(%)=e2x-9ex+9x,f(0)=-8,

又,：f'(x)=2e2x-9靖+9,；.f(0)=2,

二曲线y=/(久)在(。，/(。))处的切线方程为y+8=2x,即2x-y—8=0.

(2)f(x)=e2x—(2a+3)ex+3ax,

•••/'(%)=2c2%—(2a+3)ex+3a=(ex—a)(2ex—3).

当时，f(%)=2e2x-(2a+3)ex+3a=2(ex-a)(ex-1),其符号与靖一的符号一致，

・•・y=/(%)在(一8/n|)上单调递减，在(ln|,+8)上单调递增，无极大值.

当OVa<|时，y=/(%)在(一8,仇q)上单调递增，在("a,In|)上单调递减，在(ln|,+8)上单调递增,

y=/(%)的极大值为/(仇a)=e2lna—(2a+3)eina+3alna=—a2—3a+3alna；

当Q=|时，/'(%)>0恒成立，无极大值.

当时，y=/(%)在(-8』口|)上单调递增，在(ln|,)口)上单调递减，在("a,+8)上单调递增，

y=f。)的极大值为f(层)=3aZn|-3a

ZZ4

综上，当a<0时，y=/(%)无极大值；

当0<a<|时，y=/(%)的极大值为一M—3a+3alna；

当a=|时，y=/(%)无大极值；

当时，y=/(%)的极大值为3a"3a-?.

ZZ4

18.解：(1)假设存在正整数a满足题设，

由力=。+2,c=a+4,可得Q<力<c,所以C为钝角，

由_1<COSC=呼W=a?+(韦)2$4)2<°,

2ab2a(a+2)

得a2-4a-12<0,解得一2<a<6,

因为aeN*,，石eN*,所以a=1或a=4,

当a=l时，△4BC不存在，

故存在a=4满足题设；

(2)如图，因为NEDF=90。，^CDF=0(0°<e<90°),

所以N8DE=90°-0,

cDB

DF2

在△如中，因为研=所以。F=73

sin(0+6O°)sin(6+60。)'

DE_2

在△8DE中，因为所以。E=/3

sin600sin(150°—0)sin(150。-6)'

所以S/xDFxDE.x砺ee询

_1x__________________3__________________

2(^sinO+^Y'COsO')(^cosO+^cosO')

=IXy=-------=E：.>12—6V-3,

2-^-+sinOcosOV3+2sm20

4

当且仅当s讥26=1,即。=45。时，S取得最小值12-60.

19.解：(1)(目)•・,点/(力力在曲线/(%)=G上，・,・月=

11

•・"'(久)=酒财七)=1，

则曲线y=/(%)在点/处的切线方程为y-9=1x(%-，即y=%+

Z44

(团)•.,函数/(%)与g(%)互为反函数，g(%)=x2(x>0).

I-----------------厂1_1

根据对称性可设4D关于直线丫=久对称，可得£>(另)，则|皿=6一，+(»犷=牛也°=登

乙、2~4

若则直线的方程为y=%+与曲线y=/(%)相切，不符合题意.

4

若2C14D,则直线"的方程为y=久+匕

4

(_2

联立方程组'一”’1,消去y整理得/一x-J=0,解得x=竽或x=手(舍去)，

y=X+~,422

V4

将久=士皆代入y=%2,可得y=过箸，

则。(竽，修),IM=