高考数学专项复习：三角函数（新定义）（解析版）

专题04三角函数（新定义）

一、单选题

1.（2023秋.山东临沂.高一统考期末）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度

量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常

数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角。的面度数为年，

则角。的正弦值为（）

A.BB.1C.--D.-2

2222

【答案】D

【分析】根据面度数的定义，可求得角。的弧度数，继而求得答案.

工/®

【详解】设角6所在的扇形的半径为r，则2_2兀,

产一3

所以"g,

所以sin。=sin竺=一sin—=一^-，

332

故选：D.

2.（2023秋•江苏苏州•高一统考期末）定义:正割secc=—余割csca=」-.已知加为正实数，且

cos<7sma

机・csc2x+tan2x215对任意的实数）+于左右Z卜匀成立，则加的最小值为（）

A.1B.4C.8D.9

【答案】D

【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题

【详解】由已知可得m.csc2x+tan2x='+包?>15,

sinxcosx

qin4Y

即m>15sin2x-----.

cosx

jr

因为％W%万+耳（左£Z）,所以COS?%£（0,1],

贝Ij15sir?X-sinx=15（l-cos2xj-⑴。。：乃=17-f—+16cos2工]

cosx7cosx[cosxJ

<17-2./—^-.16cos2x=9，

VCOSX

当且仅当cos2x=—时等号成立，故m>9,

4

故选：D.

3.（2022.全国•高一专题练习）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位

的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短

线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”.若（sina-cosa）。=2sinacosa,则角a可取的值用密位制

表示镣误的是（）

A.12-50B.2-50C.13-50D.32-50

【答案】C

【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式求出a,再根据所给算法一一计算各选项，即可判断；

【详解】解：因为（sina—cosay=2sinacosa,

BPsin2a—2sinacosa+cos2a=2sincrcoscr,

1jr57r

即4sinacosa=l,所以sin2a=—,所以2a=—+2%匹％£Z,或2a=—+2kji,keZ,

266

解得a=bkjj左£Z或a=——+kn,keZ

1212

对于A：密位制12-50对应的角为翳x2乃=当，符合题意；

600012

对于B：密位制2-50对应的角为蓝'2乃=展，符合题意；

对于C：密位制13-50对应的角为1办350；x2〃=9W兀，不符合题意；

oOOO20

对于D：密位制32-50对应的角为黑x2〃=处，符合题意；

600012

故选：C

4.（2022秋•山东青岛•高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）计算器是如何计算sinx,cosx,/,inx,

«等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数,

357246

通过计算多项式的值求出原函数的值，$nsinx=x-—+—-—+cosx=l-—+—-—+其中

3!5!7!2!4!6!

H!=1X2X...X„,英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sinx和cosx

的值也就越精确.运用上述思想，可得到-sinl^+lj的近似值为（）

A.0.50B.0.52C.0.54D.0.56

【答案】C

【分析】将-sin（乎+1］化为cosl,根据新定义，取x=l代入公式cosx=l-《+《二+…中，直接计算

12）2!4!6!

取近似值即可.

【详解】由题意可得，-sinU+lJ=cosl,

,,,,I2I4I6,111

□VCOS1=1------1----------F•,•=11---------------F•••

2!4!6!224720

=1-0.5+0.041-0.001+...»0.54,

故选：C.

5.（2022春•广东中山•高二统考期末）密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的士称为1密位.用密

位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位

数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“00—15”，1个平角=30—00,1个周

角=60—00,已知函数〃x）=&-2cosx,xe，当/（无）取到最大值时对应的x用密位制表示为（）

A.15—00B.35—00C.40—00D.45—00

【答案】C

【分析】利用导数研究Ax）在给定区间上的最大值，结合题设密位制定义确定取到最大时无用密位制.

【详解】由题设，/'（x）=6+2sinx,在x呜苧时/（x）＞0,在时/（x）＜0,

所以/（X）在予上递增，在xe号，拳上递减，即/（尤）苧，

故取到最大值时对应的x用密位制表示为40—00.

故选：C

6.（2022春•云南昆明•高二校考期末）在平面直角坐标系xOy中，P（x,y）（x#0）是角a终边上一点，P

rrx

与原点。之间距离为厂，比值一叫做角a的正割，记作seca；比值一叫做角a的余割，记作csca；比值一叫

工yy

做角a的余切，记作cota.四名同学计算同一个角/的不同三角函数值如下：甲：sec"=-g；乙：csc£=g；

34

丙：tan/3=——；丁：cot/3――.

如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】D

【分析】当甲错误时，乙一定正确，从而推导出丙、丁均错误，与题意不符，故甲一定正确；再由丙丁必

有一个错误，得到乙一定正确，由此利用三角函数的定义能求出结果.

【详解】解：当甲：sec"=-：错误时，乙：csc"=g正确，

r5

此时一=g,r=5k,y=3k,则|x|=4左，（左＞0）,

y3

34

丙：tan4=-;不正确，丁：cotQ=§不正确，故错误的同学不是甲；

甲：sec〃=-；,从而厂=5左，x=-4k,|y|=3Z,(%>0),

534

此时，乙：esc夕=§；丙：tan^=--；T：cot尸=耳必有两个正确，一个错误，

•.•丙和丁应该同号，.•.乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，

34

.,.y=3k>Q,x=-4fc<0,tan/3---,cotP=--,

故丙正确，丁错误，

综上错误的同学是丁.

故选：D.

[a,a>b

7.(2023秋・湖南邵阳•高一统考期末)设a,6eR,定义运算b=,,,则函数/(x)=sin尤<8)cosx的

[b,a<b

最小值为()

A.-1B.—叵C.--D.0

22

【答案】B

Isinxsinx之cosx

【分析】由定义先得出f(x)=■,，然后分sinxNcosx,cosx>sinx两种情况分别求出“X)

[cosxcosx>sinx

的最小值，从而得出答案.

_fsinxsinx>cosx

【详解】由题意可得/(%)=sinxS)cos%=

[cosxcosx>sinx

当sinx2cos%时，即sinx-cosx=A/2sin^x-^>0

TTTTSTT

则Ikji<x----<2左万+再左eZ,即2k兀〜——<x<-----,kGZ

444

此时当x=2k/r+迎,k£Z时，sin%有最小值为-

42

当cosx>sin%时，即sinX—cosx=0sin[X—<0

JI57r97r

贝lj2kn+7T<x<2kji+2匹keZ,即2kjiH----<x<2k?iH------,keZ

444

此时，cosx>-

2

所以〃X）的最小值为-5

故选：B

8.（2023秋.浙江杭州•高一浙江大学附属中学校考期末）正割（secant）及余割（cosecant）这两个概念是由伊

朗数学家阿布尔•威发首先引入的.定义正割seca=」一，余割csctz=—!一.已知加为正实数，且

cosasina

机—sc?x+tan?15对任意的实数。彳，左£Z）均成立，则加的最小值为（）

A.1B.4C.8D.9

【答案】D

【分析】由参变量分离法可得出加之17-1-V+l6cos2利用基本不等式可求得加的取值范围，即可得

<cosX）

解.

•2•4

【详解】由已知可得根小。0+1211"=’^-+吧」215,可得力215sin2x-半土，

sinxcosxcosx

因为XW版■+?%£Z）,则COS?X£（o,l],

因为15sin2x-s'n'=15（1-cos2x）-----———=17-]—+16cos2x]

cosx'7cosx（cos%）

<17-2.———16cos2x=9,

vCOSX

当且仅当cos2兀=9时，等号成立，故加N9.

4

故选：D.

9.（2022春.江西景德镇.高二景德镇一中校考期中）对集合｛6,生，…，以｝和常数冽，把

b'Sin2m-M+sinW*）+…+Sin2（3M定义为集合｛4%,,%｝相对于加的“正弦方差”,则集合

k

[-!,彳,!]相对于机的“正弦方差”为（）

L62oJ

A；B.好C.1D.与机有关的值

222

【答案】C

【分析】先确定集合相对于俄的“正弦方差”的表达式，再利用半角公式，两角和与差的余弦公

o2oJ

式化简可得结果.

【详解】由题知，集合相对于机的“正弦方差”为

I020I

sin2^-^-m^j+sin2—+sin2

（J2

—3

J（万i（万

1-cos------2mr/八\1-cos-----2m

1I3Jl-cos（^--2m）13J

------------------------------------1-----------------------------1-----------------------------

3222

3-1cosIy+2mI+cos（^71-2m）+cos--2m

613

fJ=icos（2）-

把cos+2Wsin（2m）,cos（^—2m）=—cos（2m）,

2

cosf-2m\=^cos（2m）+^-sin（2m）,代入上式整理得,]_

a

2

故选：C.

10.（2022秋.山东.高三山东聊城一中校联考阶段练习）现有如下信息：

（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较

长部分与整体长度之比，其比值为避二1

2

（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.

（3）有一个内角为36。的等腰三角形为黄金三角形，

由上述信息可求得s血126。=（）

A布-1p百+1

22

C,#TD.>+1

44

【答案】D

【分析】如图作三角形，先求出cos36=@里，再求出s近126。的值.

4

【详解】如图，等腰三角形AABC,ZABC=36\AB=BC=a,AC=bf取AC中点。，连接3D

B

b

由题意可得1_75-11_75-1,

sin---------————•——---------•——---------

2aa2224

所以cosZABC=1—2sir?4彳=1-2(^^-)2=,

所以cos36。='+'，

4

所以s而126。=cos36°="+1.

4

故选：D

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是构造一个恰当的三角形，再解三角形求解.

ab

11.（2021秋.四川巴中•高一校联考期末）定义运算jad—bc,如果

ca

,、105jr

小）=2sin3+°）'（0>°'°<9<5）的图像的一条对称轴为户了。满足等式2c°sO=3tane，则。取最

小值时，函数/■（*）的最小正周期为（）

JI3兀

A.一B.»C.—D.2兀

22

【答案】C

【分析】根据28S9=3tan°,利用切化弦和同角三角函数关系转化成sin。的二次方程，可求出夕的值，结合

对称轴可求出。，最后利用周期公式进行求解即可.

105

【详解】/（x）=c.,、=lOsin（0x+p）-10,

2sin（s+cp）

因为2coso=3tan°,所以2cos0=3s1",

cos?

艮fl2cos2夕=3sin°,2(1—sin2夕)=3sin0,

所以(sine+2)(2sine—l)=0,解得sin°=1■或一2(舍去)，

而0<0<彳，所以夕=£,

26

冗

即/(x)=10sin(6;x+—)-10,

6

7T

而y=fM的图象的一条对称轴为x=£,

4

所以lOsin(0xA+t)=±lO,

rjrt17C7Cj7T—J

即d)X--1--=--Fk7T,左£Z,

462

4

解得G=§+4Z,keZ,

42=生

所以正数。取最小值为；7，此时函数了(尤)的最小正周期为42.

33

故选：C.

12.（2020・全国•高三校联考阶段练习）对于集合｛石,%，…，%〃｝，定义:

cos2

。=----（占一M）+C°S2（X2-XO）+-+C°S2（Z-X。）为集合｛石,9,…,当｝相对于％的“余弦方差”，则集合

n

717i3万27

相对于飞的“余弦方差”为（）

1B「0D.近

A.--\L.---

423

【答案】B

【解析】根据所给“余弦方差''定义公式，代入集合中的各元素，即可得。的表达式，结合余弦降幕公式及

诱导公式化简，即可求解.

【详解】由题意可知，集合卜、冗3兀2万

歹记'丁相对于飞的“余弦方差”代入公式可得

4

l+cos2l—+x0l+l+cos2ly+x0l+l+cos2l--x0l+l+cos2l—

故选：B.

【点睛】本题考查了新定义应用，降幕公式及诱导公式化简三角函数式的应用，属于中档题.

13.(2020秋・江西宜春・高三奉新县第一中学校考阶段练习)已知函数/(%)=2tan(s)(G>0)的图象与直线

(、[a,a..b

>=2的相邻交点间的距禺为万，若定义max{a,"}=1,则函数/i(x)=max"(x),/(x)cosx}在区间

[b,a<b

B2卜一M

71

【分析】由题知f(x)=2tan(ox)(o>0),利用丁=同求出。，再根据题给定义，化简求出〃⑺的解析式,

结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.

【详解】根据题意，/(x)=2tan(0x)(0>O)的图象与直线y=2的相邻交点间的距离为不，

所以〃x)=2tan(0x)(0>O)的周期为万，贝|。=5=匹=1,

T九

2sinG

所以/?(%)=max(2tanx,2sinx}=<

2tanG

由正弦函数和正切函数图象可知A正确.

故选：A.

【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.

14.（2022春•陕西延安•高一校考阶段练习）对于函数/⑺，在使/。）上刊成立的所有常数”中，我们把M

的最大值称为函数/（X）的吓确界”.若函数/（x）=3cos］2x-'+l,xe一亲”的吓确界，，为,则加的

取值范围是（）

【答案】A

【分析】由下确界定义，/（x）=3cos^2x-j^+l,xw-看,m］的最小值是一；，由余弦函数性质可得.

【详解】由题意/（X）=3COS（2X-1J+1,xe-奈（|的最小值是

')1JLIL//Ji.|

又f(--)=3cos(----)+1=3cos—+1=--

o3332

2kji------42x-----G2k兀-\---------,k/r-----«xWk7i—,%£Z,

33362

左=0时，—/«%工1,

62

LLt、I式TC

所以——＜〃zV—.

62

故选：A.

【点睛】本题考查新定义，由新定义明确本题中的下确界就是函数的最小值.可通过解不等式确定参数的

范围.

15.（2020•全国•高一假期作业）如果函数在区间£＞上是凸函数，那么对于区间£＞内的任意%X”…,

x“，都有++…+/亿）（于广+%:…+匕］，若尸sinx在区间（0,万）上是凸函数,那么在AABC

中，sinA+sinB+sinC的最大值是（）

「V3

【答案】D

【分析】利用"凸函数''的定义得到恒成立的不等式，利用三角形的内角和为万，即可求出最大值.

【详解】因为y=sinx在区间［0,句上是“凸函数”，

sinA+sinB+sinC.A+B+C.71下）

所以■„sin------=sin—=——

332

得sinA+sin8+sinC,,

2

即：sinA+sin_B+sinC的最大值是

2

故选：D.

【点睛】本题考查理解题中的新定义,并利用新定义求最值，还运用三角形的内角和.

二、多选题

16.（2022.全国•高一专题练习）定义：〃二852（4一1）+852（1一仇）+~+852（_一4）为集合

n

A={G，”..0}相对常数％的“余弦方差”.若。e0,|,则集合A=30%目对夕的“余弦方差”的取值可能

为（）

A.-B.-C.-D.-

8245

【答案】ABC

【分析】根据所给定义及三角恒等变换公式将函数化简，再根据为的取值范围，求出2%+9的取值范围,

6

再根据正弦函数的性质计算可得.

e（））+COs2（0—4）

cos2

【详解】解：依题意

〃=—

2

2

cosgcos%+singsin4）+cos12

2

—cos0QH-----sin0Q+cos24

二（22J

—2

12-^3.3.22

—cos30+cos%sin%+4sin%+cos%

2

gcos?4+?cos0Osin%+1

2

1J3

—cos2^+亍sin24+1

2

1；

--cos26>sin2%+

4204

因为为£。，彳，所以，所以sin[24+g]£一彳」

_2J6|_66」v6J|_2

「331

所以〃£石。；

o4_

故选：ABC

17.(2021秋•全国高三校联考期中)数学中一般用min｛a,。｝表示a,b中的较小值，max｛a,方｝表示a,b

中的较大值；关于函数：/(无)=min卜inx+6cosx,sinx-6cosx

g(x)=max卜inx+gcosx,sinx-石cos尤｝,有如下四个命题，其中是真命题的是()

A.与g(x)的最小正周期均为万

a

B.与g(x)的图象均关于直线尤=三7r对称

C.〃x)的最大值是g(x)的最小值

D.〃尤)与g(x)的图象关于原点中心对称

【答案】BD

【分析】先求出/⑺，g(x),结合函数“X)与g(x)的图象即可求解

【详解】设〃(冗)=sin%+gcosx=2sin(x+辛,，(x)=sinx-gcosx=2sin(尤-y),

TTTT37r

2sin(x+-1-+2k7r<x<—+2左乃，

则f(x)=min{/i(x),Z(x)}="

2sin(x-y),--+^71<x</+2左4,

77jr37r

2sin(x--),—+2kjr<x<-+2%万，

g(x)=max{/z(x)j(x)}=■

C,/兀\冗cJ4cJ

2sin(x+-),——+2k7i<x<—+2KTT,

函数与g(x)的大致图象如下所示:

3冗

对B,由图知，了=万为函数"X）与g（x）的对称轴，故B正确.

对C,,fl，由图知：函数的值域为[-2,1],函数g（x）的值域为[-1,2],故C错误;

对D,由图知，“X）与g（x）的图象关于原点中心对称，故D正确；

故选：BD.

TT

18.（2022•江苏•图一专题练习）已知角。和夕都是任意角，若满足。+°=万+2左万水eZ,则称。与。“广义

互余”•若sin（乃+&）=-；,则下列角夕中，可能与角。“广义互余''的有（）

A.sin0=半B.cos（%+£）=；C.tan万=岳D.tan/3=

【答案】AC

【分析】由题可得sine=1，根据诱导公式化简计算判断每个选项即可.

4

【详解】若a与万广义互余，则a+夕=。+2丘（丘Z）,即6=g+2H-a（左eZ）.

又由sin（〃+a）=—；,可得sina=；.

对于A,若。与夕广义互余，则sin[3=sin（'+2/»-a）=cosa=±，1一5仁+=±^^~,由sin,=可得。

与夕可能广义互余，故A正确；

对于B,若a与£广义互余，则85月=85弓+2左万-。）=51111=；,由cos（»+/?）=；可得COS万=_；,

故B错误；

对于C,综上可得sin〃=±巫，COS^=-,所以tan/二吗=土炉，由此可得C正确，D错误.

“44cosp

故选：AC.

19.（2022春・辽宁沈阳・高一沈阳市第一二O中学校考阶段练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且更

加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1-cos。为角。的正矢，记作versin。，定义1-sin。

为角6的余矢，记作coversin。，则下列命题正确的是（）

.16711

A.versin----=一

32

B.versin——6=cover0

(2)

C.若----:----T=2,贝|J(coversin犬一versin尤)=—

versmx-1,75

D.函数〃x)=versin]2020%--+coversin2020%+—|的最大值为2+企

【答案】BC

【分析】利用诱导公式化简可得A错误，B正确;

化简已知等式得到tanx,将所求式子化简为正余弦齐次式，由此可配凑出tanx求得结果，知C正确;

利用诱导公式化简整理得到〃x)=2-2sin12020x+V，由此可知最大值为4,知D错误.

,..1]167r1|_TC।r7C3,,,、e

【详解】对于A,versin-----=l-cos------=l-cos5%+—=l+cos—=一,A错误；

33I3J32

对于B,v^rsin--0=I-cos----0=l-sin0=coversin0,B正确;

coversinx-1I-sinx-1_

对于C,-------；=---------------=tanx=2,

versinx-1--I-cosx-1

/..\2J1\21[zsinxcosx1zianx4i

/.(coversinx-versinx)=(1-sinx-l+cosx)=l-2sinxcosx=l------z--------------z—=1--------------=1——=—

sinx+cosxtanx+155

C正确；

对于D,=1-cos(2020x-+1-sin12020x+看j=

2-cos—]+12020x+力—sin12020x+[=2-2sin12020x+?

.•.当sin12020x+：|=-l时，1rax=2+2=4,D错误.

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的新定义的问题，解题关键是能够充分理解已知所给的定义，

结合三角函数的诱导公式、正余弦齐次式的求解等知识来判断各个选项.

20.（2022秋.河南濮阳.高一濮阳一高校考期末）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精

确性，曾经出现过下列两种三角函数:•定义1-COS。为角。的正矢，记作versine,»定义l-sine为角。的余

矢，记作coyersinS,则下列命题中正确的是（）

「31

A.函数y=versinx在2TT上是减函数

B.函数y=-in"的最小正周期为升

coversmx

C.versin(--0)=coversin0

D.versin(a+/3)=versina•coversin/?+coversina•versinp

【答案】AC

【分析】由余弦函数的单调性可判断A选项；验证得丁(元)2>a+万)，可判断B选项；由定义的诱导公式可

Jr

判断C选项；取二=4=2,代入验证可判断D选项.

「31

【详解】因为V=uersinx=l-cosx,而，=以%％在肛2乃上是增函数，所以函数〉=T"51!1%=1-cosx在

"31

,肛2»上是减函数，故A正确；

函数y（九）:versmx=：85）；火犬+万）=：+cosx,所以。,所以B错误；

coversinx1-sinx1+sinx

v^rsin一夕）=1-cos一夕）=1-sin6=coversin0,故C正确；

4JI

取a=£=Z，versin（c+/?）=l-cos万=1,

versin«•coversin（3+coversina-versinft=^l-cos^-^l-sin^+^l-sin^-^l-cos^=3-2五,

所以versin（a+6Jwversina-coversin/3+coversina-versin/3,

故D错误,

故选：AC.

【点睛】本题考查函数的新定义，三角函数的诱导公式，同角三角函数间的关系，余弦函数的性质，属于

中档题.

三、填空题

21.(2023•高一课时练习)我们规定把、=；卜。52(8+4)+««28+852(8-4)］叫做8对人的余弦方差，那

么对任意实数2,B对;的余弦方差是.

【答案】9#05

【分析】根据余弦方差的定义求得正确答案.

【详解】依题意，2对;的余弦方差是：

12/r*兀、2rt2/r»兀、

y=~cos(B+—)+cos3+cos(B-—)

2兀2兀

11+COS(2B+T)1+8S2Bl+cos(2B-至)

----------------------+------------+-------------------

3222

=­3+cos(23H----)+cos2B+cos(25------)

6|_33

](ccn2兀.cn.27rcncr*27r.cn.2兀

=—3+cos2Bcos------sin2Bsin-----Fcos26+cos2Bcos-----Fsin2Bsin——

613333,

=—|3-—cos2B+cos2B--cos2B|=—

6122J2

故答案为：g

22.(2022・全国•高一专题练习)已知/(无)话(兄)都是定义在R上的函数，若存在实数孤心使得

/1(%)=时(%)+咫。),则称力(%)是7(%),g(x)在A上生成的函数.

若/(x)=cos2-sin2(x)=sinx,以下四个函数中：

①y=272cos(x-0②y=sin+5cos[]+：]；

(3)y=2COS2^-^-1；④y=2sin22x.

所有是/(%),g(同在R上生成的函数的序号为.

【答案】①②③

【分析】根据两角差的余弦公式、二倍角公式，结合题中定义逐一判断即可.

【详解】/(x)=cos23-sin2=cosx,g(x)=sinx.

①：y=2^2cosx--=2A/2(cosxcos—+sinxsin—)=y/6cosx+A/2sinx,

\6J66

因此有机=卡,〃=0,所以本函数是〃x),g(x)在R上生成的函数；

②：y=2VJsing+力cos[、+：)=6sin(x+女=yf3cosx,

因此有机=6,〃=0,本函数是〃x),g(x)在R上生成的函数；

因此有m=0,n=l,本函数是〃x),g(x)在R上生成的函数；

④：y=2sin22x=Ssin2xcos2x,

显然不存在实数也〃，使得gsin?xcos?%=根cosx+〃sinx成立,

因此本函数不是/'(x),g(尤)在R上生成的函数,

故答案为：①②③

abab

23.(2021春・江苏淮安•高一校联考阶段练习)形如,的式子叫做行列式，其运算法则为=ad-bc,

cacaJ

交

sin15°

则行列式的值是.

cos15°

【答案】

【分析】根据新定义计算即可.

叵

sin15°

2=—^sinl5°-----cosl5°=sin45°sinl5°-cos45°cosl5°=-cos60°=

【详解】由题意

正222

cosl5°

2

故答案为-g.

24.(2023・高一课时练习)若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给

出下列四个函数：①/(x)=sinx+cosx；②力(x)=0sinx+0；③力⑺=sinx；④

力(x)=^(sinx+cosx).其中“同形”函数有.(选填序号)

【答案】①②

【分析】利用三角恒等变换转化函数解析式，对比各函数的最小正周期及振幅即可得解.

【详解】由题意，/(x)=sinx+cosx=0sin(x+?],力(尤)=①(sinx+cosx)=2sin(x+(],

四个函数的最小正周期均相同，但振幅相同的只有①，②，

所以“同形”函数有①②.

故答案为：①②.

25.(2023•高一课时练习)在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点.若函数y=/(x)的图像恰好经

过左个格点，则称函数为左阶格点函数.在xe[-肛布上，下列函数中，为一阶格点函数的是

.(选填序号)①1=sin无；②丫二^-：!；③y=lnx；®y=x2

【答案】①②③

【分析】根据题目定义以及各函数的图象与性质即可判断.

【详解】当xc[-万，句时，函数y=sinx,y=e，-1的图象只经过一个格点(0,0),符合题意;

函数>=lnx的图象只经过一个格点。,0),符合题意；函数y=Y的图象经过七个格点，

(-3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),不符合题意,

故答案为：①②③.

26.(2022春•河南商丘.高一商丘市第一高级中学校考开学考试)在平面直角坐标系X。丁中，已知任意角6以

坐标原点。为顶点，X轴的非负半轴为始边，若终边经过点P(X。,%),且㈤=«>0),定义：£。四=为产，

称“SOS。”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y=sosx”，有同学得到以下性质：

①该函数的值域为卜应,亚];②该函数的图象关于原点对称；

3

③该函数的图象关于直线x=对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为2万；

4

37T

⑤该函数的递增区间为2k7t--n,2kK+—k&z.

_44_

其中正确的是.(填上所有正确性质的序号)

【答案】①④⑤.

【详解】分析：根据“正余弦函数”的定义得到函数y=sosx=^sin(x+?),然后根据三角函数的图象与性

质分别进行判断即可得到结论.

详解：①中，由三角函数的定义可知％0=rcosx,y°=rsin],

所以y=sosx=%+*=sin%+cosx=^2sin(x+—)G[-A/2,0],所以是正确的；

r4

②中，=sosx=y[2sin(x+,所以/(O)=0sin(O+5)=l。。，所以函数关于原点对称是错误的；

③中，当x=3/时，/(若)=0sin(当+£)=&sin万=0*±0，所以图象关于x=/对称是错误的；

44444

④中，y=sosx=^sin(x+f),所以函数为周期函数，且最小正周期为2%,所以是正确的；