北京市房山区2023-2024学年高二年级上册期中考试数学试题

房山区中学20232024学年度第一学期期中学业水平调研

局一数学

第一部分（选择题共50分）

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知（，），（）,则线段A5的中点坐标为（）

A.（1,4）B.（2,1）C.（2,8）D.（4,2）

【答案】A

【解析】

【分析】用中点坐标公式即可求解.

'-1+3

a—

则<：

【详解】设线段A3的中点坐标为“（。力），3,

b=------

I2

即八夕则线段A3的中点坐标为M（L4）

故选：A.

2.如图，平行六面体43C。—451GA中，E为CG中点.设与=£,AD=b>羽="，用基底

｛々五2｝表示向量通，则/=（）

1ii-71-

A.a+b+cB.a+。H—c

2

一1亍-1--

C.aT—bcD.—a+。7+c

22

【答案】B

【解析】

【分析】利用几何图形的关系，结合向量的加法运算，即可求解.

【详解】AE=AC+CE=AB+AD+^AA^=a+b+^c.

故选：B

3.在如图所示的正方体ABC。-中，异面直线AB与与C所成角的大小为(

A.30°B,45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】

【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解

【详解】连接A。，DB，如图，

因为正方体中AD//4C,

所以就是AXB与BXC所成的角，

在ABA］。中，A^D-A^B=BD.

：./BAR=60°.

故选：C

4.在棱长为2的正方体ABC。—A4Goi中，A^BQ=()

A.272B.4A/2C.2D.4

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量数量积定义计算即可.

在棱长为2的正方体ABC。—44Goi中，

易知|旗］=2,|西卜20

---►---►----”----*7T

因为抽=，BB］与BQ的夹角为I,

所以用与尾的夹角为:，

丽.%=MH阻COSE=2X2@¥=4.

故选：D

5.如图，在四面体A—BCD中，平面BCD,BC工CD,则下列叙述中错误的是（）

A./ACD是直线AC与平面5CD所成角

B.NABD是二面角4一3。一。的一个平面角

C.线段AC的长是点A到直线的距离

D.线段A。的长是点A到平面5CD的距离

【答案】B

【解析】

【分析】根据线面垂直即可求解AD,根据3cl平面ACD,即可得BC±AC,进而判断C,结合二面

角的定义即可判断B.

【详解】对于AD,由于平面BCD,所以/AC。是直线AC与平面BCD所成角，线段AD的长

是点A到平面5CD的距离，故AD正确，

对于B,平面5CD,5。匚平面5。。,所以5。，4。,又5。，8,

所以3cl平面ACD,

C4u平面ACD,故5c±AC,

又BCLCD,ACu平面ABCCDu平面5C。，

故/ACD是二面角A—3C—。的一个平面角，故B错误，

对于C,由于5CLAC,所以线段AC的长是点A到直线BC的距离，C正确，

故选：B

6.已知直线4：2x+（a—l）y+a=0与直线4：依+y+2=0平行，则。的值为（）

-1

A.—1或2B.-C.2D.-1

3

【答案】D

【解析】

【分析】根据两直线平行，即可列式求解.

【详解】因为“〃,，所以2=巴士小@,

a12

解得：a--l

故选：D

7.在同一平面直角坐标中，表示4：y=ax+b与％：y=bx-a的直线可能正确的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】结合各选项分析直线的斜率与在y轴上的截距，即可判断.

【详解】对于A：由图可得直线4的斜率。>0,在y轴上的截距6>o；

而4的斜率b<o,矛盾，故A错误.

对于B：由图可得直线4的斜率a>0,在y轴上的截距6>0；

而4的斜率人<0,矛盾，故B错误.

对于c：由图可得直线4的斜率°<0,在y轴上的截距6>o；

而4的斜率6>0,在y轴上的截距—a>0，即a<0,故c正确.

对于D：由图可得直线/］的斜率a<0,在y轴上的截距/?<0；

而4的斜率6>。，矛盾，故D错误.

故选：C.

8.长方体ABC。—44G2中，朋=43=2,M为AB的中点，D}M±MC,则">=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】连接C2,设AD=a(a>0),表示出CM,CD,,MR,利用勾股定理计算可得.

【详解】如图连接C，，设AD=a(a>0),则CM="7i，

=V22+22=2A/2，MD1=V«2+l2+22=V«2+5，

因为所以A/C2+MD；=c£)；,即/+1+/+5=8,解得。=1(负值舍去).

故选：A

9.设尸为直线y=—1上的动点，过点P作圆C：(%+3『+(,—2)2=4的切线，则切线长的最小值为

()

A.2B.75C.3D.V13

【答案】B

【解析】

【分析】根据切线最小时为圆心到直线上的点的距离最小时可以求出圆心到直线的距离，再求出切线长即

可.

【详解】圆心为c(—3,2),半径为r=2,设切点为。，

要使得切线长|PQ|最小，则|CP|最小，此时CP，/,

所以卜"=尊=3,所以|PQ|=府二7=近，

故选：B

10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元首262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的

科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数上传＞0且左W1)的点的轨迹是圆，后

人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点A(T,0),5(2,0),圆C:(x—2)?+(y—m)2=((加＞0),在圆

上存在点P满足|/%|=2|依|,则实数加的取值范围是()

【答案】D

【解析】

【分析】设P(x,y),根据|申|=2|?同求出点尸的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心

距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.

【详解】设尸(x,y),因为点A(—l,0),B(2,0),\PA\=2\PB\,

所以［(x+lf+V=2yl(x-2)2+y2即必+V一6%+5=0,

所以(1-3『+：/=4,可得圆心(3,0),半径R=2,

由圆C:(x—2y+(y—加［=：可得圆心C(2,/n),半径/=；,

因为在圆C上存在点尸满足|叫=2|。@,

所以圆(x—3)?+丁=4与圆C:(x—2)?+3—m)2=:有公共点，

所以2—<A/(3—2)"+m~<2H—,整理可得：一<1+ffl2<—,

29,244

解得：<m<,

22

所以实数加的取值范围是丁，丁］，

故选：D.

第二部分(非选择题共100分)

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11.已知4(2,1),5(0,-3),则直线AB的斜率七=.

【答案】2

【解析】

【分析】根据直线斜率公式进行计算即可.

1-(-3)

【详解】根据题意，k=——=2,

AB2-0

故答案为：2.

12.已知4(0,0),6(2,2),C(4,2),则“RC外接圆的方程为

【答案】f+j?—6x+2y=0

【解析】

2=0

【分析】首先设AABC外接圆的方程为炉+产+.+砂+尸=o,从而得到(4+4+2D+2E+R=0,

16+4+4D+2E+F=0

再解方程组即可.

22

【详解】设AABC外接圆的方程为x+y+DX+Ey+F=0,

F=0D=-6

则v4+4+2D+2E+F=0=><E=2,

16+4+4O+2E+/=0[F=0

所以外接圆的方程为：x2+y2-6x+2y^Q.

故答案为：/+/一6x+2y=0

13.己知直线/与平面戊所成角为45°,A,8是直线/上两点，且A3=6,则线段A3在平面戊内的射

影的长等于.

【答案】3行

【解析】

【分析】依题意可得线段A3在平面a内的射影的长等于ABcos45°.

【详解】因为直线/与平面a所成角为45°,A,B是直线/上两点，且AB=6,

则线段AB在平面1内的射影的长等于ABcos45°=6x正=3JL

2

故答案为：3亚

14.如图，长方体ABC。—A4GR中，AA=AD=1,AB=2,则点R到点8的距离等于

；点D｝到直线AC的距离等于.

【答案】①.V6②.也##:6

53

【解析】

【分析】以向量方，DC，皿所在方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，根据两点间的距离

UUIX

公式可求点2到点8的距离；连接O|A,作2E垂直AC,垂足为E，求出向量在向量正上的投

影，由勾股定理即可求点2到直线AC的距离.

【详解】如图，以向量次，DC-万瓦所在方向为无轴，＞轴，z轴建立空间直角坐标系，

由AB=2,则。（0,0,1）,5（1,2,0）,所以闺=J1+4+1=几,

所以点2到点B的距离等于V6.

连接QA,作2E垂直AC,垂足为E,由A（l,0,0）,C（0,2,0）,所以宿=（—1,0,1）,

_.।AD,-AC1

£=（-L2，。），所以即=/丁=存_ji

一5，

又卜夜，所以点2到直线AC的距离d=

0）和直线/：X—y+4=0,则圆心。到直线/的距离等于

；若圆。上有且仅有两个点到直线/的距离为行，写出一个符合要求的实数厂的值，r

【答案】①.2&②.2（答案不唯一）.

【解析】

【分析】根据点到直线距离公式计算；将圆。上有且仅有两个点到直线/的距离为后转化为半径与圆心。

到直线/的距离之间的关系即可求解.

|0-0+4|

【详解】圆心。到直线/距离为d==2夜;

A/1+T

因为圆。上有且仅有两个点到直线/的距离为所以-0＜d-厂＜0，解得、回＜厂＜3行.

故答案为：2亚;2（答案不唯一）.

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD是边长为1的正方形，钻是等边三角形，。为A3

的中点，且PO1底面A3CD，点尸为棱PC上一点.给出下面四个结论：

①对任意点尸，都有CDLOE；

②存在点尸，使0尸//平面BLD；

③二面角P—AC—B的正切值为指；

④平面PAB_L平面ABCD.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】根据题意，利用空间直线与直线，直线与平面位置关系，依次进行判断即可.

【详解】

对于①，若点尸与点C重合，显然不满足所以①错;

对于②，若点产为线段PC中点，取线段中点E,连接所，

则EF//CD且所

2

所以历//AO且=则四边形AOEE为平行四边形，

得OF//AE,因为。尸二平面QA。，AEu平面R4。，

所以5//平面B4。，所以②正确；

对于③，因为。为A5的中点，且尸。工底面ABCD,

过。作OHLAC于H,

则ZPHO即为二面角P—AC—B的平面角，

根据边长可求得PO=1,OH^—，

24

A/3

所以tanNPHO=g^=所以③正确;

y2

不

对于④，因为「01底面ABCD,尸Ou平面RLB,

所以平面平面A3CD,所以④正确；

故答案为：②③④

三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.已知三条直线4：x+y—2=0,/2：x—3y+lQ=0,/3：3x—4y+5=0.

(1)求直线4的交点/的坐标；

(2)求过点/且与直线4平行的直线方程;

(3)求过点/且与直线4垂直的直线方程.

【答案】(1)M(-l,3)

(2)3x-4y+15=0

(3)4x+3y-5=0

【解析】

【分析】(1)联立直线方程，即可求解;

(2)根据已知条件,结合直线平行的性质，即可求解;

(3)根据已知条件,结合直线垂直的性质，即可求解;

【小问1详解】

x+y-2=0x=-l

联立解得〈c

x-3y+10=0y=3

故交点M坐标"(-1,3)；

【小问2详解】

所求直线与直线4平行,

则所求直线可设3x—4y+C=0(Cw5),

所求直线过点〃(-L3),

则3x(—1)—4x3+C=0,解得C=15,

故所求直线方程为3x-4y+15=0；

【小问3详解】

所求直线与直线4垂直，

则所求直线可设4x+3y+D=0,

所求直线过点”(-1,3),

则4x(—1)+3*3+£>=0,解得£)=—5,

故所求直线方程为4x+3y—5=0.

18.已知圆。的圆心为点C。,—3),半径为2.

(1)写出圆C的标准方程；

(2)若直线/：x—y—2=0与圆C交于A,8两点，求线段A3的长.

【答案】(1)(x—I)?+(y+3)2=4

⑵2后

【解析】

【分析】(1)根据圆的标准方程定义可得解；

(2)求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得.

【小问1详解】

因为圆心C。,—3),半径厂=2,

所以圆C的标准方程为(％—I)?+(y+3)2=4.

【小问2详解】

”3-2|

圆心C到直线/的距离1==6，

...哈犷不GS

.­.\AB\=2>j2.

19.如图，在四棱锥尸―A5CD中，上4,底面ABCD,底面ABCD是正方形，PA=AB=1，M为

PB的中点.

(1)求证：AAfl平面E3C；

（2）求直线与平面P5C所成角的大小;

（3）求点£（到平面P5C的距离.

7T

【答案】（1）见解析（2）-

6

（3）正

2

【解析】

【分析】（1）根据线线，线面的垂直关系的转化，即可证明线面垂直；

（2）首先建立空间直角坐标系，由（1）可知向量而是平面P5C的法向量，利用向量法求线面角的大小;

（3）根据（2）的结果，结合点到平面的距离的定义，即可求解.

【小问1详解】

因24,平面A3CD,所以

又3cl.AB,PA^\AB=A,PA,A3u平面

所以平面R45,平面P4B,

所以,

因为/%=A3,且点又是尸3的中点，所以AMLP3，

且=3C,P3u平面尸5C,

所以AM1平面P3C；

【小问2详解】

以点A为原点，以向量4瓦汨,ZA为x，%z轴方向向量，建立空间直角坐标系,

4（0,0,0）,P（0,0,l）,D（0,l,0）,8（1,0,0）,C（l,l,0）,

AM=1,0,1,而=（0,l，T，

由（1）可知，向量画7是平面P5C的法向量,

设直线尸。与平面PBC所成角为9,

所以sind=kos（加,----^-j=-=|■，则,=看，

0x2

TT

所以直线PD与平面尸5C所成角的大小为一；

6

【小问3详解】

因为以=AD=1,则。£）=后，

TT

由（2）可知，直线P£）与平面尸5c所成角的大小为一，

6

所以点。到平面PBC的距离为0sin7=2.

20.如图，在三棱柱ABC-中，AA，平面ABC,D是的中点，BCf，

（1）求证：平面ADG；

（2）求二面角D—AG—C的余弦值；

（3）判断直线A耳与平面ADG是否相交，如果相交，求出A到交点H的距离；如果不相交，求直线

44到平面ADCi的距离.

【答案】（1）见解析（2）B

3

（3）相交，AH=◎

【解析】

【分析】(1)构造中位线，利用线线平行证明线面平行；

(2)建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值；

(3)利用平面的性质，即可判断直线4线与平面ADC1的位置关系，并利用图形求解.

【小问1详解】

连结4。交AG于点E，连结。石，

因为点E分别是BC,AC的中点，所以DE//A5,

且DEu平面ADC-43仁平面4。。］，

所以48//平面ADC1；

【小问2详解】

因为AB=AC=1,BC=脏,

所以A81AC,且4A，平面ABC，

所以如图，以点A为原点，以向量彳及前,丽为苍轴的方向向量建立空间直角坐标系,

4(0,0,0),Dl|,1,0I,q(0,1,1),ADuuu

AG=(0,1,1),

设平面ADG的