人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册教学设计3：7 4 2　超几何分布教案

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE17.4.2超几何分布教学目标1.理解超几何分布.2.了解二项分布同超几何分布的区别与联系．教学知识梳理知识点超几何分布1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．2．均值：E(X)＝eq\f(nM,N).教学案例案例一超几何分布的辨析例1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)超几何分布的模型是不放回抽样.()(2)超几何分布的总体里可以有两类或三类特点.()(3)超几何分布中的参数是N，M，n.()(4)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成.()〖答案〗1.(1)√(2)×(3)√(4)√反思感悟判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点(1)总体是否可分为两类明确的对象．(2)是否为不放回抽样．(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．跟踪训练1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样．()(2)在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M.()(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．()(4)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同值m时的概率P(X＝m)．()〖答案〗(1)×(2)×(3)√(4)√案例二超几何分布的概率例2.从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数ξ的概率分布，并求至少取得一件次品的概率．解：设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.ξ的可能取值为0，1，2，相应的概率依次为：P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,2)Ceq\o\al(3,13),Ceq\o\al(3,15))＝eq\f(22,35)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,13),Ceq\o\al(3,15))＝eq\f(12,35)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,13),Ceq\o\al(3,15))＝eq\f(1,35).所以ξ的概率分布如下表所示：ξ012Peq\f(22,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)故至少取得一件次品的概率为P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(12,35)＋eq\f(1,35)＝eq\f(13,35).反思感悟求超几何分布的分布列的步骤跟踪训练2.某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的概率分布．解：依题意知随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝6，n＝4，所以P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,6)Ceq\o\al(4－k,4),Ceq\o\al(4,10))(k＝0，1，2，3，4)，即P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,6)Ceq\o\al(4,4),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(1,210)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(4,35)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(3,7)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(8,21)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(0,4),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(1,14).所以X的概率分布如下表：X01234Peq\f(1,210)eq\f(4,35)eq\f(3,7)eq\f(8,21)eq\f(1,14)案例三超几何分布与二项分布间的关系例3.在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列.解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况.P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(1,10))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).因此X的分布列为X01Peq\f(3,5)eq\f(2,5)(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.故所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,6)＋C\o\al(2,4)C\o\al(0,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(30,45)＝eq\f(2,3).②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P(Y＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3)，P(Y＝10)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(18,45)＝eq\f(2,5)，P(Y＝20)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(0,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15)，P(Y＝50)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(6,45)＝eq\f(2,15)，P(Y＝60)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15).因此随机变量Y的分布列为Y010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)反思感悟二项分布与超几何分布的关系在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．区别①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布联系在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布.跟踪训练3.盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：(1)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；(2)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率；(3)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率．解：(1)“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，由题意P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(9,14).(2)“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B，则P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(3,28).(3)“抽出的3张卡片的数字互不相同”的事件记为C，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D，由题意，C与D是对立事件，因为P(D)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(3,7)，所以P(C)＝1－P(D)＝1－eq\f(3,7)＝eq\f(4,7).课堂小结1．知识清单：(1)超几何分布的概念及特征．(2)超几何分布的均值．(3)超几何分布与二项分布的区别与联系．2．方法归纳：类比．3．常见误区：超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样．当堂检测1.今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为()A.eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,50)) B.eq\f(C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,5)＋C\o\al(3,5),C\o\al(3,50))C.1－eq\f(C\o\al(3,45),C\o\al(3,50)) D.eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,5)＋C\o\al(2,5)C\o\al(1,45),C\o\al(3,50))〖答案〗C〖解析〗出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为eq\f(C\o\al(3,45),C\o\al(3,50))，故〖答案〗为1－eq\f(C\o\al(3,45),C\o\al(3,50)).2.一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为()A.eq\f(28,45) B.eq\f(16,45)C.eq\f(11,45) D.eq\f(17,45)〖答案〗B〖解析〗由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,8),C\o\al(2,10))＝eq\f(16,45).3．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X＝1)＝________.〖答案〗eq\f(3,5)〖解析〗X＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5).4．在某次国际会议中，需要从4个日本人，5个英国人和6个美国人中，任选4人负责新闻发布会，则恰好含有3个英国人的概率为________．(用式子表示)〖答案〗eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,10),C\o\al(4,15))〖解析〗设选取的4人中英国人有X个，由题意知X服从参数为N＝15，M＝5，n＝4的超几何分布，其中X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,5)C\o\al(4－k,10),C\o\al(4,15))(k＝0,1,2,3,4)．∴P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,10),C\o\al(4,15)).5．一个袋中装有3个白球和2个黑球，它们大小相同，采用无放回地方式从袋中任取3个球，取到黑球的数目用X表示，求随机变量X的分布列．解：X可能取的值为0,1,2.由题意