人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：8 2 2　第一课时　一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE18．2一元线性回归模型及其应用8．2.1一元线性回归模型8．2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计第一课时一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计课标要求素养要求1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义.2.了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理.通过学习一元线性回归模型的含义，体会数学抽象及数据分析素养.新知探究恩格尔系数(Engel’sCoefficient)是根据恩格尔定律得出的比例数，指居民家庭中食物支出占消费总支出的比重，是表示生活水平高低的一个指标．其计算公式：恩格尔系数＝食物支出金额÷总支出金额．一个家庭收入越少，家庭收入中或者家庭总支出中用来购买食物的支出所占的比例就越大，随着家庭收入的增加，家庭收入中或者家庭支出中用来购买食物的支出所占比例将会下降.问题恩格尔系数是预测生活水平高低的一个模型，那么当两个变量线性相关时，我们如何对成对样本数据建立一个模型进行预测？〖提示〗为了对两个变量线性相关关系进行预测，我们通常建立一元线性回归模型进行预测．1．一元线性回归模型我们称eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,E（e）＝0，D（e）＝σ2))为Y关于x的一元线性回归模型，其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差．2．线性回归方程与最小二乘法回归直线方程过样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，是回归直线方程最常用的一个特征我们将eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))称为Y关于x的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))叫做b，a的最小二乘估计(leastsquaresestimate)，其中拓展深化〖微判断〗1．两个变量之间产生随机误差的原因仅仅是因为测量工具产生的误差．(×)〖提示〗产生随机误差的原因有多种，测量工具和测量精度仅仅是其中的一个方面．2．线性回归方程最能代表观测值x，y之间的线性关系，且回归直线过样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))．(√)〖微训练〗1．(多选题)下列有关回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))叙述正确的是()A．反映eq\o(y,\s\up6(^))与x之间的函数关系B．反映y与x之间的函数关系C．表示eq\o(y,\s\up6(^))与x之间不确定关系D．表示最接近y与x之间真实关系的一条直线〖解析〗eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))表示eq\o(y,\s\up6(^))与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系，但它反映的关系最接近y与x之间的真实关系，∴选AD.〖答案〗AD2．某地区近十年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是__________亿元．〖解析〗∵eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x＋0.1，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8×15＋0.1＝12.1(亿元)．〖答案〗12.1〖微思考〗1．任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归直线方程吗？〖提示〗用最小二乘法求回归直线方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的回归直线方程无意义．2．根据eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))及回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，判断点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))与回归直线的关系是什么？〖提示〗由eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))得eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\o(a,\s\up6(^))，因此点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))在回归直线上.题型一求回归直线方程〖例1〗某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．解(1)如图：样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系．(2)eq\o(∑,\s\up10(4),\s\do10(i＝1))xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(6＋8＋10＋12,4)＝9，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4，(2)eq\o(∑,\s\up10(4),\s\do10(i＝1))xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，xeq\o\al(2,i)＝62＋82＋102＋122＝344，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(158－4×9×4,344－4×92)＝eq\f(14,20)＝0.7，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x－2.3.(3)由(2)中线性回归方程可知，当x＝9时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7×9－2.3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4.规律方法求线性回归方程的一般步骤(1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)(数据一般由题目给出)．(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系．(3)把数据制成表格xi，yi，xeq\o\al(2,i)，xiyi.(4)计算eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)，eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))xiyi.(5)代入公式计算eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))，公式为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\o(y,\s\up6(－))－\o(b,\s\up6(^))\o(x,\s\up6(－)).))(6)写出线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).〖训练1〗某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)求回归直线方程．解(1)散点图如图所示．样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系．(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算．i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560xeq\o\al(2,i)416253664eq\o(x,\s\up6(－))＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝50，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝145，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xiyi＝1380于是可得，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xiyi－5\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1380－5×5×50,145－5×52)＝6.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝50－6.5×5＝17.5.于是所求的回归直线方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5.题型二利用回归直线方程对总体进行估计〖例2〗一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺点的零件数y(件)11985(1)画出散点图；(2)如果y与x有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；(3)在实际生产中，若它们的近似方程为y＝eq\f(51,70)x－eq\f(6,7)，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？解(1)散点图如图所示：(2)近似直线如图所示：(3)由y≤10得eq\f(51,70)x－eq\f(6,7)≤10，解得x≤14.9，所以机器的运转速度应控制在14转/秒内．〖迁移1〗(变条件，变设问)本例中近似方程不变，若每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件数近似增加多少？解因为y＝eq\f(51,70)x－eq\f(6,7)，所以当x增加一个单位时，y大约增加eq\f(51,70)，即每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件数近似增加1个．〖迁移2〗(变条件，变设问)本例中近似方程不变，每小时生产有缺点的零件件数是7，估计机器的转速．解因为y＝eq\f(51,70)x－eq\f(6,7)，所以当y＝7时，7＝eq\f(51,70)x－eq\f(6,7)，解得x≈11，即估计机器的转速约为11转/秒．规律方法本题已知y与x是线性相关关系，所以可求出回归方程进行估计和预测．否则，若两个变量不具备相关关系或它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也毫无意义.〖训练2〗某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次实验，得到的数据如下：零件的个数x(个)2345加工的时间y(h)2.5344.5(1)已知零件个数与加工时间线性相关，求出y关于x的线性回归方程；(2)试预测加工10个零件需要多少时间？解(1)由表中数据，得eq\o(∑,\s\up10(4),\s\do10(i＝1))xiyi＝2×2.5＋3×3＋4×4＋5×4.5＝52.5，eq\o(∑,\s\up10(4),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝22＋32＋42＋52＝54，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋4＋5,4)＝3.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5.∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(52.5－4×3.5×3.5,54－4×3.52)＝0.7.∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝3.5－0.7×3.5＝1.05.∴y关于x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋1.05.(2)加工10个零件时，大约需要0.7×10＋1.05＝8.05(小时).一、素养落地1．通过本节课的学习，提升数学抽象素养及数据分析素养．2．求线性回归方程时应注意的问题(1)知道x与y成线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说它们之间的相关关系不显著，即使求出线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．(2)用公式计算eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))的值时，要先计算eq\o(b,\s\up6(^))，然后才能算出eq\o(a,\s\up6(^)).3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则在x＝x0处的估计值为eq\o(y,\s\up6(^))0＝eq\o(b,\s\up6(^))x0＋eq\o(a,\s\up6(^)).二、素养训练1．工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝50＋80x，下列判断正确的是()A．劳动生产率为1000元时，工人工资为130元B．劳动生产率提高1000元时，工人工资平均提高80元C．劳动生产率提高1000元时，工人工资平均提高130元D．当月工资为250元时，劳动生产率为2000元〖解析〗因为回归直线的斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80，即劳动生产率提高1000元时，工人工资平均提高80元．〖答案〗B2．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg〖解析〗当x＝170时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79kg.〖答案〗D3．设有一个回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.5x＋2，则变量x增加一个单位时()A．y平均增加1.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位D．y平均减少2个单位〖解析〗∵两个变量线性负相关，∴变量x增加一个单位，y平均减少1.5个