2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第2课时排列二学案含解析新人教A版选修2-3

PAGE第2课时排列(二)自主预习·探新知情景引入2024年7月1日是中国共产党成立99周年纪念日，各地组织形式多样的纪念活动，某校开展了“学习强国”答题竞赛，共有29名参赛者按依次就座参与竞赛．那么这29位选手的排列依次有多少种呢？这样的排列依次问题能否有一个公式表示呢？只要驾驭了本节我们将要学习的排列与排列数公式，这些问题便可迎刃而解．新知导学1．排列数的性质①Aeq\o\al(m,n)＝__n__Aeq\o\al(m－1,n－1)；②Aeq\o\al(m,n)＝__m__Aeq\o\al(m－1,n－1)＋Aeq\o\al(m,n－1)．性质①是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一列．分两步骤完成：第一步从n个元素中选出1个排在一个位置上，其次步从余下的n－1个元素中选出__m－1__个元素排在余下的m－1个位置上，得到Aeq\o\al(m,n)＝__nAeq\o\al(m－1,n－1)__．性质②是指从含有元素a的n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，排成一列．第一类：m个元素中含有a，分两步完成．第一步，将a排在某一位置上，有__m__种不同的方法．其次步，从其余n－1个元素中取出__m－1__个排在其他m－1个位置有Aeq\o\al(m－1,n－1)种方法，即有mAeq\o\al(m－1,n－1)种不同的方法．其次类：m个元素中不含有a.从n－1个元素中取出__m__个元素排在m个位置上有Aeq\o\al(m,n－1)种方法，∴Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n－1)＋Aeq\o\al(m,n－1)或∵Aeq\o\al(m,n)－Aeq\o\al(m,n－1)＝n·(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)－(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n－m)＝m[(n－1)(n－2)…(n－m＋1)]＝__mAeq\o\al(m,n－1)__∴Aeq\o\al(m,n)＝__mAeq\o\al(m－1,n－1)＋Aeq\o\al(m,n－1)__．2．有限制条件的排列问题①干脆法：以元素为考察对象，先满意__特别__元素的要求，再考虑__一般__元素(又称为元素分析法)，或以位置为考察对象，先满意__特别__位置的要求，再考虑__一般__位置(又称位置分析法)．②间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去__不合要求__的排列数．③相邻元素__捆绑__法，相离问题__插空__法，定元、定位__优先排__法，至多、至少__间接__法，定序元素__最终排__法．预习自测1．5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必需排在一起的不同排法有(C)A．70 B．72C．36 D．12[解析]甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2名同学进行排列，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝36种排法．2．用数字0、1、2、3、4、5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有(B)A．288个 B．240个C．144个 D．126个[解析]个位是0，有4Aeq\o\al(3,4)＝96个；个位不是0，有2×3×Aeq\o\al(3,4)＝144个，∴共有96＋144＝240个．3．有七名同学站成一排照毕业照，其中甲必需站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有__192__种．[解析]解法一：先去掉甲考虑其他6人，首先将乙、丙绑定为一个元素，排法有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(2,2)，然后让甲站在中间位置，但此时有不符合条件的，即当乙、丙在中间位置时，甲再插入中间的应去掉，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)，则符合条件的站法有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(2,2)－Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝192种．解法二：乙、丙的排法有2种，乙、丙可在甲的左边也可在右边，每边都有2种位置，乙、丙站好后其余4人随意排共有2×2×2Aeq\o\al(4,4)＝192种．4．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列状况下，各有不同站法多少种？(1)两名女生必需相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的一种依次站；(4)老师不站中间，女生不站两端.[解析](1)2名女生站在一起有站法Aeq\o\al(2,2)种，视为一个元素与其余5个全排，有Aeq\o\al(6,6)种排法，∴有不同站法Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(6,6)＝1440种．(2)先排老师和女生，有排法Aeq\o\al(3,3)种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，有插入方法Aeq\o\al(4,4)种，∴共有不同站法Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144种．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高依次的站法有Aeq\o\al(4,4)种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同，∴共有不同站法2·eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(4,4))＝420种．(4)中间和两侧是特别位置，可如下分类求解：①老师站两侧之一，另一侧由男生站，有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(5,5)种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中外的另外4个位置之一，有Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)种站法，∴共有不同站法Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝2112种．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶元素相邻问题典例16名同学排成一排，其中甲、乙两人必需在一起的不同排法共有(C)A．720种 B．360种C．240种 D．120种[解析]因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有Aeq\o\al(5,5)种排法，但甲、乙两人之间有Aeq\o\al(2,2)种排法，由分步乘法计数原理可知：共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(2,2)＝240种不同的排法，选C．『规律总结』1.解排列应用题的基本思路实际问题→排列问题→求排列数→解决实际问题．通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与依次有关，有无特别限制条件(特别位置，特别元素)．2．相邻元素捆绑法．假如所给问题中要求某n个元素必需相邻，可将这n个元素先排好，然后将其整体看作一个元素参与排列．┃┃跟踪练习1__■记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有(B)A．1440种 B．960种C．720种 D．480种[解析]先将5名志愿者排好，有Aeq\o\al(5,5)种排法，2位老人只能排在5名志愿者之间的4个空隙中，先将2位老人排好，有Aeq\o\al(2,2)种排法，再把它作为一个元素插入空隙中，有4种插法．∴共有不同排法4Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝960种．命题方向❷元素不相邻问题典例2要排一张有6个歌颂节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？[解析]先将6个歌颂节目排好，其不同的排法为Aeq\o\al(6,6)种，这6个歌颂节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有Aeq\o\al(4,7)种排法，由分步乘法计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为Aeq\o\al(4,7)·Aeq\o\al(6,6)＝604800(种)．『规律总结』不相邻问题插空法．不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”．┃┃跟踪练习2__■4名男生和4名女生站成一排(1)男生不相邻的站法有__2_880__种．(2)女生不相邻的站法有__2_880__种．(3)男、女生相间的站法有__1_152__种．(可不必计算出数值)[解析](1)4名女生排好有Aeq\o\al(4,4)种排法，男生插入女生形成的5个空位中有Aeq\o\al(4,5)种．∴男生不相邻的站法有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(4,5)＝2880种．(2)同(1)可得Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,5)＝2880种．(3)如图，1男2男3男4男5男生排好后，形成5个空位，要使男女相间排列，女生应排在1至4号位或2至5号位，∴有排法2Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)＝1152种．命题方向❸定位定元问题典例33名男生，4名女生，依据不同的要求排队，求不同的排列方案的方法种数．(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(2)全体站成一排，其中甲、乙必需在两端；(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端．[思路分析](1)甲是特别元素，其余学生站法不受限制，故可先将甲排好，再排其他人．(2)同(1)的分析，甲、乙是特别元素可先在两端排好甲、乙，有Aeq\o\al(2,2)种排法，再排其他人．(3)干脆排时，可按甲的站位分类：甲在最右端和甲不在两端；也可按乙的站位分类．用间接法求时，7人全排列后减去甲在左端的和乙在右端的(两种情形一样多)，再加上甲在左端且乙在右端的情形(两次都减去了)．[解析](1)(特别元素优先法)先考虑甲有Aeq\o\al(1,3)种方案，再考虑其余六人全排，故N＝Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(6,6)＝2160(种)．(2)(特别元素优先法)先支配甲、乙有Aeq\o\al(2,2)种方案，再支配其余5人全排，故N＝Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(5,5)＝240(种)．(3)解法一(特别元素优先法)：按甲是否在最右端分两类：第一类：甲在最右端时有N1＝Aeq\o\al(6,6)(种)，其次类：甲不在最右端时，甲有Aeq\o\al(1,5)个位置可选，而乙也有Aeq\o\al(1,5)个位置，而其余全排Aeq\o\al(5,5)，有N2＝Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)(种)，故N＝N1＋N2＝Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720(种)．解法二(间接法)：无限制条件的排列数共有Aeq\o\al(7,7)，而甲在左端或乙在右端的排法都有Aeq\o\al(6,6)，且甲在左端且乙在右端的排法有Aeq\o\al(5,5)，故N＝Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720(种)．解法三(特别位置优先法)：按最左端优先支配分步．对于左端除甲外有Aeq\o\al(1,6)种排法，余下六个位置全排有Aeq\o\al(6,6)，但减去乙在最右端的排法Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)种，故N＝Aeq\o\al(1,6)Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720(种)．『规律总结』有限制条件的排列问题常用的方法有“干脆法”和“间接法”．1．至多、至少间接法当问题的正面分类较多或计算较困难，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往运用“间接法”．含“至多”、“至少”类词语的排列(组合)问题，是须要分类问题，常用间接法(即解除法)解答．这时可以先不考虑特别元素(位置)，而列出全部元素的全排列数，从中再减去不满意特别元素(位置)要求的排列数，即解除法．2．定元、定位优先排．在有限制条件的排列问题中，有时限定某元素必需排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特别元素(位置)解题时要优先考虑．(1)元素分析法——即以元素为主，优先考虑特别元素，再考虑其他元素，先特别后一般．(2)位置分析法——即以位置为主，优先考虑特别位置，再考虑其他位置，先分类后分步．┃┃跟踪练习3__■7人站成一排．(1)甲必需在乙的前面(不肯定相邻)，则有多少种不同的排列方法；(2)甲、乙、丙三人自左向右的依次不变(不肯定相邻)，则有多少种不同的排列方法．[解析](1)甲在乙前面的排法占全体全排列种数的一半，故有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(2,2))＝2520种不同排法．(2)甲、乙、丙自左向右的依次保持不变，即甲、乙、丙自左向右依次的排法种数占全体排列种数的eq\f(1,A\o\al(3,3))．故有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(3,3))＝840种不同排法．学科核心素养排列与其他学问相交汇排列问题常与方程、不等式、函数、数列、解析几何、立体几何等学问相交汇，给人感觉情境新奇，但只需转化和化归，即可脱去新题的伪装，还其原来面目．典例4从1,2,3，…，20这20个自然数中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？[思路分析]由三个自然数组成的等差数列具有这样的性质：第一个数与第三个数必同时为偶数或同时为奇数(若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b)，在1到20这20个数中有10个偶数和10个奇数，联想到排列的定义，可以求解．[解析]设a，b，c∈N*，且a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c应是偶数．因此，若从1到20这20个数中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数中有10个偶数和10个奇数．当第一个数和第三个数选定后，中间的数被唯一确定．因此选法有两类：第一类，第一个数和第三个数都是偶数，有Aeq\o\al(2,10)种选法；其次类，第一个数和第三个数都是奇数，有Aeq\o\al(2,10)种选法．于是，选出3个数成等差数列的个数为Aeq\o\al(2,10)＋Aeq\o\al(2,10)＝180．『规律总结』解有限制条件的排列应用问题的关键是将题设的限制条件转化为显性的排列的限制条件．如本例中将三个正整数成等差数列这一限制条件转化为第一项和第三项同为偶数或同为奇数的限制条件．┃┃跟踪练习4__■某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的依次出场，出场依次有多少种？(2)3位老者与2位年轻的都要分别按从大到小的依次出场，依次有多少种？[思路分析]思路(1)3位老者按从大到小的依次出场不肯定这3位相邻出场，只要先排下年轻的，剩余的3个位置，可以按年龄“对号入座”．思路(2)可先不考虑依次，共有Aeq\o\al(5,5)种排法．设符合条件的排法有x种，每一种排法若不讲依次的话，三位老者又可作全排列Aeq\o\al(3,3)种，共有排法x·Aeq\o\al(3,3)，这是不讲依次的另一种列式方法．∴x·Aeq\o\al(3,3)＝Aeq\o\al(5,5).∴x＝eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))＝Aeq\o\al(2,5)＝20．[解析](1)只要第一步先排好年轻的，共有Aeq\o\al(2,5)种方法，其次步排3位年老者只有一种排法，按分步乘法计数原理有Aeq\o\al(2,5)×1＝20(种)排法．(2)设符合条件的排法共有x种，用(1)的方法可得：x·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,2)＝Aeq\o\al(5,5)，解得x＝eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3)·A\o\al(2,2))＝10(种)．易混易错警示排列的综合应用典例54名运动员参与4×100接力赛，依据平常队员训练的成果，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场依次有(B)A．12种 B．14种C．16种 D．24种[错解]若不考虑限制条件，4名队员全排列共有Aeq\o\al(4,4)＝24种排法，甲跑第一棒有Aeq\o\al(3,3)＝6种，乙跑第四棒有Aeq\o\al(3,3)＝6种，故一共有Aeq\o\al(4,4)－2Aeq\o\al(3,3)＝12种．[辨析]解答过程中，解除甲跑第一棒和乙跑第四棒，两次都减去了甲跑第一棒且乙跑第四棒的状况，导致了错误结论Aeq\o\al(4,4)－2Aeq\o\al(3,3)＝12．[正解]用解除法，若不考虑限制条件，4名队员全排列共有Aeq\o\al(4,4)＝24种排法，减去甲跑第一棒有Aeq\o\al(3,3)＝6种排法，乙跑第四棒有Aeq\o\al(3,3)＝6种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有Aeq\o\al(2,2)＝2种排法，共有Aeq\o\al(4,4)－2Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2)＝14种不同的出场依次．课堂达标·固基础1．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为(A)A．36 B．30C．40 D．60[解析]奇数的个位数字为1、3或5，偶数的个位数字为2、